人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第七章第4节　空间直线、平面的垂直

第4节空间直线、平面的垂直

■I,灵活胃、唬密致提混

《二选题明细表

应用创

知识点、方法基础巩固练综合运用练

新练

直线与平面垂直的判定

1,4,912

与性质

平面与平面垂直的判定

5

与性质

求空间角的大小3,7,8

10,11,13,14,1

综合问题2,617,18

5,16

A级基础巩固练

1.（2021•河北沧州联考）如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是

正六边形,PA，平面ABC.则下列结论不正确的是（D）

A.CD〃平面PAF

B.DF，平面PAF

C.CF〃平面PAB

D.CF，平面PAD

解析:A中，因为CD〃AF,AFu平面PAF,CDQ平面PAF,所以CD〃平面PAF

成立；

B中，因为六边形ABCDEF为正六边形,所以DF±AF.又因为PA_L平面

ABCDEF,DFu平面ABCDEF,所以PA_LDF,又PAAAF=A,PAu平面PAF,

AFu平面PAF,所以DF,平面PAF成立；

C中，CF〃AB,ABu平面PAB,CFC平面PAB,

所以CF〃平面PAB;

而D中，CF与AD不垂直.故选D.

2.（2021•江西南昌模拟）如图，在四面体ABCD中,已知AB±AC,BD±

AC,那么点D在平面ABC内的射影H必在（A）

A.直线AB上B.直线BC上

C.直线AC上D.AABC内部

解析：由AB_LAC,BD±AC,又ABGBD=B,ABu平面ABD,BDu平面ABD,

则AC_L平面ABD,而ACu平面ABC,

则平面ABC_L平面ABD,

因此点D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB

上.故选A.

3.已知三棱柱ABC-A,B,C,的侧棱与底面垂直,体积为底面是边长为

遍的正三角形,若P为底面ABG的中心,则PA与平面ABC所成角的

大小为（B）

解析:如图,取正三角形ABC的中心0,连接0P,

则NPA0是PA与平面ABC所成的角.因为底面边长为6，

所以AD=VIX?=|,

A0=1AD=1x^=l.三棱柱的体积为孚X（V3）2•AA,4解得AA尸逐

33244

即0P=AA1=V3,所以tanZPA0=^=V3,

AO

因为直线与平面所成角的取值范围是［0,即，

所以NPA0?故选B.

4.（2021•山东烟台月考）如图，在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD

的中点,G是EF的中点，现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空

间图形，使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,则在这个空间图形中

必有（B）

A.AG,平面EFHB.AHJ_平面EFH

C.HFJ_平面AEFD.HGJ_平面AEF

解析：根据折叠前、后AH±HE,AH1HF不变，且HEGHF-H,HE,HFu平面

EFH,得AH_L平面EFH,所以B正确；

因为过点A只有一条直线与平面EFH垂直,所以A不正确；

由题知AG±EF,又EF±AH,AGAAH=A,AG,AHu平面HAG,

所以EF_L平面HAG,又EFu平面AEF,

所以平面HAG_L平面AEF,若过点H作直线垂直于平面AEF,则直线一

定在平面HAG内，所以C不正确；

因为HG不垂直于AG,所以HG_L平面AEF不正确,所以D不正确.

故选B.

5.（多选题）（2021•山东济宁模拟）已知l,m表示两条不同的直线，a,

B表示两个不同的平面，1_LQ,muB,则下面四个命题中正确的是

（AC）

A.若。〃B,贝ljl，mB.若a贝！Jl〃m

C.若l〃m,贝Ija_LBD.若l_Lm,贝lja〃B

解析:因为1，Q,Q〃B,根据面面平行的性质知1_LB,又muB,则

l_Lm，故A正确；

若a，B,1_La,则1可能在B内或与B平行，则1可能与m相交、平

行或异面，故B错误；

由l〃m,1J_a可推出m_La，又muB,根据面面垂直的判定定理可知

a故C正确；

若a,B的交线为m,则推不出a〃B，故D错误.故选AC.

6.（多选题）如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周

上异于A,B的任一点，则下列结论中正确的是（AD）

p

A.PC±BC

B.AC，平面PBC

C.平面PAB_L平面PBC

D.平面PAC_L平面PBC

解析：由题意,BC±AC,若AC_L平面PBC,

可得AC±PC,与AC±PA矛盾,故B错误；

BC±AC,又PA_L底面ABC,所以PA±BC,ACAPA=A,AC,PAu平面PAC,则

BC,平面PAC,又PCu平面PAC,则BC±PC,又BCu平面PBC,所以平面

PAC_L平面PBC,故A,D正确;

因为BC_L平面PAC,所以NPCA为平面PAB与平面PBC所成角的平面

角，又NPCA为锐角，所以平面PAB与平面PBC不垂直,故C错误.

故选AD.

7.若P是4ABC所在平面外一点，而4PBC和AABC都是边长为2的正

三角形,PA=V6,那么二面角P.BC.A的大小为.

解析:取BC的中点0,连接0A,0P（图略）,

则NP0A为二面角P-BC-A的平面角,0P=0A=V3,PA=V6,所以aPOA为

直角三角形，ZP0A=90°.

答案:90。

8.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=26,CC尸也则二面角

C.-BD-C的大小为

解析:如图，取BD的中点0,连接0C,0G,

因为AB=AD=2V3,

所以COLBD,C0=V6.

因为CD=BC,

所以CiD=3B,

所以CQ_LBD,

所以NCQC为二面角C,-BD_C的平面角.

t,anZ“C10C=-C1i-C=-V2F=-V3,

COV63

所以NCQC=30°,

即二面角C-BD-C的大小为30°.

答案:30°

9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中,PA_L底面ABCD,AB±AD,AC±CD,

NABC=60。，PA=AB=BC,E是PC的中点，求证:

R

(1)CD±AE;

(2)PD_L平面ABE.

证明:(1)因为PA_L底面ABCD,CDu底面ABCD,所以CD±PA.

又CD±AC,PAGAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,

故CD_L平面PAC,又AEu平面PAC,

故CD±AE.

(2)因为PA=AB=BC,NABC=60°,

所以PA=AC.

因为E是PC的中点，

所以AELPC.

由(1)知CD±AE,由于PCGCD=C,PCu平面PCD,CDu平面PCD,

从而AEL平面PCD,又PDu平面PCD,

故AE_LPD.

易知BA±PD,AEABA=A,AEu平面ABE,BAu平面ABE,

故PD_L平面ABE.

B级综合运用练

10.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=V2,BD1CD.将四边

形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD,平面BCD,

则下列结论中正确的个数是(B)

B△4--D/A\\

B，D

CC

①A'C_LBD;②NBA'C=90°;③CA'与平面A'BD所成的角为30°

④四面体A「BCD的体积为g.

A.0B.1C.2D.3

解析：因为AB=AD=CD=1,BD=V2,

所以ABLAD,

因为平面A'

平面A'BDC平面BCD=BD,

所以CD_L平面ABD,

取BD的中点0,连接0A',0C（图略），

因为AB=A'D,

所以AO±BD.

又平面A'BD_L平面BCD,平面A'BDA平面BCD=BD,

A'Ou平面A'BD,

所以A'0,平面BCD.

又因为BD±CD,所以OC不垂直于BD.

假设A，CLBD,因为0C为VC在平面BCD内的射影，

所以OCLBD,矛盾，故①错误；

因为CDLBD,平面A'BD,平面BCD,且平面A'BDA平面BCD=BD,

所以CD_L平面ABD,

又A'Bu平面A'BD,

所以CD_LA'B.

因为A'B=A'D=1,BD=V2,

所以A，B±AZD,

又CDGA'D=D,CD,A'Du平面A'CD,

所以A，BL平面A，CD,

又A，Cu平面A'CD,

所以A'B，A'C,故②正确；

NCA'D为直线CA'与平面A'BD所成的角，NCA'D=45°,

故③错误；

A'-BCD~^C-A'BD=^^BD*'。=不故④错误.故选B.

11.如图，正方形ABCD和正方形ADEF成60°的二面角，将aDEF绕DE

旋转，在旋转过程中，

(1)对任意位置，总有直线AC与平面DEF相交；

⑵对任意位置,平面DEF与平面ABCD所成角大于或等于60°

(3)存在某个位置，使DFJ_平面ABCD;

(4)存在某个位置，使DF±BC.

其中正确的是(C)

A.(1)(3)B.(2)(3)

C.(2)(4)D.(3)(4)

解析:过D作AC的平行线1,如图，

E

当平面DEF过1时，直线AC与平面DEF平行，故⑴错误；

△DEF绕DE旋转形成一个以DE为高,EF为底面半径的圆锥，

设平面ABCD的法向量为n,平面DEF的法向量为r,

则向量n所在直线与圆锥底面所成角为60°,

向量r所在直线为圆锥底面与EF垂直的半径所在直线，

根据最小角原理,n与r的夹角大于或等于60°,故⑵正确；

若有DF_L平面ABCD,则AD1DF,

所以ADJ_平面DEF,则F在平面DEC内，

此时DF与平面ABCD所成角为15°或75°,矛盾，故⑶错误；

当AD1DF,所以ADJ_平面DEF时,AD〃BC,

所以DFJ_BC,故⑷正确.

故选C.

12.（多选题）（2021・福建泉州质检）如图，在下列四个正方体

ABCD一ABCD中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,

则在各个正方体中，直线BD与平面EFG垂直的是（ABC）

解析:如图,在正方体中,E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点,且六点共面,

直线BDf与平面EFMNQG垂直,并且A项,B项,C项中的平面与这个平面

重合.对于D项中的图形，由于E,F分别为AB,AB的中点,所以EF〃BB、

故NB1BD1为异面直线EF与BDi所成的角，且tan/BBD尸鱼,即NB0L

不是直角，故BDi与平面EFG不垂直.故选ABC.

13.（2021•湖北黄冈质检）如图,PAJ_/O所在的平面,AB是圆0的直

径,C是圆。上一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影，给出下列结论:

①AF_LPB;②EF_LPB;③AF_LBC;④AEJ_平面PBC.

其中正确结论的序号是.

解析:①由于PA_L平面ABC,BCu平面ABC,

因此PA±BC,

又AC±BC,PAGAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,

因此BC_L平面PAC,AFu平面PAC,

所以BC±AF,由于PC±AF,BCnPC=C,BCu平面PBC,PCu平面PBC,

因此AF_L平面PBC,又PBu平面PBC,

所以AFLPB,故①正确；

②因为AE±PB,AF±PB,AEAAF=A,AEu平面AEF,AFu平面AEF,

所以PB_L平面AEF,又EFu平面AEF,

因此EF±PB,故②正确；

③在①中已证明AF_L平面PBC,BCu平面PBC,所以AFLBC,故③正确；

④若AE_L平面PBC,

由①知AF,平面PBC,

由此可得出AF/7AE,

这与AF,AE有公共点A矛盾，

故AE_L平面PBC不成立，故④错误.

故正确的结论为①②③.

答案:①②③

14.三棱锥P-ABC中，PA=1,AB=AC=V2,PA,AB,AC两两相互垂直,M为PC

中点,则异面直线PB与AM所成角的余弦值是;取BC中点

N,则二面角M-AN-C的大小是_______.

解析：由题设,连接中位线MN,

则MN〃PB,即异面直线PB与AM所成角的平面角为NAMN,

因为PA=1,AB=AC=&,

PA,AB,AC两两相互垂直，

所以PC=PB=V3,则AM=MN=f,

且AN=1,

过M作MD_LAC于D,易知D是AC的中点，若E为AN的中点，连接DE,ME,

所以DE±AN,ME±AN,而DEAME=E,

所以AN,平面MED,故NMED是二面角M-AN-C的平面角，

因为PA,AB,AC两两相互垂直，易知平面PAC,平面PAB,平面ABC两两

相互垂直，

又平面PACA平面ABC=AC,MDu平面PAC,

所以MD,平面ABC,EDu平面ABC,

即MD±DE,

所以在RtAMED中

贝（JtanNMED=—=1

所以NMED』.

4

答案q;

15.如图,在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=1,ZACB=90°,D是AB的

中点,F在BBi上.

⑴求证:GD_L平面AABB;

⑵在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB」平面GDF?并

证明你的结论.

&为BBi的中点;②ABI=6;③AA、=①

(1)证明：因为ABC-A,B,C,是直三棱柱，

所以AiCi=BiCi=l,

且NA£BL90°,

又D是AB的中点，

所以GD_LAB.

因为AA」平面ABC,GDu平面ABC,

所以AA」C。

又A(B|AAAi=Ai,ABU平面AABB,AA〕u平面AA,B|B,

所以CJ)_L平面AAEB.

(2)解:选①③能证明AB」平面GDF.

证明如下:如图，连接AB,

AC

所以DF〃AB,

在AABC中，AC=BC=1,ZACB=90°,

贝I」AB=V2,

又AAFVX则ABJ_ABi,

所以DF_LABi.

因为GD_L平面AABB,ABc平面AABB,

所以CD_LABi.

因为DFG3D=D,DFu平面GDF,GDu平面GDF,

所以AB」平面GDF.

16.（2021•陕西西安八模）如图所示,AB是圆柱的母线,BD是圆柱底

面圆的直径,C是底面圆周上一点，且AB=BC=2,ZCBD=45°,求直线BD

与平面ACD所成角的大小.

解:取AC的中点E,连接BE,DE.

由题意知AB_L平面BCD,CDu平面BCD,

故AB，CD.

又BD是底面圆的直径，

所以NBCD=90°,即CD_LBC.

因为ABnBC=B,AB,BCu平面ABC,

所以CD,平面ABC,

又因为BEu平面ABC,

所以CDLBE.

因为AB=BC=2,AB_LBC,

所以BE_LAC,且BE=鱼,

又ACGCD=C,AC,CDu平面ACD,

所以BE,平面ACD,

所以NBDE即为直线BD与平面ACD所成的角，

又BD=V2BC=2V2,

所以sinNBDE=^=^=i

BD2V22

所以NBDE=30°,

即直线BD与平面ACD所成的角为30°.

C级应用创新练

17.已知在梯形ABCD中,AD/7BC,ZABC=ZBAD=pAB=BC=2AD=4,E,F分

别是AB,CD上的点,EF/7BC,AE=x(0<x<4),沿EF将梯形ABCD翻折，使

平面AEFD_L平面EBCF(如图).

ADAD

(1)当x=2时,①证明：EF_L平面ABE;

②求二面角D-BF-E的余弦值；

(2)三棱锥D-BFC的体积是否可能等于几何体ABE-DCF体积的热并说

明理由.

⑴①证明：在直角梯形ABCD中，因为NABC=NBADg,

故DA±AB,BC±AB,

因为EF〃BC,故EFJ_AB,

所以在折叠后的几何体中，有EF±AE,EF±BE,而AEABE=E,AEu平面

ABE,BEu平面ABE,故EF_L平面ABE.

②解:如图，在平面AEFD中，过D作DG±EF交EF于点G.

在平面DBF中，过D作DH_LBF交BF于点H,连接GH.

因为平面AEFD,平面EBCF,平面AEFDA平面EBCF=EF,DGu平面AEFD,

故DG_L平面EBCF,

因为BFu平面EBCF,

故DG_LBF,而DGnDH=D,DGu平面DGH,DHu平面DGH,

故BF_L平面DGH,

又GHu平面DGH,故GH±BF,

所以NDHG为二面角D-BF-E的平面角，

在平面AEFD中，因为AE±EF,DG±EF,

故AE〃DG,

又在直角梯形ABCD中，

EF〃BC,且EF=*BC+AD)=3,

故EF〃AD,故四边形AEGD为平行四边形，

故DG=AE=2,GF=1,

在RtABEF中，tanZBFE=^,

因为NBFE为三角形的内角，

故sinNBFE」，

V13

故GH=1•sin/BFE=总，

故tanZDHG=J-=V13,

因为NDHG为三角形的内角，

故cosNDHG^^,

14

所以二面角D-BF.E的余弦值为手.

14

(2)解:若三棱锥D-BFC的体积等于几何体ABE.DCF体积的：，

.9

则VB-ADFE+^D-BFC=\D-BFC，

^^B-ADFE=^D-BFC-

由⑴的证明可知,DGJ_平面EBCF,同理可证BE_L平面AEFD,AE=DG.

故VBTDf・BE•Si,其中S,为直角梯形ADFE的面积•

而*DG•SABCP=—•AE•SABCP,

在直角梯形ABCD中，过D作BC的垂线,与EF,BC分别交于M,N,

AD

ft

HNC

则光,故FM喙

242

所以FE=”2,