十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题02复数（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)

专题02复数

◎真题汇总

1.【2022年全国甲卷文科03］若z=l+i.贝“iz+3Z|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

【答案】D

【解析】

因为z=l+i,所以iz+3Z=i(l+i)+3(l-i)=2-2i,所以|iz+32|==2&.

故选：D.

2.【2022年全国乙卷文科02】设(l+2i)a+b=2i,其中a,b为实数，则()

A.a=l,b=-1B.a=l,b=1C.a=—l,b=1D.a=-1,b=-1

【答案】A

【解析】

因为a,b€R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=l,b=-l.

故选：A.

3.【2021年全国甲卷文科3】已知(1一i)2z=3+2i,则名=()

A.--1—iB.-1+—£C.-

222

【答案】B

(1-i)2z=-2〃=3+2i,

3+2i(3+2i)i-2+3i.,3.

-2i-2ii22

故选：B.

4.【2021年全国乙卷文科2】设iz=4+3i,则2=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】C

由题意可得：z=@="^=t=3-4i.

I1-1

故选：C.

5.【2020年全国1卷文科02］若z=l+2i+i3,则团=()

A.0B.1

C.V2D.2

【答案】C

【解析】

因为z=l+2i+i3=1+21-i=1+i,所以|z|=Vl2+I2=V2.

故选：C.

6.【2020年全国2卷文科02](1-i)4=()

A.-4B.4

C.-4/D.4/

【答案】A

【解析】

(1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.

故选：A.

7.[2020年全国3卷文科02]若2(1+i)=1-i,则z=()

A.1-zB.1+zC.-iD.i

【答案】D

【解析】

因为三=(1T)Z==i=_f,所以z=i.

1+i(l+i)(l-02

故选：D

8.【2019年新课标3文科02]若z(1+i)=23则z=()

A.-1-zB.-1+zC.1-iD.1+z

【答案】解：由z(1+/,)=23得

2i_

=l+i.

故选：D.

9.【2019年新课标2文科02】设z=i(2+i),则5=()

A.l+2zB.-l+2zC.1-2zD.-1-2i

【答案】解：・・・z=i(2+储=-1+23

••z=-1-23

故选：D.

10.【2019年新课标1文科01】设2=总，贝旭=()

l+2i

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】解：由7得六检=繇=那近.

故选：C.

11.【2018年新课标1文科02】设2=号+23则|z尸()

A.0B.1C.1D.V2

【答案】解：2=替+2,=台工+2=-汁2口，

则团=1.

故选：C.

12.【2018年新课标2文科01】i(2+3。=()

A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i

【答案】解:i(2+3i)=2i+3i2=-3+2/.

故选：D.

13.【2018年新课标3文科02](1+i)(2-力=()

A.-3-zB.-3+iC.3-iD.3+i

【答案】解:(1+z)(2-/)=3+i.

故选：D.

14.【2017年新课标1文科03]下列各式的运算结果为纯虚数的是()

A.i(14-z)2B.z2(1-i)C.(1+z)2D.i(1+j)

【答案】解：A.i(1+z)2=2=-2,是实数.

B.i2(1-/)=-1+z,不是纯虚数.

C.(1+z)2=2i为纯虚数.

D.i(1+r)=i-1不是纯虚数.

故选：C.

15.【2017年新课标2文科02](1+/)(2+/)=()

A.1~iB.1+3/C.3+iD.3+3i

【答案】解：原式=2-l+3i=l+3i.

故选：B.

16.【2017年新课标3文科02】复平面内表示复数z=i(-2+，)的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】解：z=i(-2+i)=-2z-1对应的点(-1,-2)位于第三象限.

故选：C.

17.［2016年新课标1文科02］设(l+2i)(〃+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则。等于()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】解：(l+2i)(〃+i)="-2+(2a+l)i的实部与虚部相等，

可得:ci-2—2^+1,

解得-3.

故选：A.

18.【2016年新课标2文科02】设复数z满足z+i=3-3则，=()

A.-1+2/B.1-2iC.3+2zD.3-2i

【答案】解：,・•复数z满足z+i=3-i,

：.z=3-23

：.z=3+23

故选：C.

19.【2016年新课标3文科02］若z=4+3"则告=()

忆|

A.1B.-1C.^+1zD.i-|z

【答案】解：z=4+3i,则5=悬=1=?一》

\z\|4+3i|555

故选：D.

20.［2015年新课标1文科03］已知复数z满足(z-1)z=l+z,则z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-zD.2+i

【答案】解：由(z-1)i=l+i,得z-1=手==1一i,

：.z=2-i.

故选：C.

21.【2015年新课标2文科02］若为。实数，且名史=3+3则〃=()

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】解：由・=3+3得2+山=(1+i)(3+i)=2+43

i+0i：

则a=4,

故选：

22.【2014年新课标1文科03］设z=9+i,贝旭=(

A玛B.1C.弓D.2

【答案】解：+二岛悬+=升黑

故选：B.

23.[2014年新课标2文科02】U=()

1-L

A.1+2/B.-l+2zC.1-22.-1-2/

-2+4i

【答案】解:化简可得詈臀=-1+2/

l-l(l-z)(l+l)i-i22

故选：B.

24.【2013年新课标I文科。2】言=()

A.-l-|zB.-1+手C.1+1D.1-if

l+2il+2i(l+2i)i-2+i.,1.

【答案】解:-------7=------=----------==-1+-I

(1-i)2-2i-2ii2--------2

故选：B.

25.【2013年新课标2文科02]|1-|=()

11+z1

A.2V2B.2C.V2D.1

【答案】解：喘|=岛=专=衣.

故选：C.

:模拟好题

1.已知复数z满足(1一i)(l+z)=2-i,则复数z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

一

V(1-i)(l4-z)=2-i,：.z"2-7i-1-~1?

l-i1-i

2=清林=《+夕，•••复数Z在复平面内对应的点为G,i),

故复数z在复平面内对应的点在第一象限，

故选：A.

2.已知四=2i(i为虚数单位)，则2=()

Z—1

.4.3.34.43.

A-?+rB.--------1C|+"D.-1

5555

【答案】D

【解析】

由题设z+i=2zi—2i2=2zi+2,则(2i—l)z=i-2,

所以z=E=(i-2)(2i+l)_4+3i_4-3i

(2i-l)(2i+l)-5*双Z-5'

故选：D

3.已知复数a2-4+(a—2)i是纯虚数(i为虚数单位)，则&=(

A.2或-2B.2C.-2D.0

【答案】C

【解析】

因为复数-4+(a-2)i是纯虚数，

所以a2—4=0且a*2,

所以a=-2.

故选：C.

4.已知复数z=l+i,则忆？+z|=()

A.VToB.4C.3>/2D.10

【答案】A

【解析】

复数z=1+i,则z?=(1+i)2=2\,

故彷+z|=|1+3i|=Vl2+32=V10,

故选：A

5.在复平面内，复数z=1对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】c

【解析】

l-2i(l-2i)(-i)->.

Z==--7-；-=-2-1,

I1-(-1)

所以复数Z在复平面上的对应点为(-2,-1),该点在第三象限.

故选：C.

6.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则詈()

A.-2-2iB.1-iC.2+2iD.1-2i

【答案】D

【解析】

由题意得z=-1+23

但="形詈=V=l-2i.

Z-12

故选：D.

7.设Z1，Z2为复数，五，药分别是Z1，Z2的共辗复数，满足Z「Z2=|Z1|2,则下列一定成立的是()

A.—Z]B.Z]—z?C.Z[=0D.Z]=z2

【答案】B

【解析】

设Zi=a+bi(a,beR),

|a+bi|2_a2+b2_(a2+b2)(a-bi)_,.

则z2=-------------=------5--3----=Q-D1,所以C错

a+bia+bia2+bz

药=a+bi,

当bWO时，Z1HZ2，z2装药，A错，D错,

z7=a—bi=z2,B对，

故选：B.

8.已知i为虚数单位，。为实数，复数2=器在复平面内对应的点在〉轴上，则。的值是()

A.-2B.--C.-D.2

22

【答案】A

a-2i_(a-2i)(l+i)_a+2+(a-2)ia+2,(a-2)i

由Z==--H-------

l-i(l-i)(14-i)222

因为复数z在复平面内对应的点在y轴上，所以詈=0,分于0,

则a=-2

故选：A

9.已知复数2=1+3i,则工=()

Z

.1,3.「13.

10101010

1,3.c13.

C.----1—1D.--------1

10101010

【答案】A

【解析】

因为2=1+3i,所以z=1-3i,

所似工=-L=i+百=但=三+二i

771l-3i(l-3i)(l+3i)101010

故选A.

10.在复平面上表示复数z的点在直线x-y=0上，若z是实系数一元二次方程/+7HX+4=0的根，则m

=()

A.夜或-&B.夜或2夜

C.2位或-2企D.-a或-2近

【答案】C

【解析】

设z=a+ai(a6R),则(a+ai)2+m(a+ai)+4=0,

化简2a+ma+mat+4=0,即(ma+4)+(ma+2a2)i=0,

ma4=

所以]t2°n，解得巾=2a或-2企，

bna+2a£=0

故选：C.

11.已知复数Zi，Z2,则下列说法正确的是()

A.若口|=。|,则Z1=±Z2B.若z：=zg,则|zj=㈤

C.若|z/>㈤，则Z1>Z2D.若(Z1+Z2)(Z1—Z2)=0,则/=Z；

【答案】BD

【解析】

对于A,若Z]=1+i,Z2=V2i>则满足怙11=%|=V2>而不满足z1=±z?,所以A错误，

对于B,由zf=z§,得Z孑-=(Z1+Z2)(Z1—Z2)=0,

所以Z1+Z2=0或Zi-Z2=0，所以Z1=—Z2或Zi=Z2，所以|z/=|Z2|,所以B正确，

对于C,因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，

对于D,由（Zi+Z2）（4—Z2）=0,得zj—z2=0,所以z：=z%所以D正确，

故选：BD

12.在复数范围内，下列命题不正确的是（）

A.若z是非零复数，则z-5不一定是纯虚数

B.若复数Z满足z2=fz2|,则z是纯虚数

C.若/+z[=0,则Zi=0且=0

D.若Z],Z2为两个复数，则为-句一定是实数

【答案】BCD

【解析】

对于A,设2=。+步（处beR）9z=a-bi,z-z=26i,但有可能b=0,就不一定是纯虚数，故A正确;

对于B,设2=。+历（。，be/?）,z2=a2-b24-2ab\,\z2\=y/（a2-b2）2+4a2b2=a24-fe2,

由条件可知z?=—罔,即滔一块+2期=_（次+炉）,所以长：一层，

因为a,b可同时为0,所以Z不•定是纯虚数，故B错误；

对于C,若Zi=1,z2=i,+^2=0,故C错误；

对于D,设Zi=a+bi,z2=c4-di（Q,b,c,d6/?）,则%=c—di,

所以Zi-药=（a-c）+（b+d）i不一定是实数，故D不正确.

故选:BCD.

13.已知Zi，Z2均为复数，则下列结论中正确的有（）

A.若|21|=。|,则Z1=±Z2B.若21=豆，则Z1+Z2是实数

22

C.（Zi-Z2）=|Z1-z2\D.若Z1+Z2=O,则Zi豆是实数

【答案】BD

【解析】

Zi=1,z2=­i,|z/=怙2|而ZiH±Z2，A错.

令Zi=a+bi,则Z2=Q—bi,ZI+Z2=2Q为实数，B对.

22

为=1,z2=i»（z1—z2）=-2i,|zt-z2\=2,则（z]一z2）?芋一Z2F，C错.

令Zi=a+bi,则Z2=-Q—历，石=—Q+bi,

Zj,Z2—(a+bi)(—a+bi)=-Q?—/为实数，D对,

故选：BD

14.欧拉公式eix=cosx+isinx(本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创

立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天

桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是()

A.复数e专为纯虚数

B.复数嫄对应的点位于第二象限

C.复数ei涵共翅复数为苧一夕

D.复数eWOeR)在复平面内对应的点的轨迹是圆

【答案】ABD

【解析】

解：对A:因为复数6*=85]+14吗=1为纯虚数，故选项A正确；

对B：复数e12=cos2+isin2,因为cos2V0,sin2>0,所以复数数对应的点为(cos2,sin2)位于第二象限,B

正确；

对C：复数£=852+15也2=1+在1的共加复数为工一在「故选项C错误：

332222

对D：复数=cos。+isin0(0GR)在复平面内对应的点为(cos。,sin。)，

因为cos2e+sin2。=1,所以复数eW。eR)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.

故选：ABD.

15.已知复数z满足方程Q2-4)(Z2—4Z+5)=0,则()

A.z可能为纯虚数B.方程各根之和为4c.z可能为2-iD.方程各根之积为-20

【答案】BCD

【解析】

由(z2-4)(z2-4z+5)=0,得z2-4=0或z?—4z+5=0,

即z?=4或(z—2)2=—1.

解得：z=±2或z=2±i，显然A错误，C正确；

各根之和为—2+2+(2+i)+(2—i)=4,B正确；

各根之积为一2x2x(2+i)(2-i)=-20,D正确

故选：BCD.

16.复数z满足z=2-i(其中i为虚数单位)，则|z|=.

【答案】V5

【解析】

由已知可得|z|=02+(-1)2=V5.

故答案为：V5.

17.已知i为虚数单位，则复数2=炉

74-1---------------------------------------

【答案】誓-gi.

【解析】

Z

故答案为：竿一gi.

18.已知复数z=占，则z-2=

1—V31------------

【答案】%#0.25

【解析】

_i(l+V3i)_-V3+i场_-V3+i-百-i3+11

z一(i-0i)(i+V5i)-T"'故z・z=-j-----------=—=-

故答案为：

4

19.若l—bi(i是虚数单位)是关于X的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则a=

【答案】±##0.0625

16

【解析】

•••实系数一元二次方程/+bx+c=0的一个虚根为1一V3i,

,其共粗复数1+V3i也是方程的根.

(1-V3i)+(1+V3i)=-b

由根与系数的关系知,

(1-\^i)(l+V3i)=c

/.b=—2,c=4.

故答案为：!

lo

20.如果复数z满足|z+l-i|=2,那么|z—2+i|的最大值是

【答案】2+g##g+2

【解析】

设复数Z在复平面中对应的点为Z

V|z+l-i|=2,则点Z到点C(一1,1)的距离为2,即点Z的轨迹为以C为圆心，半径为2的圆

|z-2+i|表示点Z到点4(2,-1)的距离，结合图形可得|Z用4\AC\