九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题解析

九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析一、锐三角函数1．如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是45°，前走到达B点测得杆顶端点P和杆底端点Q的角分别是和．（）求BPQ的度数；（）该电线的度（结果精确到）备用数据：

，【答案】（）BPQ=30°；（）电线杆的高度约为9m．【解析】试题分析：1）长PQ交线AB于，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（）PE=x米在直eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)BPE中根据三角函利用表出AE和BE根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的，再在直eq\o\ac(△,)BQE中用三角函数求得的，则的度即可求解．试题解析：延长交直线AB于点，（）BPQ=90°-60°=30°；（）PE=x米在直eq\o\ac(△,)中，则AE=PE=x米PBE=60°BPE=30°在直eq\o\ac(△,)BPE中，BE=AB=AE-BE=6，

3PE=x米3则x-

x=6，解得：．

则3+3米．在直eq\o\ac(△,)中QE=BE=（）（3）．3PQ=PE-QE=9+3

3-（3+3）≈9米）．答：电线杆的高度约米考点：解直角三角形的应仰角俯角问题．2．如图，边形是方形，点E是BC上点，点在射线上AEF=90°，AE=EF过点F作射线BC的垂线，垂足为，连接．(1)试断BE与FH的量系，并说明理由；(2)求：ACF=90°；(3)连AF过，，三作圆，如图2.若EC=4，CEF=15°求

的长.图

图2【答案】（）BE="FH"理由见解析（）明见解（）=2π【解析】试题分析：1）eq\o\ac(△,)ABE（）可得到BE=FH（）（）可知AB=EH而，，从而可eq\o\ac(△,)是腰直角三角形，FCH为，而也，而可证明（由已知可知EAC=30°AF是径，设圆心为，连接，过点E作AC于，则可eq\o\ac(△,)为腰直角三角形，从而得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：1）．由如下：四形是方形，FHBCFHE=90°又AEF=90°HEF="90°"BAE+AEB=90°HEF=BAEAEB=EFH又AE=EF（）(2)△ABEEHF

BC=EHBE=FH又BE+EC=EC+CHBE="CH"FCH=45°，FCM=45°AC是正方形对角线，ACD=45°ACF=ACD=90°（）AE=EF，AEF是腰直角三角形AEF外圆的圆在斜边AF的点上．设该中点为．连结EO得AOE=90°过作EN于eq\o\ac(△,)中，，eq\o\ac(△,)中EN=又EAF=45°CAF=（弧对等角）EAC=30°AE=eq\o\ac(△,)AFE中，AE=

=EF，AF=8AE所在的圆O半径为，其所对的圆心角AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）π考点：、方2等腰直角三角形；、周角定理、角函数3．如图，平台高，处得楼房顶部点的角为45°，部点C的俯角为30°，楼房CD的度（3＝．）．【答案．米．【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点B作BECD于，

根据题意，，CBE=30°ABAC，AC四形为形，，在eq\o\ac(△,)CBE中CBE=

BECE

，BE=CE•cot30°=12×

3=12，在eq\o\ac(△,)BDE中由，得DE=BE=12．（3

+1）≈32.4．答：楼房CD的度约为．考点：解直角三角形的应—角俯角问题．4．如图（）在平面直角坐标系中，点A（，6）点B（0．eq\o\ac(△,)CDE中，，，，角边CD在y轴上，且点与重合．eq\o\ac(△,)CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运到点时停止运动．解答下列问题：（）图2）当eq\o\ac(△,)CDE运动到点与O重时，设CE交AB于M求BME的度数．（）图3）在eq\o\ac(△,)CDE的运动过程中，当CE经点时求BC的．（）eq\o\ac(△,)CDE的动过程中，设AC=heq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的叠部分的面积为，请写出S与之的函数关系，并求出面积S的大值．【答案】（）BME=15°；（2BC=4

；

（）≤2时S=﹣

h+4h+8，当时﹣．【解析】试题分析：1）图2，对顶角的定义知BME=，要BME的数，需先求出的数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（）图3，已知可OBC=，OB=6，通过解直eq\o\ac(△,)BOC就求出BC的长度；（）要分类论≤2时如4作MNy轴交轴于点，MFDE交DE于点F，EDC﹣eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)EFM；当≥2时，如图3，OBC．试题解析：解：1）图，在面直角坐标中，点（，6）点B（，）．OA=OB，，，

，OCE=60°，CMA=OCE﹣﹣，BME=CMA=15°；如图，，，OBC=DEC=30°，OB=6，

，BC=4

；（）≤2时，如图4，作MNy轴交y轴点，MFDE交DE于，

eq\o\ac(△,)EFMS=Seq\o\ac(△,)EFMS=SCD=4，

，，AN=NM﹣FM，AN=MN=4+hFMCMN，

，

，解得﹣

，S=SEDC

﹣=

×4×4

﹣（）×（﹣）﹣

h+4h+8，②如3，h≥2时OBC

=OC×OB=

（﹣）×6=18﹣．考点：、角的外角定理2、似、解直角三角形5．已知eq\o\ac(△,)ABC中是O的弦，斜边AC交O于D且AD=DC，长CB交O于点．（）的、、、、五点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的？请说明理由；（）图2，点作的切线，交AC的长线于点．

①若CF=CD时求CAB的值；②若CF=aCD（＞），试猜想CAB的．（用含a的数式表示，直接写出结果）【答案】（）；（）①

；

．【解析】试题分析：1）接AE、，图，根据圆周角定理可ADE=ABE=90°，于AD=DC，据垂直平分线的性质可得AE=CE；（）接AE、，图，由ABE=90°得AE是O的径，根据切线的性质可得AEF=90°，而可证eq\o\ac(△,)ADE△AEF，后运用相似三角形的性质可得

．①当时，可得

，从而有

CD，在eq\o\ac(△,)DEC中用三角函数可得CED=

，根据圆周角定理可CAB=，可求出sinCAB的；当CF=aCDa＞），同即可解决问题．试题解析：1）．由：连接AE、，图1，，ABE=90ADE=，，AE=CE（）接AE、，图，ABE=90°AE是O的径EF是的切线，AEF=90°，ADE=，DAE=EAFAEF，

，•AF．①当CF=CD时，，

=DC•3DC=

，DCEC=AE，EC=DC，sinCAB=sinCED=②当CF=aCD（＞），

=．

；CF=aCD，，（）CD，

=DC•（）（），AE=DC，EC=AE，EC=sin∠

=

，．

考点：．的合题2探究型．存在型．6．如图，反比例函数

y

kx

的图象与正比例函数

yx

的图象相交于(1,),

两，点

C

在第四象限，

轴，

90

.(1)求

的值及点B的标；(2)求tanC的值【答案】（），

；（）【解析】【分析】（）根据点A在直线y=2x上求得点的坐标，再根据点在反比例函数y

kx

的图象上，利用待定系数法求得k的，再根据点A、关于原点对称即可求得点的标；（）BHAC于H，交轴于点，据

，

BHC90

，可得即可.

，再由已知可得

AOD，从而得AOD，出a【详解】（）点A，(1，=2，

a

)在

yx

上，

»APBP»APBP把(1，代

y

kx

得k，反例函数

kx

的图象与正比例函数

yx

的图象交于A，两点，两点关于原点中心对称，B（）BHAC于H，交轴于点，

ABC90

，

BHC

，

C

ABH

，

轴，BH轴，

AODABH，CAOD

，

tan

2OD

.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，2）题求出是关键.7．如图，在O的接角形ABC中＝，＝BC过C作的线l交O于另一点D，垂足为设P是

上异于，的个点，射线AP交l于，接PC与，PD交AB于G．（）证eq\o\ac(△,：)△PDF；¼（）＝，，PD的长．【答案】证见解析；2）【解析】【分析】

3102

．

¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶（）据AB，是O的径，得到ADAC到ACD＝，可得结论；

，ACD＝，由FPC，得（）接OP，

APBP

，得到OPAB，OPG＝，根据是O的直径，得BC到＝90°，于＝，于是得到tanCAB＝∠DCB＝，得到ACCE12

OGOP，求得AE＝，eq\o\ac(△,过)△EDG，得到，后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（）明：连，AB，是O的径，

ADAC

，ACDB，＝，ACD，APC＝，＝CAF，△；（）接OP，＝OB＝OP＝

5AB2

，

AP

，OPAB，OPGPDC，AB是的径，＝90°，＝2BC，＝tanDCB＝

BCAC

，

CE1CE

，＝，AE+BE＝＝，＝，＝，＝OE＝﹣＝﹣1.5OPG＝PDC，OGP＝，OGOP△EDG，

，

GEOP2.5CE2

，

＝

，＝，＝

2

2

，＝

DE22

，PD＝

．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG△EDG是题的关键．8．如图，物线＝+bx+c经点A（﹣，）、4，）C（，）三点．（）求抛物的解析式；（）P是y轴的一个动点，连接，试求5PA+4PC的最小值；（）图，若直线l经过点T﹣，），Q为直线上的动点，当以、、为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线的解析式．【答案】（）

y

3x2x

；（2）5PA+4PC的小值为18（）线的析式为

34

x或

y

.【解析】【分析】（）出交点，代入C点计算即可（连接ACBC过点A作AE于，

点作BC于点，eq\o\ac(△,)△COB，到比例式

PC4，到PD=PC，所BCOB以＝（

PC＝（），当点A、、在同一直线上时＝（）＝5AE最小，利用等面积法求出

，即最小值为18（）取AB中，以为圆心FA的为半径画圆当BAQ＝90°或ABQ＝90°，即AQ或BQ垂直x轴所以只要直线l不直轴一定找到两个满足的点使BAQ＝或ABQ＝，AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q，直l与F相于点Q时，满AQB＝90°的点Q只有一个；此时，连接，过点Qx轴于点，利用cosQFT求QG，分出情况Q在轴上方和x轴方时，分别代入直接l得到解析式即可【详解】解：（）抛线与x轴点为A（，）（，y＝（）﹣4）把点（，）入得：﹣＝＝﹣

抛线解析式为＝﹣

（）（x﹣）﹣x+x+3（）接ACBC，过点作于，点作PD于D＝COB＝＝OCBCDP△COBB（，），（，）OB4，＝，＝

OBOC

2=5PD

PC5PA+4PC＝（

PC＝（）当A、、在一直线上时5PA+4PC＝）＝最A﹣，）OC，

eq\o\ac(△,)

＝

AB•OC＝BC•AE＝

ABn6BC55＝的小值为18．

Q2kb55Q2kb55（）AB中，F为心、FA的长为半径画圆当BAQ＝90°或＝时即AQ或BQ垂直x轴只直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使BAQ＝90°或＝AQB90°时，只有一个满足条件的点Q当在F上动时（不与、B重合）AQB＝直与F相切于点Q时，满足＝的点Q只一个此时，连接，点Q作轴点＝90°F为（﹣，）B（，）的中点（0）＝＝T（﹣4，）3＝5，QFT＝TF5eq\o\ac(△,Rt)中，QFT＝

FG3FQ5＝

9＝5x＝﹣

，＝

2

FG

2

125①若在x轴方，则Q（设直线l解式为：＝kx+b

，5

）

3412解：43直l：y4②若在x轴方，则Q（直l：yx

）综上所述，直线的解析为

34

x或

y

【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点关键，同时不要忘记需要分情况讨论9．如图，在正方形中，E是边AB上的一动点，点F在BC的延长线上，且CF，接DE，，.FH平分EFB交BD于.（）证：；（）证：DH：（）点H作HM⊥EF于M，用等式表示段，与EF之间的数量关系，并证明.

【答案】（）见解析；2详见解析；（）HM，证明详见解析【解析】【分析】（）据正方性质，CFAE得DEDF.（）

△CFD

，得DE.由

，BD平

ABC

，得

45

.因FH平EFB所以EFH.由EFH所以DH.

,（）点H作

HN

于点

，由正方形

ABCD

性质，得BD

AB2AB

.由平

，EF,HN

，得.因为HBN

，所以

BH

HNsin

2HM

.由

EF

DFcos45

DF2DH

，得EF.【详解】（）明四边形是方形，AD，EAD

.

EADFCD

.CFAE。

CFD

.

ADE

.

CDFADE

..（）明DF.

eq\o\ac(△,≌)CFD

，

，

DEFDFE

.

，平，

45

.FH平分，BFH.

DBFBFH

,EFH

,DHFDFH

.DHDF

.（）EFAB.证明：过点H作

HNBC

于点

，如图，正形

ABCD

中，AD，BAD90

BD

AB

2AB

.FH平分

EFBHMEF,

HN

，.

，

BH

HNsin

HNHM

.

2AB2.

EF

DFcos45

DF

DH

，HM.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函.10．图1，点M，）为圆心的圆与y轴轴别交于点A、、、，线＝－

－

与M相于点，x轴点E，交y轴点F．（）直接写、M的径、的长；（）图2，HQ交x轴点P，且DP:PH＝:，求的；（）图3，K为线段上动点（不与E、C重），连交M于点，AT交轴于点N．是否存在一个常数a，终满足MN·＝a，如果存在，请求出的；如果不存在，请说明理由．

【答案】（）r=2，CH=2（）（）【解析】【分析】（）直线y＝－

；－

中，令，求E的标，即可得到OE的长为；连接MH根eq\o\ac(△,)EMHeq\o\ac(△,)相似即可求得半径为2；再由，，知CH是eq\o\ac(△,)EHM斜上中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出C的长；（）接、．根据相似三角形的判定得eq\o\ac(△,)，而求得的，在直角三角形CDQ，即可求得D的弦值，即为的值；（）接AKAM，长AM与圆交于点G，接，圆周角定理可知，，3=4，MAN，eq\o\ac(△,)AMK△NMA即可得出结论．【详解】（），，（）图1，接QC、，，QHC=，

易eq\o\ac(△,)△，，得，于CD=4；（）图2，接，，长AM，与圆交于点G，连接，由于而在

和

，故中，

，，故，；；eq\o\ac(△,)AMK△NMA;即：故存在常数，终满足常数a="4"解法二：连结，明

得11．图，公路为东西走向，在点A

北偏东

方向上，距离

千米处是村庄，在点A北东53.5，离10米处是村庄；要在公路旁建一个土特产收购站P(取在上，得M，两庄到P站距离之和最短，请在图中作出的置（不写作法）并计算：（）M，

两村庄之间的距离；（）PM

、

距离之和的最小值（考数据：sin36.5°＝，＝，＝计算结果保留根号）【答案】M，两村庄之间的距离为29千(2)村、到P站的最短距离和是55千．【解析】【分析】（）关AB的称点N'AB交，连结与AB交于，则P为特产收购站的位置．求出，DM，利用勾股定理即可解决问题（）题意可、到上P的离之和最短长度是MN的长．【详解】解：作关于的对称点与交于E，结MN’与交P，则P为特产收购站的位置．（）eq\o\ac(△,Rt)中，AN，NAB=36.5°NE=•sinNAB•sin36.5°=6，=AN•cosNAB=10•cos36.5°=8，过M作AB于，

在eq\o\ac(△,)MAC中=5，MAB=53.5°AC=MA•sinAMB=MA，MC=MA=MA•cos36.5°=4，过点M作MD于点D，在eq\o\ac(△,)MND中MD=AE-=5，ND-MC=2MN=，即M，两村庄之间的距离为

千米．（）题意可M、N到AB上点P的离之和最短长度就是的长．DN′=10，，在RtMDN中由勾股定理，得MN′==55（千米）村、到站的最短距离和是55千．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．12．兰银滩黄河大桥北安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与平面的夹角是，拉索的为152米，主塔处桥面距地面7.9米的），试求出主塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：cos31°，）【答案】主塔的高约为米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相长度，再由BD=BC+CD可出【详解】在eq\o\ac(△,)中，ACB=90°，sin

AB

．

ABsin

152．BDBCCD79.047.986.9486.9答：主塔的高约为86.9米

（米）

【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关.13．图，在eq\o\ac(△,)ABC中C＝90°A＝，4，点P从A出，沿以秒个位度的速度向终点运．过点P作PDAC于D点不与点A，重)，作DPQ＝60°，交线于．设点的动时间为秒．（）含的代数式表示线段DC的_________________；（）t时，点Q与重合时；（）线段的垂直平分线经eq\o\ac(△,)一中点时，求出t的值．【答案】（）

；（）；（）的值为或.【解析】【分析】（）求出AC用三角函数求出，即可得出结论；（）用，可得出论；（）三种情，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（）AP=,AB=4,A＝30°

,AD=

；（）AQ=2AD=当AQ=AC时Q与C重合即=t=1；（）如图，当PQ的直平分线过AB的点时PGF90°，PG＝＝＝，＝＝A＝AQP＝，FPG＝，PFG＝30°，PF2PG，＋＝＋＝，t＝②如，当的垂直平分线过的中点时，

＝，＝AC

，＝＝AP＝在eq\o\ac(△,)NMQ中AN＝，③如，当的垂直平分线过BC的中点时BFBC＝，＝PQ，30°.＝＝＝，BHBF在eq\o\ac(△,)PEH中PH＝AH＝＋＝＋，2t＋5，t.即当线段PQ的垂直平分线经eq\o\ac(△,)一边中点时t的为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．14．图，在平面直角坐标中，抛物线＝﹣

x与直线y＝x﹣分别交轴、y轴上的B、两点，设该抛物线与x轴另一个交点为点A，顶点为点，连接交轴于点．（）该抛物的表达式及点的坐标；（）求DCB的切值；（）果点在y轴上，且＝DBADCB，点F的标．【答案】（）

y

xx，（，））；（）点F坐为（，）

（，﹣）．【解析】【分析】（）＝