山西省晋中市介休市八年级（下）期末数学试卷（附答案详解）

2020-2021学年山西省晋中市介休市八年级（下）期末数

学试卷

1.把多项式a2-a分解因式，结果正确的是（）

A.a（a—1）B.（a+1）（。—1）

C.+l）（a—1）D.-—1）

2.环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的

关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称.下列环保标志中，既

3.把不等式组弓:;<0的解集表示在数轴上，正确的是（）

-1012^-4>

C294,

如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法

通常是:从电线杆QE上一点A往地面拉两条长度相等的

固定绳AB与AC,当固定点8,C到杆脚E的距离相等，

且8,E,C在同一直线上时，电线杆OE就垂直于BC.工

程人员这种操作方法的依据是（）

A.等边对等角

B.垂线段最短

C.等腰三角形“三线合一”

D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等

5.如图，在口48。0中，48=8。，点E在8。上，CE=

。3・如果乙4=70。，那么NDCE等于（）

E

7?

A.20°B.25°C.30°D.35°

边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起,

则乙48。的度数为（

A.24。、/

B.48°

C.60°

D.72°

7.化简考+（a+2--力的结果是（）

Cl-ZCI-Z

A.aB.—C.a+3D.——

aa+3

8.在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将4

4BC绕点。按顺时针方向旋转得到△4'B'C',使各顶点仍在格点上，则其旋转角的

度数是（）

A.45°B.60°C.75°D.90°

9.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买

几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这

批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽

的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x

株，则符合题意的方程是（）

10.如图，在△ABC中，NC=90。，4C=BC=a，将AABC.

A

绕点A逆时针方向旋转60°到△4B'C'的位置，则图中阴/1^

影部分的面积是（）/\

A.V2B

B.V3

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C.3V2

D.2V3

11.如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2,其中。力=0B.

若剪刀张开的角为30。，则NA=度.

12.我国古代的门窗在建筑造型、建筑风格、建筑的活力以及建筑的感染力等方面具有

较高的艺术效果，其中冰裂纹图案（如图1）象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状

无一定规则，是一种千变万化的自然裂纹，代表一种自然和谐美的符号.如图2是

的冰裂纹窗框的一部分，其形状呈五边形，则41+42+43+44+45=.

13.如图，eABCC的周长为30的，AC,相交于点O,

0ELAC^AD^E,则ADCE的周长为cm.

14.随着物质生活的提高，人们使用的智能豆浆机基本采用

微电脑控制，实现预热、打浆、煮浆和延时熬煮过程全

自动化，特别是由于增设了“文火熬煮”处理程序，使

豆浆营养更加丰富，口感更加香泽.某品牌智能豆浆机

的进价为800元，出售时的标价为1200元，后来由于该

品牌豆浆机积压，店长准备打折出售，但要保持利润率

不低于5%,则最多可打折.

15.如图，AD和BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD1BE,垂足为点F,且G、

E为4c的三等分点，若BE=8,则8尸的长为.

B

.计算:

(1)解不等式组5X-1।/2X+1并把解集表示在数轴上；

(2)解分式方程：±-1=含・

17.下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.

%2-92x4-1

%2+6%+92%+6

(3+3)(欠-3)2%+1・第一步

2(x-3)2x+l,第三步

2(x+3)2(x+3)

2x-6-(2x+l)

2x-6-2x+l

任务一：填空：①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是

或填为(要填的两个依据中只需填一个)

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意

的事项给其他同学提一条建议.

18.如图，在RtaABC中，ZC=90°,ZX=28°.

(1)作AC边上的垂直平分线OE,交AC于点。，交AB于点E(用直尺和圆规作图，

不写作法，但要保留作图痕迹)；

(2)连接CE,求NBCE的度数.

先化简,再求值寸+(高一小一。其中根=近一2.

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20.下面是某同学对多项式(M-4%+2)(/-4%+6)+4进行因式分解的过程.

解：设/—4x=y,贝!]

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=y2+8y+16(第二步)

=(y+4>(第三步)

=Q2-4x+4)2(第四步).

请问：

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的.

A提取公因式

B.平方差公式

C.完全平方公式

。十字相乘

(2)该同学在第四步将)'用所设的尤的式子代换，得到因式分解的最后结果.这个结

果是否分解到了最后？.(填“是”或“否”).如果否，请直接写出最后的结

果.

(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(7—2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.

21.如图，四边形ABCD的对角线4clBD于点E,AB=BC,尸为四边形外一

点，且NFC4=90°,乙CBF=Z.DCB.

(1)求证：四边形O8FC是平行四边形；

(2)如果BC平分4OBF,NF=45°,BD=2,求AC的长.

22.小张和同学相约“五一”节到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电

影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到

一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分

钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍.

(1)求小张跑步的平均速度；

(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，他能否在电影开始前赶

到电影院？说明理由.

23.综合与实践：

问题情境

图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面

内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果.旋

转的性质则是解决实际问题的关键.数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情

境，发现并提出问题.如图1,△2BC与AEDC都是等腰直角三角形，点E,。分

别在AC和BC上，连接E8.将线段EB绕点B顺时针旋转90。,得到的对应线段为BF.

连接BE,DF.“兴趣小组”提出了如下两个问题：

®AE=BD,AE1BD；®DF=AB,DF1AB

解决问题：

(1)请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题.

探索发现：

(2)''实践小组”在图1的基础上，将△EDC绕点C顺时针旋转角度a(0。<a<90°),

其它条件保持不变，得到图2.

①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成

立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

②如图3,当AD=4F时，请求出此时旋转角a的大小.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：原式=a(a-l),

故选：A.

直接提公因式。即可.

此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式.

2.【答案】D

【解析】解：4既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

。.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题.

本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称

图形的定义是解决本题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：由x-IWO得xWL

将*<3和x<1表示在数轴上如下：

—.I■J__>

-1012^4

故选：C.

根据解不等式组的方法，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集在数轴上的表示方

法，可得答案.

本题考查了在数轴上不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,2向右

画；<,W向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的

线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表

示解集时“岂”，要用实心圆点表示；要用空心圆点表示.

4.【答案】C

【解析】解：•••AB=AC,BE=CE,

•••AE1BC,

故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，

故选：C.

根据等腰三角形的性质即可得到结论.

本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能求出NOCB

和NECB的度数是解此题的关键，注意：平行四边形的对边平行，平行四边形的对角相

等，难度适中.

根据平行四边形的性质得出4DCB=乙4=70。，AD//BC,根据平行线的性质求出

4ABe=110%根据等腰三角形的性质求出=44=70。，根据平行线的性质求出

乙EBC=/.ADB=70。，求出4CEB=4EBC=70°,根据三角形内角和定理求出/ECB=

40°,即可求出答案.

【解答】

解：•••四边形ABCD是平行四边形，44=70。，

•••乙DCB=〃=70°,AD//BC,

乙4BC+乙4=180°,

乙ABC=110°,

•••AB—BD,

•••Z.ADB=Z.A=70°,

-AD//BC,

乙EBC=AADB=70。，

vCE=BC,

：.乙CEB=4EBC=70。，

乙ECB=180°-70°-70°=40°,

v乙DCB=70°,

Z.DCE=4DCB-乙ECB=70°-40°=30°,

故选：C.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了正多边形的内角与外角，熟练计算正五边形的内角，正六边形的内角是

解题的关键.

根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式，求得正五边形的每个内角都等于108。

和正六边形的内角都等于120。，

然后根据三角形的内角和定理可得结论.

【解答】

解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120。，正五边形的每个内角都等于108。，

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:./-BOA=360°-120°-108°=132°,

•••AO=BO,

180°-132°

・♦・乙ABO=乙OAB=---------------=24°

2

故选4

7.【答案】D

［解析1解：原式="|+8+2)(a；2)T

a-2a-2

a-3a-2

a—2a2—9

a—3

(a+3)(a—3)

i

-a+3，

故选：D.

根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简即可求出答案.

本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用加减运算以及乘除运算法则，本题属

于基础题型.

8.【答案】D

【解析】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知/BOB'是旋转角，

且/BOB'=90。，

故选：D.

根据旋转角的概念找到ZBOB'是旋转角，从图形中可求出其度数.

本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关

键.

根据单价=总价+数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即

可得出关于x的分式方程，此题得解.

【解答】

解：依题意，得：3。-1)=等.

故选：A.

10.【答案】B

【解析】解：vZC=90°,AC=BC=V2,

•••AB=近AC=2,

•.•将△ABC绕点A逆时针方向旋转60。到4AB'C'的位置，

AB=AB',Z.BAB'=60°,

2BB'是等边三角形，

・・•图中阴影部分的面积=5-8归，

二图中阴影部分的面积=fx4=疗，

故选：B.

由直角三角形的性质可求4B=2,由旋转的性质可得力B=AB',4BAB'=60。，可得△

力B夕是等边三角形，由图中阴影部分的面积=SAAB，8，可求解.

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用

旋转的性质是本题的关键.

11.【答案】75

【解析】解：•••04=。8,乙408=30。，

••Z=*180。-30。）=75。，

故答案为：75.

根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的

关键.

12.【答案】360°

【解析】解：由多边形的外角和等于360。可知，

41+42+43+N4+45=360°.

故答案为：360。.

根据多边形的外角和等于360。解答即可.

本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360。是解题的关键.

13.【答案】15

【解析】解：•.•四边形ABC力是平行四边形，

AD=BC,AB=CD,OA=OC,

vEO1AC,

・••AE=CE,

vAB+BC-VCDAD=30,

:.CD+AD=15,

・•.△DCE的周长是：CD+DE+CE=CD+DE+4E=CD+4。=15,

故答案为：15.

根据平行四边形性质得出4。=BC,AB=CD,OA=OC,根据线段垂直平分线得HlAE=

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CE,求出CD+DE+EC=CD+4D,代入求出即可.

本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质等知识；熟练掌握线段垂直平分线性

质，求出AE=CE是解题的关键.

14.【答案】7

【解析】解：设打x折，

根据题意得：1200x^-8002800x5%,

解得x>7,

答：最多可打7折；

故答案为：7.

设打x折，可得：1200x^-8002800x5%,即可解得最多可打7折.

本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式.

15.【答案】6

【解析】解：：CD=DB,CG=GE,

DG是ACEB的中位线，

；.DG=：BE=4,DG//BE,

在ADBF和△力BF中，

乙DBF=乙ABF

BF=BF,

/BFD=Z.BFA

••△DBFq2ABF(SAS)

・・・AF=FD,

vDG//BE,AF=FD,

：•FE=-DG=2,

2

・•・BF=BE-EF=6,

故答案是：6.

根据三角形中位线定理得到DG=：BE=4,DG//BE,证明ADBF丝AABF,根据全等

三角形的性质得到AF=FD,根据三角形中位线定理解答即可.

本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行

于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

2(x-3)<4x①

16.【答案】解:⑴｛等(等②,

由①得：x>-3,

由②得：x<1,

・•.不等式组的解集为一3<x41,

解集表示在数轴上，如图所示：一上一I「一I■;

-5Y-3-2-1012345

(2)去分母得：3%—3%+3=2%,

解得：x=l，

检验：把x=|代入得：3(刀一1)羊0,

•••分式方程的解为x=|.

【解析】(1)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式

组的解集，表示在数轴上即可：

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，经检验即可得到

分式方程的解.

此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关

键.

17.【答案】三分式的基本性分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为零的数，

分式的值不变五去括号时，括号前面是号，去括号后，括号里的第二项没有变

号

【解析】解：任务一：①化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基

本性质或填为分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为零的数，分式的值不变,

故答案为：三，分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为零的

数，分式的值不变；

②第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是号，去括号后，括号

里的第二项没有变号，

故答案为：五；去括号时，括号前面是号，去括号后，括号里的第二项没有变号；

任务二：

向—jx_(x+3)(x—3)2x+l

原八=(“+3)22(^+3)

x—32%+1

%4-32(x+3)

_2(x-3)2x+1

=2(%4-3)-2(x+3)

2.x—6—(2%+1)

=2(%+3)

2.x—6—2x—1

=-2(x+3)-

7

—_2x+6；

任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分

式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方成混淆等.

任务一：①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空；

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②根据去括号法则进行分析判断；

任务二：先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算：

任务三：结合分式的化简求值要求，异分母分式加减法运算法则进行分析解答.

本题考查分式的加减运算，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通

分的技巧是解题关键.

18.【答案】解：(1)如图，为所求;

:.EA=EC,

・•・/.ECA=Z.A=28°,

・・・乙BCE=90°-£.ECA=90°-28°=62°.

【解析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线)，也考查线段垂直平分线的性质.

(1)利用基本作图，作OE垂直平分AC；

(2)根据线段垂直平分线的性质得到£4=EC,则根据等腰三角形的性质得到NEC4=

乙1=28°,然后利用互余计算NBCE的度数.

(m―2)2,3m2-l,

19.【答案】解：原式=-------r(-----------

m-1m-1m-1'

(m-2)24-m2

m—1m—1

(m—2)2m—1

m—1—(m-F2)(m—2)

m-2

=,

m+2

当?n=y/2—2时,

原式=一

V2-2+2

y/2—4

=-1+2&.

【解析】【试题解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得.

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

20.【答案】C否。一2)4

【解析】解：(1)第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式.

故选C.

(2)否,最终结果为(X—2)久

故答案为:否,(x-2)4.

(3)设/-2x=y,

则原式=y[y+2)+1

=y2+2y+1

=(y+l)2

=(x2—2x+I)2

=(x-l)4.

(1)分析第二步到第三步，可以得出直接应用完全平方公式的结论；

(2)明确最后的结果括号中的式子仍然可用完全平方公式因式分解，即可判断是否彻底;

(3)首先设一-2x=y,对原式换元并利用乘法分配律化简，再根据完全平方公式变换；

接下来，只需将所设产-2x=y换回上述所得式子中，就能得到因式分解的结果.

此题考查的是因式分解-十字相乘法，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等.

21.【答案】(1)证明：vAC1BD,/.FCA=90°,乙CBF=KDCB.

•••BD//CF,CD//BF,

四边形OBFC是平行四边形；

(2)解：・.•四边形。BFC是平行四边形,

CF=BD=2,

AB=BC,AC±BD,

••AE-CE,

作CM1BF于M,

vBC平分/DBF,

•••CE=CM,

vZ.F=45°,

・•.△CFM是等腰直角三角形，

则CM+cW=22,

CM=>/2,

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•••AE=CE=\[2,

••AC=2V2.

【解析】（1）由这一点就证出BD〃CF,CD//BF,即可得出四边形O8FC是平行四边形；

（2）由平行四边形的性质得出CF=BD=2,由等腰三角形的性质得出AE=CE,作CM1

B尸于M,贝UCE=CM,证出ACFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=鱼，得

出4E=CE=VL即可得出AC的长.

本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性

质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键.

22.【答案】解：（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5%米/分,

根据题意得：名竺-等=4,

x1.5%

解得：x=200,

经检验，x=200是原方程的解，且符合题意.

答:小张跑步的平均速度为200米/分.

（2）跑步的时间：2400+200=12（分钟），

骑车的时间：12-4=8（分钟），

12+8+6=26>25,

二小张不能在电影开始前赶到电影院.

【解析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分

式方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算.

（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分，根据时间=路程十

速度结合骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经

检验后即可得出结论；

（2）根据时间=路程+速度可求出小张跑步及骑车的时间，由总耗时=跑步时间+骑车时间

+6求出总耗时，再与25比较后即可得出结论.

23.【答案】（1）证明：MABC与△EDC为等腰直角三角形，

AC=BC,EC=DC,