确定圆的条件-2022年新九年级数学暑假课（苏科版）解析版

第05讲确定圆的条件

G【学习目标】

1.了解三角形的外接圆与外心相关概念，

2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

0【基础知识】

确定圆的条件

不在同一直线上的三点确定一个圆.

注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不

能画一个圆.“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过

一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆.

二.三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

W【考点剖析】

一.确定圆的条件（共5小题）

1.（2022•石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（）

A.圆心与半径B.直径

C.三角形的三个顶点D.平面上的三个已知点

【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接进行判断即可.

【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；

8、已知直径能确定一个圆；

C、己知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；

平面上的三个已知点不能确定一个圆.

故选：D.

【点评】本题主要考查了确定圆的条件，属于基础题型.注意分类讨论的思想的运用.

2.（2021秋•东光县期中）经过两点可以做无数个个圆,不在同一直线的三个点可以确定一个

圆.

【分析】经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆.

【解答】解：经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆.

故答案为：无数个，三.

【点评】本题考查r确定圆的条件及确定直线的条件，属于基础题，比较简单.

3.（2021秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来

大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）

A.第一块B.第二块C.第三块D.第四块

【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第①块可确定半径的大小.

【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条

垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长.

故选：A.

【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该

圆的圆心.

4.（2022•江岸区模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3,0）、B（5,0）、C（0,4）,OP经

过点A、B、C,则点P的坐标为（）

/31、,33、

A.(6,8)B.(4,5)C.(4,—)D.(4,—)

88

【分析】根据题意可知点P的横坐标为4,设点P的坐标为（4,y）,根据以=PC列出关于y的方程,

解方程得到答案.

【解答】解：〈OP经过点4、B、C,

・・・点尸在线段A8的垂直平分线匕

・••点P的横坐标为4,

设点。的坐标为（4,y）,

作尸EJ_O3于E,PF_LOC于尸,

由题意得,

J42+(y-4]=J/+y2,

解得，y=f，

O

故选：C.

【点评】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任

意两点的线段的垂直平分线的交点.

5.（2021秋•潜山市期末）在平面直角坐标系中有4,B,C三点，A（1,3）,B（3,3）,C（5,1）.现

在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为（2,0）.

【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂宜平分线上,

据此及勾股定理可列式求解.

【解答】解：VA(1,3),8(3,3),C(5,1)不在同一直线上

二经过点A,B,C可以确定一个圆

,该圆圆心必在线段A8的垂直平分线上

•••设圆心坐标为M(2,〃?)

则点M在线段BC的垂直平分线上

：.MB=MC

由勾股定理得：7(2-3)2+(m-3)2=7(2-5)2+(m-l)2

\+nr-6/M+9=9+/M2-2m+1

*'•m=0

・•・圆心坐标为M(2,0)

故答案为：(2,0).

【点评】本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直

平分线的交点上，是解题的关键.

二.三角形的外接圆与外心(共7小题)

6.(2022•富阳区一模)如图，。0是△ABC的外接圆，则点。是AABC的()

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三角形三内角角平分线的交点

【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答

案.

【解答】解：是△ABC的外接圆，

.♦.点。是△48C的三条边的垂直平分线的交点.

故选:B.

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确把握外心的定义是解题关键.

7.（2021秋•兴化市期末）已知正三角形的边长为12,则这个正三角形外接圆的半径是（）

A.273B.pC.3i/3D.4^/3

【分析】设正△ABC的中心为O,过。点作垂足为D,连接08,把问题转化到R△OB。中

求0B即可.

【解答】解：如图，连接0B,作。OLBC,

；BC=12,

；.8Z)=婀=；X12=6,

•..△ABC是等边三角形,

...2080=30°,

二°8=端5=£=40B.

T

故选：D.

【点评】本题考查了正多边形和圆.关键是画出正三角形及其中心，表示正三角形外接圆的半径，把问

题转化到直角三角形中求解.

8.（2022•邯山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，AABC为直角三角形，ZABC=90°,ABLx轴，M

为RtZVIBC的外心.若点A的坐标为（3,4）,点M的坐标为（-1,1）,则点8的坐标为（）

-2)C.(3,-3)D.(3,-4)

m+3

【分析】设。（〃7,〃），利用直角三角形的外心为斜边的中点，根据线段的中点坐标公式得到-1=

2

1=嘤，求出〃?、”得到点C的坐标为（-5,-2）,由于AB_Lx轴，BC〃x轴，从而得到8点坐标.

【解答】解：为RtZVIBC的外心，

.♦.M点为4C的中点，

设C（〃2,九），

•・•点A的坐标为（3,4）,点M的坐标为（-1,1）,

m+31n+4

=—~—，1=———，

22

解得m=-5,n=-2,

...点C的坐标为（-5,-2）,

VZABC=90°,A8_Lx轴，

；.8C〃x轴，

点坐标为（3,-2）.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：二角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，

叫做三角形的外心；锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；

钝角三角形的外心在三角形的外部.也考查了坐标与图形性质.

9.（2021秋•无锡期末）如图，正三角形ABC内接于。0,的半径为厂，求这个正三角形的周长和面

积.

【分析】连接08、OC,作ODJ_8C于Q,则NOZ）B=90°,BD=CD,NO8c=30°,由含30°角的

直角三角形的性质得出OO,由勾股定理求出3。，得出BC,△ASC的面积=3以。蛇，即可得出结果.

【解答】解：如图所示：

连接08、OC,作OO_LBC于。，

则2008=90°,BD=CD,/O8C=30°,

11

:.OD=^OB=i/-,

BD=yJOB2-OD2=孕，

：.BC^2BD=V3r,

即正三角形ABC边长为百八

正三角形ABC周长为3遍r.

二AABC的面积=3SAO“=3X|xfiCX0Z)=3x1xx/3rx%=季产.

2224

•••正三角形MC面积为乎B

【点评】本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正三角形

和圆的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键.

10.（2022•沈河区校级模拟）如图，XABC是。0的内接三角形，ZC=45°,AB=6,则。0的半径长

A.x/2B.2y/2C.3y/2D.4^/2

【分析】连接04,0B,可得N4OB=90°,进而利用等腰直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：如图，连接OA,0B,

；/AC8=45°,

：.ZAOB=2ZACB=90a,

'：OA=OB,

...△AOB是等腰直角三角形，

在RtZ\Q48中，O/^+o解二人解，AB=6,

：.20^=36,

.*.04=30,

即00的半径是30,

故选：C.

【点评】此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出NAO8=90°.

11.（2022•福州模拟）如图，/XABC内接于。0；NA=30°,过圆心。作0CBC,垂足为。.若。。

的半径为6,求。力的长.

【分析】先证△BOC是等边三角形，可得0B=0C=BC=6,由勾股定理可求解.

【解答】解：如图，连接08,0C,

VZB0C-2ZA,NA=30°,

/.Zfi(9C=60°,

'：OB=OC,

...△50C是等边三角形，

OB=OC=BC=6,

'.'ODIBC,

:.BD=CD=3,

在RtAODB中，OD=>JOB2-BD2=,36—9=3g.

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，等边三角形的性质，勾股定理等知识，掌握圆周角定理是

解题的关键.

12.(2021秋•海淀区期末)如图，△ABC内接于。0,高AD经过圆心O.

(1)求证：AB=AC；

(2)若BC=8,。0的半径为5,求AABC的面积.

【分析】(1)根据垂径定理得到前=前，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；

(2)连接OB,根据垂径定理求出BD,根据勾股定理求出OD,根据三角形的面积公式计算，得到答

案.

【解答】(1)证明：：OZ)_LBC,

・,.前=前，

：.AB=AC；

(2)解：连接08,

VOD1BC,BC=8,

11

：.BD=DC=ix8=4,

在RtAODB中，0D=>JOB2-BD2=V52-42=3,

.*.4Q=5+3=8,

ASAABC=1X8X8=32.

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题

的关键.

O【过关检测】

一.选择题（共5小题）

1.（2020秋•西林县期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（）

A.1B.2C.3D.无数

【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆.

【解答】解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆.

故选：A.

【点评】本题考查的是圆的确定，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆,

过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆.

2.（2021秋•闵行区校级期中）下列说法正确的个数有（）

①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；

②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；

③等弧所对的圆心角相等；

④过三点可以画一个圆.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及确定圆的条件进行逐个判断即可.

【解答】解：①平分弦（弦不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法错误；

②在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，说法错误；

③等弧所对的圆心角相等，说法正确；

④过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法错误.

综上所述，正确的说法有1个.

故选：A.

【点评】本题考查的是垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及确定圆的条件，在解答此类问题时要注意只

有在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦、弦心距都分别相等.

3.（2021秋•泗阳县期末）下列说法正确的是（）

A.一个三角形只有一个外接圆

B.三点确定一个圆

C.长度相等的弧是等弧

D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等

【分析】根据三角形的外接圆、等弧的定义、三角形外心的性质判断即可.

【解答】解：A、任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意；

B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意；

C、长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意；

。、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的外接圆、等弧的定义，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键.

4.（2021秋♦无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0,-3）,B（2,-1）,C（2,3）.则443。

的外心坐标为（)

221)

CD1

【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作A8与BC

的垂线，两垂线的交点即为AABC的外心.

【解答】解：如图，根据网格点。’即为所求.

F

•••ZXABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，

尸与MN的交点0'即为所求的aABC的外心，

...△ABC的外心坐标是（-2,1）.

故选：D.

【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质.注意三角形的外心即是三角形三边垂直

平分线的交点.解此题的关键是数形结合思想的应用.

5.（2021秋•江北区期末）如图，在等边△ABC中，AB=4,点。为AB的中点，动点E、尸分别在40、

8c上，且EF=2g,作aBEF的外接圆。0,交AC于点G、H.当动点E从点。向点A运动时，线段

A.一直不变B.一直变大

C.先变小再变大D.先变大再变小

【分析】由等腰三角形的性质可求ON=1,FO=OB=GO=OH=2,则点。在以点B为圆心，2为半径

的圆上运动，由勾股定理可求G”=2,4—。尸2,即可求解.

【解答】解：如图，连接BO,E0,F0,GO,H0,过点。作ON_LEF于MOP1GH±P,

「△ABC是等边三角形，

.•.NA8C=60°,

：.ZEOF=\20°,

\'OE=OF,0N1EF,

：.ZOEF^ZOFE=30Q,EN=FN=麻

：.0F=20N,FN=pON,

：.0N=l,FO=2,

：.OB=GO=OH=2,

...点。在以点8为圆心，2为半径的圆上运动，

V0G=0H,0PLGH,

:.GH=2PH,

:PH=\/0H2-OP2=<4-OP2.

:.GH=2V4-OP2,

:动点E从点D向点A运动时，0P的长是先变小再变大，

••.G”的长度是先变大再变小，

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定

点0的运动轨迹是解题的关键.

二.填空题（共2小题）

6.（2022春•重庆期中）如图，点A、点B是直线/上两点，AB=10,点M在直线/外，MB=6,MA=8,

NAM8=90°,若点P为直线/上一动点，连接MP,则线段A/P的最小值是4.8

【分析】根据垂线段最短可知：当时，有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解MP

的最小值.

【解答】解：当时，MP有最小值，

VAB=10,MB=6,MA=8,ZAMB=90°,

即10MP=6X8,

解得MP=4.8.

故答案为：4.8.

【点评】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到最小时的P点位置是解题的关键.

7.（2021秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系直加中，点A,B,C的横、纵坐标都为整数，过这三

个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2,1）.

【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB,作线段A8和线段BC的垂直平分线MMEF,两

线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可.

【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0,2）,3点的坐标是（1,3）,C点的坐标是（3,3）,

连接48,作线段A8和线段8c的垂直平分线MMEF,两线交了-。，则。是圆弧的圆心，如图，

二。点的坐标是（2,1）,

故答案为：（2,1）.

【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q的位置

是解此题的关键.

三.解答题（共4小题）

8.（2022春•鼓楼区校级期中）如图，△A8C内接于。。，是的直径，/是△ABC内一点，4/的延

长线交BC于点。，交。。于E,连接BE,BI,若/B平分/ABC,EB=EI.

（/）求证：AE平分/BAC；

(2)若BD=乘,O/_LAD于/,求C£>的长.

【分析】（1）根据角平分线的性质得到/48/=/CB/,由等腰三角形的性质得到/EB/=NE/8,通过

三角形外角的性质和圆周角定理即可得到结论；

（2）由AB是。。的直径，得至IJAELBE,推出。/〃BE,根据三角形的中位线的性质得到A/=/E=BE,

nrBE

推出AE=2BE,根据相似三角形的性质得到——=——=求得BE=2,DE=\,AE=4,AD=3,由

BEAE2

ArBE

于△ACOs/XBOE,得到一=一=2,根据勾股定理即可得到结论.

CDDE

【解答】解：（1）平分/ABC,

：./ABI=/CBI,

♦：EB=E1,

:./EBI=/EIB,

■:NEBI=NBAI+/IBA,NEBI=NIBC+NCBE,

:.NBAE=NCBE,

'：ZCBE=ZEACf

・・・NBAE=NCAE,

・"E平分N8AC：

(2)〈AB是。。的直径，

：.AE±BE.

•:0I1AE,

：.01〃BE,

・：AO=BO,

:・AI=IE=BE,

:・AE=2BE,

■:NEBC=/BAE,

AABDE^AABE,

.DEBE1

,*BE~AE~2

•:BD=V5，

：.BE=2,DE=1,

：.AE=4,・・.4O=3,

.ACBE

••—=—=2,

CDDE

:.CD2+AC2=AD2,

即CD2+(2CD)2=9,

.".co=等.

5

A

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的

性质，能正确作出辅助线并求出4E=23E是解此题的关键，有一定的难度.

9.（2022春•诸暨市校级月考）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；

（2）设每个小方格的边长为I,求出外接圆。。的面积.

【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；

（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：（1）如图所示，点。即为所求；

（2）连接08,

由勾股定理得：0B=©+/=g,

外接圆。。的面积为：nX（何）2=101T.

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的

关键.

10.(2021秋•曹县期中)如图，。。是△ABC的外接圆，AO_LBC于点。，圆心。在40上，AB=10,

8c=12,求00的半径.

【分析】连接08,根据垂径定理首先求得8。的长，根据勾股定理求得4