现代控制实验报告

第一章实验目的上机实验的主要目标如下：通过上机操作，加深最优控制理论知识的理解。学习并掌握连续线性二次型最优控制的MATLAB实现。通过上机实验，提高动手能力，提高分析和解决问题的能力第二章实验环境每人一台PC机和一套MATLAB6.X软件。第三章实验内容与任务3.1实验一有限时间状态调节器问题的最优控制MATLAB仿真训练连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，操作和解题训练实验系统。实验系统如下：1)fx=u(t)<1fx=u(t)<1IX=x(t)22fx(0)=0-01'0一■0-001X+0-1-4-61x=u2)0lx<1x(0)=02y=Il0实验任务就实验实例，求出最优控制率，并用MATLAB编写好相应的仿真实验程序。改变性能函数中的各项的权系数值，分析其对系统性能的影响。在不同的权值下绘制系统的阶跃响应曲线，并根据曲线定性分析仿真结果。分析仿真对象的仿真结果。3.2实验二有限时间状态调节器问题的最优控制MATLAB仿真训练连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，操作和解题训练实验系统。实验系统如下：fx=x(t)<121x=u(t)2fx(0)=xJ1 10x(0)=x2 20y(t)=xJt)性能指标为：-rt(t)-y(t)1+u2(t)lt20r第四章实验步骤4．1有限时间状态调节器问题(1)第一题>>A=[00;01];B=[1;0];eig(A)ans=01因为系统的特征方程存在有正实部的根所以系统不稳定，不满足线性二次型求解要求。(2)第二题可控性客观性判断调用函数可控性可观性大致判断程序如下：X=eig(A),S=ctrb(A,B);nl二rank(S)，V=obsv(A,C);n2二rank(V);得出结果为：n1=3,n2=3由此可知系统稳定且可控可观。参数探索—各项权系数对系统性能的影响

设计系统状态反馈控制器时，一个关键的问题就是二次型性能指标泛函中加权矩阵Q和R的选取。为了使问题简化及加权矩阵具有比较明确的物理意义，我们将Q取为对角阵。假设Q110Q110Q220Q33这样得到的性能指标泛函为gIJgIJ=iQx2+Q1110x2222+Qx2+ru2333由上式可以看出，Q是对x的平方的加权，Q的相对增加就意味着对X的iiiiii要求相对其它状态变量严格，在性能指标中的比重大，x的偏差状态相对减小。ir是对控制量u的平方加权，当r相对较大时，意味着控制费用增加，使得控制能量较小，反馈减弱，而r取值较小时，系统控制费用减小，反馈增加，系统动态响应迅速。为了得到较快的响应速度与一定的稳定度，设置不同组别的Q、R参数，即各项的权系数值，如本次实验中，保持Q=[100;010;001];设置R处于不同的值，分析R对控制效果的影响，有下图：

t(s)Unit-stepResponseofLQRatR=10t(s)Unit-stepResponseofLQRatR=10图4-1参数R对输出相应的影响（1）为了更好的研究R的变化对系统系能的影响，这里还给出了一下几组数据：Unit-stepResponseofLQRatR=10 Unit-stepResponseofLQRatR=20t(s)t(s)图4-2参数Rt(s)t(s)图4-2参数R对输出相应的影响（2）由上述两组图可发现，仅第一组参数变化时对系统性能影响较大，不管是快速性还是稳定性都有影响。R较小时，如R=0.1时，总是存在一定的稳定误差，随着R的增大，稳态误差变少直至没有。这里选择R=5作为R的最佳状态。下面固定R=5,确定Q对系统性能的影响。有如下几组模拟图：Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=1Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=10Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=1Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=10图4-3参数Q（这里讨论的是Q]]对输出响应的影响（1）0510152005101520t(s)t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(2,2)=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(2,2)=10对输出响应的影响（2）图4-4参数Q（这里讨论的是Q22Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=10510152005101520t(s)t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(2,2)=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(2,2)=10对输出响应的影响（2）图4-4参数Q（这里讨论的是Q22Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=10图4-5参数Q（这里讨论的是Q对输出响应的影响（3）33可见，随着Q取值的增加，快速性虽有一定的提高，但是总的稳态误差变11大。控制效果变差，而Q、Q的变化对系统性能影响不大。这点很好理解，由2233于输出Y仅与X有关，而其他参数对其没有较大的影响。1当Q阵中的参变量m相比于R充分大时系统能得到快速的响应。而提高R阵中的比重则意味着需要更有效地抑制与之相应的控制量的幅值及由它引起的能量消耗。③最佳模拟实验结果经过上述参数探索，得出Q=[0.100;010;001];R=5时候，系统性能接近最佳，此时有反馈增益矩阵K=0.01000.04580.0242带入控制矩阵u*（t）=-k（t）X（t），即可得到控制量。最终响应曲线如下图4-6，而不同状态x1,x2,x3对时间的响应曲线见图4-7

Unit-stepResponseofLQRSystem图4-6线性二次型的单位输入响应曲线稳态误差低，响应速度一般，控制效果较好各个状态的响应曲线如下图ResponseCurvesx1,x2,x3versust图4-7各输入状态变量x1,x2,x3对时间响应曲线

4．2无限时间状态调节器问题①参数探索—各项权系数对系统性能的影响参数讨论方法同有限时间有限时间状态调节器问题的最优控制MATLAB仿真。先设定R=1不变，讨论不同Q值变化时的响应曲线。此处选择Q=0.01、Q=0.1、Q=l、Q=5、Q=10、Q=50、Q=100、Q=1000八种情况，响应曲线见图4-8、4-9。Unit-stepResponseofLQRatQ=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ=5Unit-stepResponseofLQRatQ=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ=5图4-8参数Q对输出响应的影响（1）Unit-stepResponseofLQRatQ=100Unit-stepResponseofLQRatQ=1000Unit-stepResponseofLQRatQ=100Unit-stepResponseofLQRatQ=1000图4-9参数Q对输出响应的影响（2）由图可知，Q值影响系统的响应时间，Q值越大响应越快。当然Q值不可能取无限大，一般只需要第二个图中的Q=10或者5就行，这时动态响应完全满足要求。Q值整定完后，假设Q=10不变，改变R取值，求响应曲线。这里选择四种数据，R=0.01、R=0.1、R=l、R=10四种情况。响应曲线见图4-10。Unit-stepResponseofLQRatR=1Unit-stepResponseofLQRatR=10Unit-stepResponseofLQRatR=1Unit-stepResponseofLQRatR=10图4-10参数R对输出响应的影响由此可见，R取值越大，快速性越差，而对稳态误差影响不大，考虑到可实现性，这里选择R=0.1作为最佳控制方案。②最佳模拟实验结果根据上述讨论，选择Q=10,R=0.1作为最佳组合进行控制，此时有K1=[10.00004.4721P=[4.47211.0000;1.00000.4472]e=[-2.2361+2.2361i;-2.2361-2.2361i]仿真曲线如下，图4-11为输出响应，图4-12为状态变量xi,x2对时间的响应曲线Unit-stepResponseofLQR图4-11单位输入响应曲线ResponseCurvesx1,x2versust图4-12ResponseCurvesx1,x2versust图4-12输入状态变量x1,x2对时间响应曲线2x,1由图可知，动态性能与稳态性能均能满足要求，响应时间也很快。如果实验中对快速性要求不高，可以适当的改变Q、R,取折中结果。第五章总结线性系统方程是借助状态转移矩阵来表示的。有状态转移矩阵就可以求出系统在初始状态激励下的自由运动以及在输入向量作用下的强迫运动。系统自由运动轨线的形态是由状态转移短阵决定得，也就是有A唯一决定。然而对一个系统来说，A一定时可以人为地采取措施即如状态反馈和输出反馈来改造运动形态。求出状态后，既可以求出输出响应。对于不同的输入向量，响应也不同。改变控制方程输出响应也随之发生变化。本次实验时，开始遇到了一定的问题，由于对Matlab的二次型函数不够理解对单位阶跃函数输出隔向量的意义不够理解。如：[y,x,t]=step（AA,BB,CC,DD）;,开始时，将x与t弄反，以致做出来的图像始终无法满足要求，经过讨论修改才改正错误。二次型性能指标是一种综合型性能指标。它可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。实验中我们得知，选取Q和R时需要注意的几个方面：（1） 由于我们采用的系统模型是线性化的结果，为使系统个状态量能够在线性范围工作，要求各状态量不应过大。（2） 闭环系统最好能有一对共轭复数极点，这样有利于克服系统的非线性摩擦，但系统主导极点的模不应太大以免系统频带过宽，使得系统对噪声过于敏感，以致系统不能正常工作。（3） 加权矩阵R的减小，会导致大的控制能量，应注意控制U的大小，不要超过系统执行机构的能力，使得放大器处于饱和状态。线性二次型最优控制问题的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。由实验各组仿真数据我们得知，加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影响系统的工作品质，应适当选择。第六章参考程序实验一部分实验参考程序(此程序为最后的最优解时参考程序)% qlq.m A=[010;001;-1-4-6];B=[001]';C=[100];D=0;Q=[0.100;010;001];R=5; %参数矩阵设置，可以改动，此为最后结果%求向量KK=lqr(A,B,Q,R)%计算LQR控制的阶跃响应并画出曲线AA=A-B*K;BB=B;CC=C;DD=D;[y,x,t]=step(AA,BB,CC,DD); %单位阶跃响应曲线plot(t,y);gridtitle('Unit-stepResponseofLQRSystem')xlabel('t(s)');ylabel('y(t)');figure(2)plot(t,x(:,1),':',t,x(:,2),'.-',t,x(:,3),'-'),grid%不同状态的响应曲线title('ResponseCurvesx1,x2,x3versust')xlabel('t(s)');ylabel('x1,x2,x3');gtext('\leftarrowx1')gtext('\leftarrow