人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第三章第2节第一课时　利用导数研究函数的单调性

第2节导数在研究函数中的应用

第一课时利用导数研究函数的单调性

"课时作业灵活方4密致提卷

选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

导数与函数的单调

3,4,6,7,91216

性关系的理解

利用导数研究函数

1,214,1517

的单调区间

利用导数与函数综

5,8,10,1113

合应用

A级基础巩固练

1.(2021•江苏常熟高三抽测)函数f(x)=2x2-Inx的单调递减区间为

(D)

A.(-2,2)B.(0,2)

C.(一沾D.(0,|)

解析：函数f(x)的定义域是(0,+8),f，(x)=4x--=生二，由

XX

4X12-*B.1

丁<°，可得0<x4.所以此函数的单调递减区间是(0,；).故选D.

(%>0,22

2.函数f(x)7条在(B)

A.(-8,+8)内是增函数

B.(-1,1)内是增函数,在其余区间内是减函数

C.(-8,+8)内是减函数

D.(-1,1)内是减函数，在其余区间内是增函数

解析:f(x)的定义域为R,f'&)=尹之，

当『(x)>0时，解得-1解<1,故f(x)的单调递增区间为(-1,1);

当f'(x)<0时,解得X<-1或x>l,故f(x)的单调递减区间为(-8,

-1),(1,+8).故选B.

3.(2021•浙江高三联考)已知函数f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)

的图象可能是(B)

解析：由函数y=f'(x)的图象知f(x)在(1,2)上是增函数,其余部分

递减.故选B.

4.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式

(x2-2x-3)fz(x)>0的解集为(D)

A.(-8,-2)u(1,+8)

B.(―8,—2)U(1,2)

C.(-8,-1)u(-1,0)U(2,+8)

D.(-8,-1)U(-1,1)U(3,+8)

解析:原不等式等价于0，

或°,结合f(X)的图象可得，

「>3或％<-1,或「:，解得x.i或x>3或T〈X〈L故选D.

5.已知定义在R上的函数f(x)亭x'+x2+ax+l有三个不同的单调区间，

则实数a的取值范围是(D)

A.-1)U(1,+8)

B.[-1,0)U(0,1]

C.(-1,1)

D.(-1,0)U(0,1)

解析：f'(x)=ax2+2x+a,

若函数f(xh^ax'xZ+ax+l有三个不同的单调区间，则f'(x)=ax2+2x+

a=0有2个不相等的零点,则有△=4-4a2>0,且aWO,

解得TCaG,且aWO,即实数a的取值范围是(-1,0)U(0,1).故选D.

6.已知函数f(x)=|x3+(2-a)X2+X-4在(0,2]上为增函数,则a的取值范

围是(B)

A.(-8,4]B.(-8,3]C.(4,+8)D.(-8,3)

解析：f'(x)=x?+2(2-a)x+l,由题意可知x2+2(2-a)x+1^0在区间

(0,2]内恒成立，即2(a-2)Wx+3xe(0,2],

X

由基本不等式知x+二的最小值为2,因此2(a-2)W2,即aW3.故选B.

X

7.已知函数f（x）二竺4（aW。）的部分图象如图所示，则（B）

A.a<0

B.a-c>0

C.b-c<0

D.3a-2b+c<0

解析：因为f(x)=竺半把，

ex

2

匚匚I、IQ，/\~ax+(2a-b)x+b-c

所以f'(X)=-------------------,

ex

令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,

由图象可知，函数y=f(x)先减后增再减，

则-a〈0,可得a>0,A选项错误；

f'(-1X0,则g(-l)=-3a+2b-c<0,

则3a-2b+c>0,D选项错误；

f'(1)>0,则g(l)=a-c>0,B选项正确;

f'(0)>0,则g(0)=b-c>0,C选项错误.故选B.

8.已知非负函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)的定义域为(0,+8),

若对于定义域内的任意x,均满足伊(x)>上,则下列式子中不一定

X

正确的是(B)

A.f(2)>2f(1)B.f(3)>e・f(2)

C.f(4)>-f(3)D.f(e)>2e•f(-)

62

解析：因为x>0,且f，(x)>3,可得xf,(x)>f(x),即xfz(X)-

X

f(x)>0,令g(x)=P，贝IJg'(x)="r⑴了⑺，所以gz(x)>0,所以

Xxz

g(x)=但在(0,+8)上单调递增，

X

对于选项A,由g(2)>g(l),可得?>一,

即f(2)>2f(l),故选项A正确；

对于选项B,由g(3)>g(2),可得等>?,

即f⑶>|f(2),得不出f(3)>e-f(2),故选项B不一定正确；

对于选项C,由g(4)>g(3),可得牛》乌，

43

即f(4)>?f(3),因为f(3)>0,

所以孑(3)>：f(3),可得f(4)>：f(3),故选项C正确；

366

对于选项D,由g(e)>g(1),可得答〉学，

2

即f(e)>2e,f(|),故选项D正确.

所以不一定正确的是选项B.故选B.

9.已知函数f(x)=lnx-ax2-x在区间中力上存在单调递减区间，则a

的取值范围是(B)

A.[1,+8)B.(1,+8)

C.(-8,1)D.(-°0,1]

解析：由题，f'(x)^-2ax-l--2Qx2^+1,

XX

因为x>0,则若函数f(x)=lnx-ax2-x在区间与学上存在单调递减

区间，

即一2aX?-x+l〈O在[|,上有解，

即存在xe[1口，使得2a立+J成立,

32XX2

设t=^(te[2,3]),则u(t)=—t+t2=(t—，2—*当t=2时,u(t)min=u(2)=2,

所以2a>2,即a>l.故选B.

10.设f,(x)是f(x)的导函数,写出一个满足f'(x)>f(x)在定义域R

上恒成立的函数f(x)的解析式:.

解析：由题意，设函数f(x)=ex-l,可得f'(x)=e;

令F(x)=f'(x)-f(x)=ex-(ex-l)=l>0恒成立，即函数f(x)=ex-l,符合

题意.

答案:f(x)=e*T(答案不唯一)

11.若任意a,b满足0〈a<b<t,都有blna<alnb,则t的最大值

为.

解析：因为0〈a〈b〈t,blna<alnb,

所以皿〈*a〈b),

ab

令y里,则函数在(0,t)上单调递增，故由y，=上乎>0可知0<x<e,故

t的最大值是e.

答案：e

B级综合运用练

12.已知y=f(x)为(0,+8)上的可导函数，且有『&)+2包>0,则对于

X

任意的a,b£(0,+8),当a>b时,有(B)

A.af(a)<bf(b)B.af(a)>bf(b)

C.af(b)>bf(a)D,af(b)<bf(a)

解析:不妨设h(x)=xf(x),则h'(x)=f(x)+xf'(x).

因为当x>0时，有f'(x)+必>0,所以当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,即

X

X(x)>0,此时函数h(x)单调递增，则对于任意的a,b£(0,+8)

当a>b时，贝！Jh(a)>h(b),即af(a)>bf(b).故选B.

13.若l〈x《X2,则下列不等式正确的是(D)

A.Xilnx2>x2lnXi

B.Xilnx2<x2lnXi

X2X1

C.e-e<lnx2-lnXi

xx_

D.e2-ei>lnx2lnXi

解析:构造函数g(x)=^(x>l),则g'(x)=W^,

又当x£(1,e)时，g'(x)>0,当x£(e,+8)时，g'(x)<0.

所以g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减,所以

g(xi),晨X2)的大小不确定.所以A,B均不正确；

构造函数h(x)=e'Tnx(x>l),则h'(x)=e'二>0,所以h(x)在(1,+8

X

上为增函数，

X1

所以h3)>h(xi),即e^-lnx2>e-lnXi,所以e&-e/》］nx2-lnXi.

故选D.

14.已知函数f(x)=-2:不若me(-1,1),求函数f(x)的单调区间.

xz-2mx+l

解：因为(T,1),所以△=4m2-4〈0,所以y=x-2mx+l>0恒成立，

则函数的定义域为R.

f//\e*(x-1)(x-2m-l)

(x2-27nx+l)2'

①当m=0时,2m+l=l,此时f'(x)20,f(x)在R上单调递增;

②当0<m<l时，l<2m+l<3,

x£(-8j),『(x)>0,f(x)单调递增,

xe(l,2m+l),fz(x)<0,f(x)单调递减,

x£(2m+l,+8),f'(x)>0,f(x)单调递增；

③当T<m<0时,T<2m+l〈l,

x£(-8,2m+l),『(x)>0,f(x)单调递增，

xe(2m+l,l),f,(x)<0,f(x)单调递减，

x£(l,+8),『(x)>0,f(x)单调递增.

综上所述,当m=0时,£&)的单调递增区间为(-8,+8)；

当0<m<l时,f(x)的单调递增区间为(-8,1),(2m+l,+8),单调递减

区间为(1,2m+l);

当-km<0时,f(x)的单调递增区间为(-8,2m+l),(1,+8),单调递减

区间为(2m+l,1).

15.已知函数f(x)J-x+alnx.讨论函数的单调区间.

X

解：函数f(x)的定义域为(0,+8),

f'(x)=C-l+J^^.

XzX

设g(x)=x2-ax+l.

(1)当aWO时,g(x)>0恒成立，即f'(x)<0恒成立,此时函数f(x)在

(0,+8)上是减函数；

(2)当a>0时,判别式A=a2-4,

①当0〈aW2①AW0,即g(x)》0,即f'(x)W0恒成立,此时函数

f(x)在(0,+8)上是减函数；

②当a>2时,x,f‘(x),f(x)的变化如表所示.

2/Q-Va2-4a+>Ja2-4\

Xa~Va-4

22'2

f'(x)—0+

f(x)单调递减极小值单调递增

2

Xa+Va-4产广,+8)

2

尹(x)0—

f(x)极大值单调递减

综上，当aW2时,f(x)的单调递减区间为(0,+8)；

当a>2时,f(x)的单调递减区间为(0,罟二)，(上尸,+8),单调递

增区间为(空岸,誓3.

C级应用创新练

16.已知函数f(x)=x2+ax-lnx,若m,n£[1,+°°),且――“改>3恒成

m-n

立，则a的取值范围是(D)

A.[1,+8)B.[3-2V2,+«=)

C.⑵+8)D.[2,+8)

解析:假设m>n,由八㈤-八⑴>3,得f(m)-3m>f(n)-3n,令g(x)=f(x)-3x=

m-n

x2+(a-3)xTnX,因此函数g(x)在区间[1,+8)上是增函数.

g'(x)=2x+a-3--^x2+(a-3—(x>0),

XX

因为g(x)在[l,+8)上单调递增，所以13-芋，且g'⑴》0,解得