浅议新课标下数学开放题的类型及例析

浅议新课标下数学开放题的类型及例析浅议新课标下数学开放题的类型及例析

前苏联学者奥加涅认为，数学题由题目的条件、解题根据、解题的办法、题目的结论这四个要素组成，按题目中已知要素的多少可分为四种类型：规范性题〔已知四个要素〕，训练性题〔已知三个要素〕，探索性题〔已知两个要素〕，问题性题〔已知一个要素〕.开放题属于探索性题或问题性题.开放题最初只有结论开放一类，现已开展成为结论开放、条件开放、设计开放和问题本身开放等几大类.对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素〔条件、依据、办法、结论〕出发，定性地可分成四类：如果寻求的答案是数学题的条件，那么称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或办法，那么称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，那么称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，那么称为综合开放题.

从开放题答案的开口情况出发，定量地可分成三类：弱开放题――答案情况〔包括可能情况〕只有两种的开放题；中开放题――答案情况〔包括可能情况〕超过两种，但为数目确定的有限种；强开放题――只能给出局部答案情况，答案情况〔包括可能情况〕总数难以确定的开放题.

对开放题的分类讨论，有助于理解开放题的概念，有助于把握问题的开放度，有利于教师把握一个数学开放题是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题的设问方式以辅助课堂教学，或者有利于考试评分的可操作性与公平性.

一、结论开放型

这类问题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考查学生的发散性思维和所学根底知识的应用能力.这类开放题是指提供一定的条件，可以是不仅满足条件，而且所得结论的意义相同的问题.也可以是提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种.

1.同题异果型

例1：180÷12=□÷□=□÷□=……你能写出多少个？

通过训练加深学生对商不变性质的理解和运用.

例2：1999年上海市高考数学试卷第12题〔见前第3页〕，学生可以根据自己的空间想象能力，可以设五条边为1，一条边为2；或五条2一条1；也可以两条1四条2等多种组合，但同时又要考虑能否组成空间四面体，且不是组成正四面体，所以要先画对图，然后选择适宜的办法进行计算体积.

2.异题同果型

例3：甲乙两艘军舰同时从相距948千米的两个港口对开.甲艘军舰每小时行38千米，乙艘军舰每小时行41千米.〔1〕几小时后两艘军舰相遇？〔2〕甲艘军舰开出几小时后两艘军舰相遇？〔3〕乙艘军舰开出几小时后两艘军舰相遇？

这题的条件一样，但问题是从三个不同的角度分别提出的，其题意、计算结果相同.加强这种开放题型的训练，有利于深化理解掌握行程问题的解法.下面的这道题也是异题同果型.

例4：试指出以下两个代数式的共同点：24a■bc■和18a■b■x■.

我们大家熟悉的两个学生相距多远的问题.1994年荷兰数学教育学派的代表人物，德朗治〔deLange〕在上海做报告中有这样一个题目：“如果A离学校5千米，B离学校10千米，问A、B相距几千米？〞这一题目似乎是一道小学算术题.事实上，它的内涵很丰盛，波及从自然数相加，有理数加减，圆的几何轨迹，点的距离，以至圆的参数表示，复数相减等许多数学知识.题目可适合各种层次的学生，可以考虑一直线的情况，可以作为平面计算，也可以在空间测量，留给学生的空间很大.

二、条件开放型

这类考题是给定结论反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一.这类题常以根本知识为背景加以设计而成的，主要考查学生的根底知识的掌握程度和归纳能力.

例5：1998年高考数学全国卷第18题〔见前第3页〕，就是一道典型的条件开放题.

例6：假设二次函数f■〔x〕=a■x■+b■x+c■和f■〔x〕=a■x+b■x+c■使得f■〔x〕+f■〔x〕是〔-∞，+∞〕上单调递增函数，试给出一组满足上述要求的f■〔x〕=-f■〔x〕的函数式.

例7：〔1〕写出一个解集是{x？摇？摇x=2kπ+■，k∈Z}的三角方程.

〔2〕已知m0，使它的结集分别是①〔-∞，m〕∪〔n，+∞〕；②〔m，n，〕.

学生习惯解各种类型的三角方程或不等式，但是要自己写一个满足要求的方程或不等式，往往比拟困难，只要逆向思维、发散思维就会想出不少.

条件开放题是根据题中所给的结论、要求，从不同的角度寻找获得解决这个结论的条件，按寻找条件的类型又可分为下列几种：

1.补充条件型

例8：甲车间？摇？摇？摇乙车间？摇？摇？摇，丙车间？摇？摇？摇，请问三个车间共有工人多少人？〔在整数范围内根据问题补充条件后解答〕

该题要补充的条件全部开放.要求学生展开联想，发散思维，提出各种不同的可以解决问题的条件，当然也就不会有确定的答案.

2.选择条件型

例9：计算图形的面积〔单位：米〕.要求学生选择图形中相关的数据，算出它的面积.〔图略〕

3.多余条件型

例10：学校图书室有文艺书720本，科技书480本.如果把这些书全部放在书架上，平均每个书架放60本，需要这样的书架多少个？

题中已知条件“文艺书720本〞是多余条件.这样，将有用条件和无用条件混杂在一起，形成干扰因素，让学生根据题意进行分析选择.4.隐藏条件型

例11：某条公路两天修完成.第一天修的比总长的2/3多2千米，正好相当于第二天修的4倍.这条公路原长多少米？

该题外表上看来似乎条件缺乏，但其所需的条件隐藏在题意之中，以致学生解题的失误或无从下手.

三、操作开放题

该类题是比拟好的数学开放题形式，充沛体现了“让学生在做中学〞的数学观念，促进了学生动手操作实践能力的提高.

例12：拿几张长方形纸，分别折叠出它的1/8，你能折叠出几种不同的图形吗？

学生通过折叠，加深对分数意义及“平均分〞概念的理解.

四、策略开放题

此类开放题分常规策略开放题和非常规策略开放题两类.

1.常规策略开放题

指运用所学的知识，根据问题的条件分析、推理、判断得到的途径、伎俩可能是多种的，这些不同的途径、伎俩就是不同的解题策略.

〔1〕伎俩开放型

例13：教学“三角形内角和性质〞时，为找出这一性质，可采取开放结果的伎俩组织教学.①让学生分别量出每一个三角形的三个内角度数，并求出它们的和.再引导推测验证性质.②让学生把一张长方形纸沿着一条对角线剪成两个直角三角形.根据长方形四个角的度数和求出每个直角三角形的内角和性质.

〔2〕途径开放题

平时提倡的“一题多解〞属于途径开放型内容.

例14：除了通分外，你还能想出其他办法比拟4/7和5/11的大小吗？

本题可以采取下列两种不同的解题途径：①把4/7和5/11化成和原来分数相等、分子相同的分数，然后比拟它们大小；②因为4个1/7〔4/7〕比3.5个1/7〔1/2〕大，而5个1/11比5.5个1/11〔1/2〕小，由此推理判断4/7大于5/11.

此类开放题目的在于拓宽学生解题思路，培养学生思维的灵活性和发明性.

2.非常规策略开放题

除了运用常规策略开放题外，还应紧密联系实际，超越常规解题思路、办法，让学生学会多角度解决问题.

例15：一条麻袋装大米100千克，现有440千克大米，需要几条麻袋才能装完？

计算结果是4.4条，但不能用常规的“四舍五入〞法取4条.因为使用4条麻袋不可能装完，要用“进一法〞使用5条才能装完.

五、综合开放题

某一数学问题，假设题目的条件、解题策略或结论中有两项以上不确定，那么为综合开放题.综合开放题可以是同学科的，也可以是跨学科的.

例16：用一根14厘米的铁丝，可以围成几种形状不同且长和宽都是整厘米数的长方形.并分别求出围成的各长方形的面积.

这道题也可以看做是操作性开放题.题中要求所围的长方形的长和宽数据，学生要根据条件自己寻找若，难度较大，但对创新精神和实践能力的培养极有益处.

开放题的题型并没有固定的规范，应当具体问题具体分析.同一个问题你可以根据教学内容要求划定类型，不要拘泥僵化.值得一提的是，数学开放题的设计，应力求以课程规范、教材为依据，以学生的知识实际为出发点，以学生可接受性为尺度.要从心理近体原那么出发，合乎认知近体、时间近体、空间近体，体现实用，重视运用，突出灵活，把握梯度.教师应认真进行教学设计.为了配合开放题的教学，教学伎俩和办法要开放，这样才能促使学生学习状态的开放.

六、设计开放型

这类题目要求学生运用学过的数学知识，通过察看、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜测等思维形式，对数学问题进行探索和研究，考查学生的探究能力.

例17：初中数学教学的一道开放题：“有一块长方形的场地，现要在其中建造一些花坛，使得花坛的总面积恰好为原场地的一半，试尽量美观而准确地做好设计.〞这道题将艺术、数学巧妙地结合起来，发人深省.

例18：“五石子问题〞：甲、乙、丙三人任意掷五粒石子，投出的石子离散程度最小者为优，试给出判断这五粒石子离散程度的准那么.

这个问题的关键是如何确定“散度〞，但题目并没有给出什么叫“散度〞，要求学生通过想象用数值表示这个“散度〞.通常的办法有：①任意两点所连线段之中最长者；②连接各点所成直线形的面积之中最大者；③各点间连线长度之和中最长者；④含五点的圆的半径之最小者，等等.

这道题不需要很深奥的理论及专门的知识，却又不是简单可以答复的.其答案似乎很多，又很容易得到，但要得到真正好的准那么，也不是容易的.

七、问题本身开放型

为了培养学生的创新能力，应当联系社会生活的实际，开发一些研究性课题，对学生进行训练，适应新的形势.研究型课题本身就具有开放性.比方存贷款问题、交通问题、环境爱护问题，等等.

例19：上海市新编数学教材?统计初步》中有一例，1990年人口普查时，上海共有4065274个家庭户，总人口数12589650，于是计算得家庭平均人口数为12589650/4065274≈3.10〔人〕.用同样的计算，可算得1982年人口普查时，上海市家庭平均人口数为3.60人.于是得到了上海市的“家庭规模正在缩小〞的结论.

如果按传统的教法，几乎没有新的知识点，学生就很可能只学到平均数的计算公式，而没有学到统计的思想和办法.让学生自己答复这个问题，会陆续碰到许多问题，如〔1〕家庭规模怎么刻画？用财产数？住房大小？家庭人口数？〔2〕一家一户的家庭规模确定之后，上海市总的家庭规模怎么刻画？〔3〕要统计全上海的家庭工作量太大，是否可以少统计一些？如果可以，应该统计哪些家庭？这些家庭的统计结果能否代表上海市的情况？……这些问题实际上已波及了教师要教的根本内容：总体、样本、指标、统计量、平均数等.由于它们是学生自己提出来的，因此学生研究的积极性和责任心就特别强，这是学习成功的非常重要的非智力因素.生活永远是数学问题不枯竭的源泉.关注现实世界中的问题，特别是学生身边的或可理解的实际问题，可使学生有一种亲近感和解题欲望.

例20：上海现行的出租车收费规范是：当路程不超过3千米但不超过10千米时，超过局部的单价2元/千米〔缺乏1千米按1千米计算〕；当路程超过10千米时，超过局部的单价为3元/千米〔缺乏1千米按1千米计算〕，夜23点至第二天凌晨5点加收30%.请讨论利用中途换乘出租车的办法，可以节省费用的可能性.

如果我们对这一点有明晰的、开放式的认识，就会发现在自己熟知的日常生活中有许许多多这样的事例。的确，生活是孕育智慧的摇篮，作为一个开放型的中学数学教师就应当善于将生活请进课堂，丰盛课堂，使学生能够学有所思，学有所用，使教与学放得更开，从而真正培养学生的开放性思维.

例21：甲、乙、丙三位学生在这学期中的三次数学测验成绩如下：

要比拟这三个学生的成绩好坏，让学生根据实际的需要和自己的理解，分析数据并得出结论.其实你可以设计更复杂的表格，通过不同层次的比拟，提高学生的发