13数学分析期末复习题01

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐13数学分析期末复习题0113数学分析(三)复习范围

一、计算题(每小题10分，共70分)1.全微分计算题

2.求隐函数(组)的一阶偏导数

3.求抽象函数的二阶偏导数

4.求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程

5.求函数的极值

6.计算第一型曲面积分

7.计算第二型曲面积分

8.计算第二型曲线积分(格林公式)9.二重积分的计算

10.高斯公式与斯托克斯公式11.求多元函数的方向导数12.曲线积分与路径无关咨询题

13.将三次积分用柱坐标与球坐标表示

14.应用--求曲面面积(二重积分)或质量咨询题(第一型曲线积分)

15.利用余元公式B(p,1-p)=ππ

psin，计算?+∞+01nxdx类积分值

二、解答与证明题(第小题10分，共30分)

1.用定义证明多元函数的极限

2.证明多元函数的延续性

3.研究含参量积分的一致收敛性

4.证明含参量非正常积分的延续性

5.三重积分的证明题

6.有关多维空间的聚点或开闭集咨询题

7.证明二重极限别存在

8.多元函数的可微性证明

例题

一、计算题

1.全微分计算题

公式：du=ux??dx+uy??dy+u

z

??dz。

例1：求函数u=22

22

zxxy-+的全微分；

例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。2.求隐函数(组)的偏导数

例3：设z

yez

x+=，求yxz???2。

例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e-(x+y+z)，求dx

dy，dxdz

。3.求抽象函数的二阶偏导数

例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求zxu???2，22u

y

??其中f具有二阶延续的偏导数；

例6：设u=f(x2-y2，xy

e

)，求y

xu

???2，其中f具有二阶延续偏导数。

4.求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线

例7：求曲线：x2+y2+z2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。

例8：求曲线??

???=-+-=-++045320

3222zyxxzyx在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。

例9：求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。5.求函数的极值或条件极值

例10：求f(x,y)=e2x(x+2y+2y2)的极值。

例11：求抛物线y=x2和直线x-y-2=0之间的最短距离。

6.计算第一型曲面积分

例12：计算??++S

dSzxyzxy)(，其中S为锥面22yxz+=被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。

例13：计算：xyzdS∑

??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。

7.计算第二型曲面积分

例14：求I=??-++S

dxdyyzxdydzxyz)()2(22，其中S是圆柱面x2+y2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。

例15：计算??∑

+-yzdxdydzdxyxzdydz24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表

面的外侧。

8.计算第二型曲线积分(格林公式)

例16：计算曲线积分[][]

?

-'+-AmB

xx

dymeydxmye

y)()(??，其中?(y)和?/(y)为延续函数，AmB为连接点A(x1,y1)

和点B(x2,y2)的任何路径，但与线段AB围成的区域AmBA的面积为已知常数S。

例17：求曲线积分?C

xxdyyyedxye)sin()cos1(，其中C为00的一致收敛性。

例38：研究：1

cosx

dxx

α

+∞

?

在α∈[21,1]内一致收敛性。4.证明含参量非正常积分的延续性例39：证明：F(α)=2

arctan1()xdx

xα+∞

++?在(-∞,+∞)内延续。

例40：证明：F(x)=0

2x

ydy

y+∞

+?在(2,+∞)内延续。5.三重积分的证明题

例41：设一元函数f(t)在(0,+∞)内具有一阶延续导数，令{}

2222

(,,)txyzxyztΩ=++≤，

F(t)=()222t

fxyzdxdydzΩ++???。

(1)证明F(t)在(0,+∞)内具有二阶延续导数；(2)求出F/(t)的表达式。

例42：设函数f(u)具有延续的导数，且f(0)=0，试求???

Ω

→++dvzyxft

t)(1

lim

2224

π，其中Ω：x2+y2+z2≤t2。

6.有关多维空间的聚点或开闭集咨询题

例43：设f(x,y)是定义在R2上的延续函数，求证：对任意实数c，集合E={(x,y)|f(x,y)>c}是开集，F={(x,y)|f(x,y)≥c}是闭集。

例44：证明：当且仅当存在各点互异的点列{Pn}?E，Pn≠P0，+∞

→nlimPn=P0时，P0是E的聚点。

7.证明二重极限别存在例45：证明：20

0)(lim

yxxyxy

yx-+→→别存在。

例46：讨论极限2

420

0limyxy

xyx+→→的存在性。

8.多元函数的可微性证明

例47：设f(x,y)=?????=+≠++0

,00,2

2222

22yxyxyxy

x，证明f(x,y)在原点延续，存在偏导数但在原点别可微。

例48：设f(x,y)=?

??

??=≠+)

0,0(),(0)0,0(),(223

yxyxyxx。证明f(x,y)在(0,0)别可微。

9.曲线积分的证明题

例49：证明：若C为平面上的封闭曲线，则cos(,)C

C

nydsdx=-??，n

为C的外法线向量。

例50：求积分值I=?+L

dsynyxnx)],cos(),cos([，其中L为包围有界区域D的闭曲线，n

为L的外法线方向。

例题选说

一、计算题

1.全微分计算题

例1：求函数u=22

22

zxxy-+的全微分；

解：du=()

()

222

2

22xzyx

y

+-

+dx()

()

222

2

22yzxx

y

--

+dy+

2

2

2z

xy+dz。例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。

解：dz=z

x??dx+zy??dy=322xz-dx-zydy。

2.求隐函数(组)的偏导数

例3：设z

yez

x+=，求yxz???2。

解：令F=zz

ye

+-x=0，则)1(+=??zxzxz，yxz???2=3

)1(+-zxz

。

例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e-(x+y+z)，求dx

dy，dxdz

。解：

dxdy=-21，dx

dz

=-21。3.求抽象函数的二阶偏导数

例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求zxu???2，22u

y

??其中f具有二阶延续的偏导数；

解：ux

??=a(f1/+f3/)，zxu???2=ac(f12//+f13//+f23//+f33//)。uy??=b(f1/+f2/)，22uy??=b2(f11//+2f12//+f22//

)。

例6：设u=f(x2-y2，xy

e

)，求y

xu

???2，其中f具有二阶延续偏导数。

解：x

u??=2xf1/+yxy

ef2/，yxu???2=2x(-2yf11//+xxyef12//)+(1+xy)xyef2/+yxye(-2yf21//+xxyef22//)

=-4xyf11//+2(x2-y2)xyef12//+xyxye2f22//+(1+xy)xyef2/。

4.求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线方程

例7：求曲线：x2+y2+z2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。

解：令F(x,y,z)=x2+y2+z2-6=0，G(x,y,z)=x+y+z=0，则

61122)

,(),()

1,2,1()

1,2,1(-==

??--z

yzyGF，

01122)

,(),()1,2,1()

1,2,1(==

??--xzxzGF，

61122)

,()

,()

1,2,1()

1,2,1(==

??--y

xyxGF，

∴(z-1)-(x-1)=0，即x-z=0为所求。

例8：求曲线??

???=-+-=-++045320

3222zyxxzyx在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。

解：

1

1

91161--=

-=-zyx，16x+9y-z-24=0。例9：求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。

解：设F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-21=0，则(Fx,Fy,Fz)=(2x,4y,6z)，取其法向量n

=(x,2y,3z)，由于切平面与平面

x+4y+6z=0平行，∴tzyx===63421，得??

???===t

ztyt

x22，将其代入曲面方程得：t2+8t2+12t2

=21，?t=±1，

∴曲面x2+2y2+3z2

=21在点(1,2,2)和点(-1,-2,-2)处的切平面分不为：

(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0，(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0，即x+4y+6z-21=0，x+4y+6z+21=0。5.求函数的极值或条件极值

例10：求f(x,y)=e2x(x+2y+2y2)的极值。解：f(0,-21)=-2

1

为极小值。例11：求抛物线y=x2和直线x-y-2=0之间的最短距离。

解：作拉格朗日函数L(x,y,λ)=21(x-y-2)2+λ(y-x2

)，解方程组?????=-=+=00)2(0222

xyyxxyxλλ得：???

????==4121yx，

∴d=

2

24

1

21--=

8

2

7。6.计算第一型曲面积分

例12：计算??++S

dSzxyzxy)(，其中S为锥面22yxz+=被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。

解：设S在xOy平面上的投影区域为Dxy，则Dxy为平面上由圆axyx222=+所围成的区域。22

1yxzz++=2，

因此

??++S

dSzxyzxy)(=2

??

+++xy

Ddxdyyxyxxy])([2

2

θθθθθθπ

πda

)coscossincos

(sin245422

5

4

++=?-。

sinθcos5θ+sinθcos4θ为奇函数，而cos5θ为偶函数，

∴?-=+22

450)cossincos(sinπ

πθθθθθd,

?

?-=

-=22

20

225

15

16sin)sin1(2cosπππ

θθθθdd.于是??++S

dSzxyzxy)(=

4215

64

a。例13：计算：xyzdS∑

??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。

解：∑的投影是D：0≤x≤1，0≤y≤1-x，原式(1)D

xyxydxdy--??7.计算第二型曲面积分

例14：求I=??-++S

dxdyyzxdydzxyz)()2(22，其中S是圆柱面x2+y2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。

解：曲面S别封闭，补上平面S1：y+z=1，和平面S2：z=0，使S+S1+S2成闭曲面，围成的空间区域记为Ω。再用高斯公式。求得I=-

4

π

。

例15：计算??∑

+-yzdxdydzdxyxzdydz24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表

面的外侧。

解：由高斯公式可得：原式=

2

3。8.计算第二型曲线积分(格林公式)

例16：计算曲线积分[][]

?

-'+-AmB

xx

dymeydxmye

y)()(??，其中?(y)和?/(y)为延续函数，AmB为连接点A(x1,y1)

和点B(x2,y2)的任何路径，但与线段AB围成的区域AmBA的面积为已知常数S。

解：原式=mS+2xe?(y2)-1xe?(y1)-m(y2-y1)-2

m

(x2-x1)(y2+y1)。例17：求曲线积分?C

xxdyyyedxye)sin()cos1(，其中C为00，

∴a=λ，b=-λ，c=0，代入椭球面方程得：4λ2

=1，?λ=

21，∴点(21,-21,0)为所求，且函数f在点(21,-2

1,0)沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值|gradf(21,-2

1

,0)|=2。12.曲线积分与路径无关咨询题

例24：确定λ的值，使曲线积分I=?-++-l

dyyyxdxxyx)56()4(4214λλ与路径无关，并计算自点A(1,2)到点B(0,0)

的I值。

解：由

1224)1(6--=??=-=??λλλλxyy

P

yxxQ，?6(λ-1)=4λ，λ-2=1，λ-1=2。解得：λ=3。即当λ=3时，原曲线积分与路径无关。于是

I=??-++024014)5()32(dyydxxx=-51-16+5?51?32=16-5

1

=1554。例25：定常数a，使得任何别通过y=0的区域上曲线积分?

+-+C

aa

dyyxy

xdxyxyx)()(222222与路径无关，并求?

+-+=)

,()

1,1(222222)()(),(yxaa

dyyxy

xdxyxyxyxu。解：欲使曲线积分与路径无关，必须……，解得a=-2

1

，于是?

+-

+=)

,()

1,1(2

22

2

2

2

),(yxdyy

xy

xdxy

xyxyxu=212

21

1

2

22

22

-+=

+-

+?

?y

yxdyy

xy

xdxx

xx

y

13.将三次积分用柱坐标与球坐标表示例26：将三次积分I=?

?

?+++)

(30

2221

0222

2

)(yxyyy

ydzzyxfdxdy分不表示为柱坐标及球坐标的形式。

解：如图所示，作柱坐标变换???

??===zzryrxθθ

sincos，得I=???+r

dzzrfrdr

d30

22sin0

0)(θπθ；

作球坐标变换??

?

??===?θ?θ

?cossinsincossinrzryrx，得I=?

???θππ

π??θ

sinsin0

226

)(sindrrrfdd。

例27：设Ω是由x2

+y2

=2z，z=1，z=2所围成的介于z=1及z=2之间的闭区域，f是Ω上延续。利用柱面坐标将

三重积分I=???Ω

dxdydzzyxf),,(化为三次积分。

解：I=??

???

?+?????2

1

2022

22

20

),sin,cos(),sin,cos(2dzzrrfrdrdzzrrfrdrdrθθθθθπ

14.应用(求质量，第一型曲线积分

)

例28：有一铁丝成半圆形x=acost，y=asint，0≤t≤π，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。解：密度ρ(x,y)=y，∴M=20

20

222sinsinatdtadtyxtaydsttC

==+?=???π

π。

例29：?L

zds，其中L为圆锥螺线x=tcost，y=tsint，z=t，t∈[0,t0]；

解：?L

zds=?+++-0

2

21)cos(sin)sin(costdtttttttt=?

+0

2

2tdttt=3

1[23

2

0)2(+t-22]。

例30：求球面x2+y2+z2=a2为平面z=

4a，z=2

a

所夹部分的曲面面积S。解：z=222yxa--，曲面在xy平面投影为D：43a2≤x2+y2≤16

15a2

。S=?

???

??-=--=++aaD

D