圆锥的体积推导过程

本文格式为Word版，下载可任意编辑——圆锥的体积推导过程《圆锥的体积》是小学数学几何形体教学的结果一个立体图形，圆锥的体积公式是通过测验推导出来的。至此，学生已形成初步的空间观念。如何借用圆锥这个教学素材，在公式推导的过程中培养学生的实证意识？如何借用圆锥的公式，在实证的根基上提升学生的规律思维？如何立足圆锥的学习，为学生未来的进展培养创造力？

鉴于上述斟酌，我们设计了《圆锥的体积》一课教学的三个片段，旨在完成从直觉到实证、从直觉到规律、从直觉到聪慧的三次推进。

一、第一片段的教学，从直觉到实证的推进

师：生活中还有一些物体的外形不是圆柱，而是圆锥形的。谁能说说生活中呈圆锥形的物体？

师：怎样计算圆锥的体积呢？

师：（出示，一个长方形长14厘米、宽7厘米，一个直角三角形长直角边14厘米、短直角边7厘米）这个三角形的面积是长方形面积的几分之几？

生（异口同声地）：。

师：（演示，长方形沿着长边为轴旋转一周，形成一个圆柱体。）直角三角形以长14厘米的直角边为轴，旋转一周，围成了一个什么外形的几何体？

生：圆锥。

师：这里的圆锥和方才的圆柱有什么一致？

生：等底等高。

师：三角形的面积是这个长方形的，你们揣摩一下，这个圆锥的体积是这个等底等高的圆柱体积的几分之几？

生：。

师：有没有不同观法？

生：。（有的学生可能预习过，不过声音很低，貌似没有底气。）

师：到底是，还是呢？讲台上有测验的材料，同桌议论，怎么证明是，还是？

（演示，一个学生到讲台前，用红色的水装满圆锥容器，然后倒入等底等高的圆柱，三次刚好倒满圆柱容器。）

师：现在谁来说说，圆锥是等底等高的圆柱体积的几分之几？

生：。（回复的声音嘹亮）

教师板书圆锥的体积计算公式。

……

聪慧心语：大胆揣摩，提防求证。

我们知道，学生在运用圆锥的体积计算公式时，最轻易遗忘的是“乘”。此处公式中“乘”的引出，不是教师直接报告，而是先揣摩再验证，学生印象就会深刻。

上述教学片段，旨在培养学生的实证意识。由于空间观念不能停留在对平面的感觉推演上，当有了不同观法的时候，教师引导学生用最简朴的方法——测验，用事实来证明，公式的推导从直觉走向实证。

二、其次片段的教学，从直觉到规律的推进

师：我依旧用这个直角三角形，这次以短直角边（7厘米）为轴，旋转一周。

师：这次旋转所形成的圆锥体积，和以长直角边（14厘米）为轴旋转围成的圆锥体积一样吗？

生：一样。

生：不一样。

师：同样的直角三角形，分别以长、短直角边为轴旋转一周，围成的圆锥体积到底相等不相等呢？请同学们独立斟酌后，再举行小组议论。

师：谁来代表自己所在的小组，汇报议论的结果？

生：长边做底面半径所围成的圆锥体积大，短边做底面半径所围成的圆锥体积小。

师：为什么？

生：由于圆锥体积是用乘π、乘半径的平方、乘高，半径要乘两次呢，所以长边做底面半径所围成的圆锥体积大，短边做底面半径所围成的圆锥体积小。

……

聪慧心语：我们通过公式来说明，从感觉判断走向理性分析。

当圆锥的体积计算公式得出之后，大多数教师往往转入运用公式的练习，往往归纳出四种处境，即：①已知底面积和高，求圆锥体积；②已知底面半径和高，求圆锥体积；③已知底面直径和高，求圆锥体积；④已知底面周长和高，求圆锥体积。学生的思维停留在机械运用公式上，缺少数学理性的提升。

上述教学片段，旨在培养学生的规律思维才能。空间观念不能停留在对立体的感知上，教师引导学生借助圆锥的体积公式，察觉同样的三角形旋转，圆锥体的体积却不一样，其中的奥秘在公式中“r2”里，这是引导学生从理性的角度举行规律论证。

三、第三片段的教学，从直觉到聪慧的推进

师：（演示，一个直角梯形旋转一周，形成一个立体图形。）同学们在头脑中想象一下，这样旋转所围成的是什么外形？

生：像秃顶的山。

生：像圆锥切去一段。

师：它的体积怎么算呢？你能写出公式吗？

师：请学生们独立斟酌后小组议论。

……

聪慧心语：从熟谙的圆锥开头，我们可以探索未来。

通常处境下，我们的教学会转入联系生活实际，求沙堆的体积、求粮囤的容积、求帐篷（蒙古包）大小等，看似解决问题，实质照旧是公式运用的重复、机械的训练，学生没有探索的