因式分解掌握方法和技巧

一■因式分解的技巧:.首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，刻捌取公因式，再考虑其他方法。.当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数(1)当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式[a2・b2=(a+b)(a-b)]o(2)当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。(3)当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分侬。a.当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。b.当项数为四项以上时用按次数分组制可将次数相同的项各分为一组。.以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆(添)项后再分解式分解的方法:(一)提公因式法方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公1式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1.分解因式：s3-giy+黑y分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式X。(二)应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。例2.分解因式:(x+2y)3-^-y)分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。解：原式=［卜+2力+卜-训（z+2y）-"力］例3.分解因式：a2+4ab+4b分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。解：原式=吊+2学（三）分组分解法方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的思路:.按公因式分组:例4.分解因式二m2-mu+mp—tip分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式皿，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组•解：原式=（；.按系数特点分组:例5.a?+2a2-a-2分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2,所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组.解：原式=仔+2门+（-.2）3.按字母次3.按字母次［特点分组:例6.分解因式：41/+4”2b分析：此题有一次项，也有二次项，可"次项分为一组，二次项分为一组。原式二［4/—产）十（4”2b）.按公式特点分组：例7.分解因式；9一区m+2xy-y3分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。解：原式=9一片―2灯十/）.拆项分组：例8.分解因式：x3-y2-2n-4y-3分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-4+1，再适当分组，达到因式分：原式：原式=（1-2区十十旬十4）解■x-1)2-(y+2)2二(x-1)十(y十训［(x-l)-(y+2)二(工一］十了十2乂芯=(窕+y+1)(g_y_9.换元分组：例9.分解因式：,+了一2也）（京+。一2）+（可一1）

分析：观察代数式中的x+y,xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。解：设x+y=m，a二n,则原式=(m_2ii)(m_2)+(n_l,=m3—2mti—2m+4m+n3-2n+1=(m。=(m。—2mn+口)+[—2m4-2n)+1、•]=(m一口)—2(m—ti)4-1方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例10.分解因式『L-寸-6区-4分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因北解：自况，-1-5/-6坦-4二(又。+ax+b)(l+ct+d)=—+(a+c)/+fa.c+b+d)宣口+(ad+bc)莒+Bd利用恒等式的性质可得:a+c--1aa+c--1a=1・i7 Jb=1ad+bc=-6c=-2bd=—4d=—A,.原式=，*+法+1犷一27一4)(五)十字相乘法:^a^ffl:a?mx2+px+q^3M^W3,如^ab=m,cd=qSac+bd=prn^^A^BA^ffi»：(ax+d)(bx+c)o例11,分解因式：7h3-19s-6分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式：7 21 3解：原式二（九+联笈-斗（六）巧用换元法：方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次,化繁为简的目的。1.取相同部分换元例12.分解因将（n?-5m十3）（m-5m--36分析：着将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了用将m2・5m例12.分解因将（n?-5m十3）（m-5m--36分析：着将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了用将m2・5m看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。解：设/-5m=y,则原式二8+3)(y-2)-36三、分解因式：1、X4一2X3—35X23、 25(x一2y)2一4(2y-x)24、x2一4xy-1+4y25、x5-x6、x3-17、ax2-bx2-bx+ax+b-a8、x4-18x2+819、9x4-36y210、(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24(1)(x+p)2-(x+q)2;(2)16(a-b)2-9(a+b)2;(1)(x+p)2-(x+q)2;(2)16(a-b)2-9(a+b)2;1.2x2—11x—21=2,5x2一7x一6=3.15x2+x一2=4,6x2-25x+4=5.Q-4)x-5)-42=6.(x—5)2-(5—x)—42-7.x2—7x-30=8.9x2-30x+25-9.7x2—19x一6-10.-20x2+9x+20-11.36x2+39x+9-12.9x12.9x4—35x2—4=13.14.7(x-1)2+4G-x)G+2)—20(y+2)=15.xy2-2xy-3x-y2-2y—1=16.20a3bc一9a2b2c-20ab3c-17.(x—2K-Kx-2)3(x—»= 18,a3—4ab2—a-2b=19.1一19.1一a2一b2+a2b2=20x2(y-z)+y2(z-y)-21.(%21.(%-y)3-4(x-J}+b)2=22.a3b一ab一a2+1=23.Q-23.Q-1)X+2)3+G-x)3(2+x)=24.x2y2一9x2―4y2+36=25.25.26.x2―y2+2yz_z2=27.a428.1-盯)—(x-y)-29.a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac= 30.41a+b)2一4a—4b+1=31.32.a2—ab—2a+b+1=33.ab+2bc一ac一b2一c234.35.x2+2xy_2x_2y+1=36.xy2-2xy-y2+%+2y-1=38.x2+14x+49=37.4x2+y2-a238.x2+14x+49=39.9x2+6x+139.9x2+6x+1=一36x2-1-12x=9a2一24ab+16b2=43,-1-x2+4xy+4y244.9x2-24xy2+16y445.45.a4+2a2b2+b4=46.(a+2b)2+10(a+2b)+25=47.4949.x251.4a253.