第3章系统的数学模型

1机械控制理论基础

第三章系统的数学模型西安交通大学机械学院机电系2提纲3.1概述3.2系统微分方程的建立3.3传递函数3.4方块图及动态系统的构成3.6机、电系统的传递函数33.1概述1.数学模型的概念数学模型：系统动态特性的数学表达式。

动态过程：系统由一种稳定状态到另一种稳定状态的过程，称动态过程或过渡过程。建立系统数学模型的方法：(1)分析法：(2)实验法－系统辨识：42.线性系统与非线性系统(1)线性系统系统的数学模型表达式是线性的。线性系统的叠加原理：系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个外加作用单独作用下的响应之和。5线性系统根据其微分方程系数的特点可分为：(1)线性定常系统采用线性常微分方程描述的系统：(2)线性时变系统描述系统的微分方程的系数为时间的函数：

62.线性系统与非线性系统(2)非线性系统用非线性方程描述的系统称非线性系统。如：非线性系统的处理途径：线性化；忽略非线性因素；非线性系统的分析方法；73.2系统微分方程的建立

8机械运动系统的三要素阻尼B质量M弹簧k9电气系统三元件电阻电容电感10列写系统微分方程的一般步骤确定系统输入输出；按照信息传递顺序，列写各环节微分方程；消去中间变量，获得输入和输出之间的关系的微分方程；将该微分方程整理，把与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并按降幂排列。111.机械系统达朗贝尔原理：作用于每一个质点上的合力，同质点的惯性力形成平衡力系。121机械系统

(1)直线运动：131机械系统

(2)转动：14例3.1列出输入位移x和输出位移y之间的微分方程。15例3.2列出机械网络中输入力f与输出位移x2间的运动微分方程B2B1kx1ff图3－5机械网络及受力分析(a)(b)x2m1m2m1m216例3.3齿轮传动的动力学分析试建立输入扭矩与输入轴转角之间的动力学数学模型。(3-8)(3-9)(3-10)17Teq(3-11)182.液压系统流体连续性方程：活塞力平衡方程：阀芯位移引起的流量变换：液压系统微分方程：(3-19)(3-14)(3-15)(3-17)193.电网络系统原理：基尔霍夫电流定律基尔霍夫电压定律(1)基尔霍夫电流定律若电路有分支路，它就有节点，则汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于零（即所有流出节点的电流之和等于所有流入节点的电流之和）。2021(2)基尔霍夫电压定律电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。(3-21)

注意元件中电流的流向及元件两端电压的参考极性。22例3.4列写两级串连RC滤波网络的输入电压ui和输出电压uo间的微分方程。回路I回路II

(3-22)(3-23)

(3-24)

23例3.4列写两级串连RC滤波网络的输入ui和输出电压uo间的微分方程。回路I回路II

(3-26)(3-27)

(3-28)

244.微分方程的增量化表示基本思想：系统按这些不为零的初始条件作为坐标原点（坐标变换）来建立运动微分方程，这时的变量就变成了初始状态为零，然后再进行拉氏变换，但要注意这时变量的坐标是相对于初始条件的。25例3.5(3-30)图3-12电枢控制式直流电机解：1、在初始状态为零的条件下：

电动机电枢回路的微分方程：

反电势的微分方程为：(3-31)

kd为反电势常数26(3-32)(3-33)(3-34)(3-35)(3-36)电动机转子的运动方程为：

km为电动机电磁力矩常数(3-37)

应用式(3-31)和式(3-34)消去中间变量ia，整理后得：平衡状态变量的各阶导数为零27

若ua=0，ML=0则有ω=0。这就是电动机在零初始状态下的平衡方程式。但系统也可能处在另一种恒定转速下的非零初始状态下的平衡。电机工作在这一平衡状态时，设ua=ua0，ML=ML0，ω=ω0，则对应的输入量和输出量之间的方程式可表示为：

(3-38)(3-39)

若在某个时刻，输入量发生了变化，变化值分别为△ua，△ML，系统的原平衡状态将被破坏，输出量也发生变化，其变化值为△ω，这时输入量与输出量可表示为：28(3-41)(3-40)

在某一平衡状态附近的增量化表示式。将各变量的坐标零点放在原平衡点上，把初始条件变为零。两者变量的坐标零点的选取是不同的，变量的绝对值也是不同的。293.3传递函数1.传递函数的基本概念

通过输入输出之间的信息传递关系来描述系统本身动态特性的一种数学模型。（1）定义30定义：对单输入——单输出线性定常系统，在初始条件为零的条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。

由传递函数在复数域直接研究系统的动态特性更为简便。图3-13信息的传递关系G(s)X(s)Y(s)31(2)传递函数的主要特点：适用于线性定常系统。系统传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身的参数有关，与外界输入无关。(3-43)

对于物理可实现系统，传递函数分母中s的阶次n必不小于分子中s的阶次m，即n≥m。因为实际的物理系统总存在惯性，输出不会超前于输入。传函的量纲根据系统输入输出来决定。不同的物理系统，只要其动态特性相同就可以用同一类型的传递函数描述。

32332传递函数的零点和极点极点与系统稳定性的关系；而p和σ+jω是系统传递函数的极点

零点与系统瞬态响应的关系；G(0)与系统稳态输出值的关系；对于单位阶跃输入，系统的稳态输出值为；(3-44)(3-45)342传递函数的零点和极点系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态响应和稳态性能。353.传递函数的典型环节比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延时环节36例3.6求齿轮副传动系统的传递函数（1）比例环节3.传递函数的典型环节特点：输出无滞后地按比例复现输入。37（2）积分环节积分环节的输出正比于输入对时间的积分。积分环节的特点：输出量为输入量对时间的累积；具有滞后和缓冲作用记忆功能。38(3)微分环节

39只有当惯性作用较弱，而微分作用很强时，可以近似看作一个微分环节。40例3.8求活塞位移x和缸体位移y之间的传递函数(3-50)(3-51)41(4)惯性环节系统的输入、输出关系符合方程：统称为惯性环节。式中：T为时间常数两边拉氏变换得：传递函数为:这类环节一般是由一个储能元件和一个耗能元件组成42例3.9建立如图所示系统的传递函数图3-17弹簧－阻尼系统解：由达朗贝尔原理，得即拉氏变换得传递函数为43(5)一阶微分环节系统的输入、输出关系符合方程：统称为一阶微分环节。式中：T为时间常数。传递函数为:两边取拉氏变换：44例3.10建立如图所示系统的传递函数解：根据基尔霍夫电流定律拉氏变换得整理得传递函数：其中由比例环节、惯性环节和一阶微分环节所组成，经常被用来作为校正环节。

45(6)振荡环节

凡能用二阶微分方程描述的环节，统称为振荡环节。数学表达式为：拉氏变换得：传递函数：化成标准形式：

式中：为无阻尼固有频率；为阻尼比。(3-54)(3-55)46例3.11建立机械卷筒机构的传递函数传递函数：其中(3-59)弹簧k1

卷筒

即(3-56)质量m

(3-57)且θ=x/r

(3-58)由比例环节和振荡环节组合而成。47(7)二阶微分环节凡是能用下述方程描述的环节，统称为二阶微分环节传递函数为：48例3.12根据右图，写出系统传递函数解：根据基尔霍夫定律，得整理变换得：

当分子具有一对复根时，系统就包含了一个二阶微分环节。因此二阶微分环节经常是与其他环节组合在一起，而不是单独存在的。49(8)延时环节

当环节受到输入信号作用，经过一段时间后，输出端才完全复现输入信号，这样的环节称为延时环节。关系如下：根据拉氏变换实数域位移定理：故延时环节的传递函数为：

该传递函数为一超越函数，直接处理比较困难，故进行幂级数展开，得：50例3.13带钢轧制中厚度控制系统的传递函数解：传输延迟时间为：传输延迟的传递函数为：51实际上，任何线性系统都可由8种（或其中若干种）典型环节构成，这8种典型环节的传递函数如下：1、放大环节（或比例环节）2、理想微分环节3、一阶微分环节4、二阶微分环节5、积分环节6、惯性环节7、振荡环节8、延迟环节523.4方块图及动态系统的构成1、方块图的基本构成表示信号的流向标明环节的传递函数相加点表示信号的相加或相减方块图是系统中各环节的功能和信号流向的图解表示方法。

53方块图表示系统的优点：只要依据信号的流向，将各环节的方块连接起来，就能容易地组成整个系统的方块图。通过方块图可以评价每一个环节对系统性能的影响。方块图和传递函数一样包含了与系统动态性能有关的信息，但和系统的物理结构无关，因此，不同系统可用同一个方块图来表示。由于分析角度不同，对于同一个系统，可以画出许多不同的方块图。

542动态系统的构成(1)串联n个环节串联：表示第i个环节的传递函数55车削过程传递函数56（2）并联总传递函数为：n个环节并联：表示第i个环节的传递函数57磨削工艺过程传递函数58（3）反馈联接

所谓反馈联接，是将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过传递函数回输到输入端，又重新输入到系统中去，反馈信号与输入相加为“正反馈”，与输入相减为“负反馈”。内在反馈－－车削过程方块图：实际切除量：59外加反馈－－反馈联接构成的闭环系统：故：又所以误差传递函数为：60闭环传递函数为：前向传递函数为：反馈传递函数为：开环传递函数为：61多回路系统62干扰作用下的闭环系统(3-83)(3-84)(3-85)若

(3-86)(3-87)633.方块图的简化64（1）分支点移动规则65（2）相加点（综合点）的移动规则66（3）分支点之间、相加点之间相互移动规则67

实际上，上述各种简化过程都遵守两条基本原则，即前向通道的传递函数保持不变；各反馈回路的传递函数保持不变。68例3.14：对所示方块图进行简化并写出系统传递函数69704.画系统方块图及其求传递函数的步骤确定系统的输入与输出列写微分方程初始条件为零，对各微分方程取拉氏变换将各拉氏变换式分别以方块图表示，然后连成系统，求系统的传递函数71例3.15解：(1)确定系统输入输出；(2)取分离体进行受力分析，设x>y，得力平衡方程

；(3)取拉氏变换；(4)根据拉氏变换画方块图；(5)简化方块图，得系统传递函数。72例3.16解：(1)确定系统输入输出；(2)列微分方程；(3)取拉氏变换；73(4)将各拉氏变换式分别用方块图表