2014江西高考数学压轴题

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐2014江西高考数学压轴题九、陪你去看流星雨，点点滴滴评江西

江西的6道大题分不是16三角、17数列、18、函数、19立几、20解几、21概率.江西压轴题是21为概率题，有3咨询.第1咨询求分布列和数学期望；第2咨询求概率；第3咨询证明两个概率的大小关系.下面对其余题分不解析.

51、[江西16]已知函数fxxax2()sin()cos()θθ=+++，其中aR∈，22

(,)ππ

θ∈-

⑴

当a=4

π

θ=

时，求fx()在区间0[,]π上的最大值与最小值；

⑵若f02()π

=，f1()π=，求a、θ的值.

[解析]⑴

当a=4

π

θ=

时，求fx()在区间0[,]π上的最大值与最小值

此刻函数：fxxx4

2

()sin())π

π

=+

++

xx4

sin()π

=+

xxx22

sin=+-

xx22

cos=-x4

cos()π

=+

画出函数图象.如图，在区间0[,]π

1-.⑵若f02()π

=，f1()π=，求a、θ的值

此刻函数：fxxax2()sin()cos()θθ=+++

由f02()π=得：a2022sin()cos()ππ

θθ+++=

即：a20cossinθθ-=①

由f1()π=得：a21sin()cos()πθπθ+++=即：a21sincosθθ--=②由①×①得：222a22a20cossincossinθθθθ+-=③由②×②得：222a22a21sincossincosθθθθ++=④由③＋④得：2a2a220(sincoscossin)θθθθ+-=即：2a2a20sin()θθ+-=，即：aa20(sin)θ-=故：a0=或a2sinθ=将a0=代入①、②式得：2

π

θ=-，这与22(,)ππ

θ∈-

别符，故：2

π

θ≠-则：a2sinθ=⑤

将⑤式代入①式得：220cossinsinθθθ-=，即：240cossincosθθθ-=即：2140cos(sin)θθ-=，即：0cosθ=⑥或2140sinθ-=，即：1

2

sinθ=⑦或：1

2

sinθ=-

⑧由⑥式得：2k2

π

θπ=±

+，由于别满脚22

(,)ππ

θ∈-

，故⑥式舍.将⑤⑦式代入②式得：1

212

cosθ--=，即：3

22

cosθ-=

，由于别满脚21cosθ≤，故⑦式舍.将⑤⑧式代入②式得：1212cosθ+=，即：1

22

cosθ=⑨由⑧⑨式和22(,)ππ

θ∈-

得：6

π

θ=-，代入⑤式得：a1=-

本题答案：⑴最大值是

2，最小值是1-；⑵6

π

θ=-，a1=-.

52、[江西17]已知首项基本上1的两个数列{}na、{}nb（nb0≠，nN+∈），满脚

nn1n1nn1nabab2bb0+++-+=.

⑴令n

nn

ac

b=

，求数列{}nc的通项公式；⑵若n1nb3-=，求数列{}na的前n项和nS.[解析]⑴令n

nn

ac

b=

，求数列{}nc的通项公式由nn1n1nn1nabab2bb0+++-+=除以n1nbb+得：nn1

nn1

aa20

bb++-+=即：nn1

cc20+-+=，即：n1ncc2+-=①且：1

11

ac1

b=

=②①②表明：{}nc是一具首项为1，公差为2的等差数列.故：nc2n1=-③

⑵若n1nb3-=，求数列{}na的前n项和nS由n

nn

ac2n1

b=

=-得：n1nna2n1b2n13()()+=-=-?④故数列{}na前n项和nS为：

0123n1nS133353732n13...()-=?+?+?+?++-?⑤1234nn3S133353732n13...()=?+?+?+?++-?⑥

由⑤-⑥得：0123n1nn2S132********n13...()--=?+?+?+?++?--?

0123n10n233333132n13(...)()-=?+++++-?--?

n

0n1323132n1313

()()-=??-?--?-

nn3112n13()()=?n22n23()=

故：nnSn131()=-?+

本题答案：⑴nc2n1=-；⑵nnSn131()=-?+.

本题第⑵咨询，网上由好多都写错，写成n1nb3+=，应更正为：n1nb3-=.

53、[江西18]已知函数2fxxbxb()(=++bR∈）.

⑴当b4=时，求fx()的极值；

⑵若fx()在区间1

03

(,)上单调递增，求b的取值范围.

[解析]⑴当b4=时，求fx()的极值

此刻函数为：2fxx4x4x2()(()=++=+①函数的定义域为：1x2

，即：1

fxkxx03

'()()=-->⑦

若保证⑦式成立，对照⑥⑦式，则⑥式中：2XXX1

53

-≥即：69b5-≥，即：9b1≤，即：1b9≤

，故：1b9

(,]∈-∞本题答案：⑴极大值4，极小值0；⑵b的取值范围1

9

(,]-∞.

54、[江西19]如图，四棱锥PABCD-中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

⑴求证：ABPD⊥；

⑵若oBPC90∠=

，PB=PC2=，咨询AB为何值时，四棱锥PABCD-的体积最大？并求此刻平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.

[解析]⑴求证：ABPD⊥

因为ABCD为矩形，因此ABAD⊥；

又因为平面PAD⊥平面ABCD，AD为两平面的交线，

依照平面与平面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一具平面内垂直于交线的直

P

AB

C

D

线垂直于另一具平面.

故：ABPAD⊥平面.

依照直线与平面垂直的定义：若向来线与一平面垂直，则此直线与该平面内的任何直线垂直.

故：ABPD⊥.证毕.

⑵若oBPC90∠=

，PB=PC2=，咨询AB为何值时，四棱锥PABCD-的体积最大？并求此刻平面PBC与平面

DPC夹角的余弦值.

在RtPBC?

中，由勾股定理得：BC==

过P作PEAD⊥，交AD于E；

过E作EFBC⊥，交BC于F；连结PF.

由三垂线定理得：ADPEF⊥平面，即：BCPEF⊥平面.设ABx=，则矩形ABCD

，由PBC11SPBPCBCPF22?=

??=??

得：PBPCPFBC?==在RtPEF?

中，由勾股定理得：PE==四棱锥PABCD-的体积为：

ABCD111VSPE333

=

??=?=①由均值别等式：22

abab2+≤（当且仅当ab=时取等号）

故：226x86x42

()

+-≤

=②将②代入①式得：

P

A

B

CD

E

F

=时③式取等号，即体积V

=

则V最大时：22

6x86x

=-，即：2

6x4

=，即：2

2

x

3

=

，即：x=

故：当AB=时，四棱锥PABCD

-的体积最大.

⑶要求此刻平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.

设111

m(,,)

αβγ

=为过E点垂直于平面PBC的向量，

设222

n(,,)

αβγ

=为过E点垂直于平面DPC的向量.

则：mFC

⊥，mPC

⊥④

而：nDC

⊥，nPD

⊥⑤

以E点为原点，以EF为x轴，以ED为y轴，以EP为z轴，建立三维直角坐标系

.

FC

3

===

，PE

3

===

则：E000

(,,)

，F00,)

，C0)

，D00

()

，P00

(,

则：FC00

3

(,)

=

，

6

PC

333

(

=-；

6

DC00

(,)

=，PD0(

=.

由④式mFC

⊥得：111

mFC000

(,,)()

αβγ

?=?=，即：10

β=；

由④式m

PC

⊥

得：111

mPC0

333

(,,)

αβγ

?=?-=

即：111

20

αβγ

+-=，即：110

αγ-=；

令11

α=，则11

γ=，故：m101

(,,)

=⑥

P

AB

C

D

E

F

由⑤式nPD⊥

得：222nPD00(,,)(αβγ?=?-=即：2220βγ-=，令：21β=，则：22γ=，故：n012(,,)=法向量m和n的点乘：

2mn

mnmn

1

cos,?=

=

=

=

最终一定画图，以此来决定法向量的夹角是二面角依然二面角的补角.经画图确定，平面PBC与平面DPC.本题答案：⑵AB3=

；5

.55、[江西20]如图，已知双曲线222

xCy1a:

-=（a0>）的右焦点F,点AB,分不在C的两

条渐近线上，AFx⊥轴，ABOB⊥，BFOA∥(O为坐标原点).⑴求双曲线C的方程；

⑵过C上一点00Pxy(,)（0y0≠）的直线002

xxlyy1a

:-=与直线AF相交于点M，与直

线

3

x2

=

相交于点N

，证明点P在C上挪移时，MFNF恒为定值，并求此定值.

[解析]⑴求双曲线C的方程

实际上是求a.双曲线C的方程：

222

xy1a-=，则右焦点Fc0(,)，其中c==

渐近线OA方程：xya=

，A点坐标：Axc=，AAxc

yaa==渐近线OB方程：xya=-

，其歪率：OB1

ka

=-

因为ABOB⊥，因此AB的歪率：OB

1kak=-

=

故AB的直线方程：AAyaxxy()=-+①A>B点在AB直线上，故：BBAAyaxxy()=-+②

并且B点在OB直线上，故：B

Bxya

=-

③联立②③得：BAA1

axaxya()+=-，即：AAB2aaxyx1a

()-=+代入③得：BAAB2

xaxyya1a()

-=-

=-+B>由于BFOA∥，即其歪率相等

由于OA1

ka

=

；BFBBFBFByyykxxxc-==--，

因此：AA2BAA2AABAA2

axyyaxy11aaaxyaxcaaxyc1ac1a()

()()()--

-+===+-+即：2AAAAaaxyaaxyc1a()()()-=--++即：22AA2axayc1a()()-=+④将Axc=，Ac

ya

=

代入上式得：222accc1a()()-=+即：222a11a()-=+，即：2a3=

故，双曲线C的方程为：2

2xy13

-=⑤

而c2===

⑵过C上一点00Pxy(,)（0y0≠）的直线00xx

lyy13

:-=与直线AF相交于点M，与直线3

x2

=

相交于点N，证明点P在C上挪移时，MFNF恒为定值，并求此定值.

M点的坐标为：Mxc2==，而

0M

0Mxxyy13

-=得：0

0M00

2x12x33yy3y--==；N点的坐标为：N3

x2=

，而0N0Nxxyy13

-=得：0

0N00

x1x22yy2y--==F点的坐标为：Fxc2==，Fy0=

P点的坐标满脚C的方程：2200xy13-=，即：222

000xx3y133

-=-=