圆锥曲线中斜率之积为-1

圆锥曲线之斜率之积为-1郁圆中的垂直问题斜率之积为-14OP1OQ斜率之积为-14、抛物线中的垂直问题…上「啪［抛物线中的定点问题定点问题］椭圆中的定点问题一、OP1OQ问题X2V2例、设椭圆一+^-=1（〃>b>0）的中心为0,过O作两条垂直的射线交椭圆于P、Q两点。a2b2过原点O做直线PQ的垂线OD，D为垂足。1 1 1 1+ = + （1）求证：|OP|2|OQ|2a2b2（2）求点D的轨迹。X2 V2框架一：如图，椭圆一+—a2 X2 V2框架一：如图，椭圆一+—a2 b2=1（a>b>0），O为坐标暗点，过O作两条垂直的射线交椭圆于P、Q两点，过原点O做直线PQ的垂线OD，D为垂足，d为O到PQ的距离。有如下框架。架。OP±OQo-1—十—1—=—十—oD的轨迹为X2+y2=a2b2Od=app|2Oq|2a2b2 a2+b2 』a2+b2运用:x2y21、设圆x2+y2=12(0<t<b)上任意一点M(x,y)处的切线交椭圆—+7-=1相交00 2b2b2于P、Q。求证：OP1OQ。x2y22、如图，椭圆C:a-+b-=1的顶点为Ajq,BjB2，焦点为F,F,IAB1=<7，S =2S2 11 AiBiA2B2 B1F1B2F2(I)求椭圆。的方程； ‘ ‘(II)设n是过原点的直线，/是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，|OP|=1,是否存在上述直线l使APPB=1成立若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。总结:TOC\o"1-5"\h\zx2 Y2椭圆益+篇=l(a>b>°),。为坐标暗点，过。作两条垂直的射线交椭圆于P、Q两点,则：（1）2ab<ABI<\at2+b2 （2）02b?<S<—aba2+b2 a2+b2 △OAB2x2 y2 x2 y2M:——十=1(a>b>0) ——+—=1例、巳知椭圆 a2 b2 的长轴长为442,且与椭圆2 4有相同的离心率.(I)求椭圆M的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点4、B，且OA1OB若存在，写出该圆的方程，并求1AB1的取值范围，若不存在，说明理由.变式：X2 ,1、过O作两条相互垂直的直线交椭圆7+y2=1分别于A，C与B，D。则四边形ABCD面积的最小值是一 X2V2 . 一2.AB是过椭圆丁+一=1中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线.M是l上异于椭5 4圆中心的点。若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值.X2V2框架：设椭圆一+J=1(〃>b>0)的中心为原点，不过原点O的直线l交椭圆与P、Q连点，过原点作直线PQ的垂线，垂足为D,d表示O到PQ的距离。有如下框架图:兀、 , ab1 1 1 10</POQ<一=OP•OQ>00d>~^=^=今 + <—+-2 %a2+b2 OP2OQ2a2b2x2y2例、如图、椭圆一+J=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.(I)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(II)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|2+|OB|2 |AB|2，求a的取值范围.. 一 m2 X2 一__变式：已知m>1,直线l:x—my--=0,椭圆C:——+y2=1,F,F分别为椭圆C的2 m2 12左、右焦点.(I)当直线l过右焦点1^2时，求直线l的方程;⑴)设直线1与椭圆C交于A，B两点，AAFiF2，叩J的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.-x2 y2双曲线—一2=1(〃>0,b>0)，O为坐标暗点，过O作两条垂直的射线交椭圆于P、Qa2 b2两点，过原点O做直线PQ的垂线OD,D为垂足，d为O到PQ的距离。有如下框架。OP1OQo—L_+_L_=_1—1_oD的轨迹为x2+y2=a2b2od=.aOP2|OQ|2a2b2 a2—b2 vb2—a2例、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2—y2=1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；⑵设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP±OQ；TOC\o"1-5"\h\z⑶设椭圆C:4x2+y2=1.若M、N分别是C、C上的动点，且OM^ON,求证：O到2 1 2直线MN的距离是定值.变式：已知双曲线C:上—产=1(a>0,b>0)的离心率为\；3，右准线方程为x=4a2b2 3(1)求双曲线C的方程；(II)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x,y)(xy丰0)处的切线，l与双曲线C0 0 00交于不同的两点A,B，证明/AOB的大小为定值.定点问题:一、抛物线中的定点问题框架：A,B是抛物线y2=2px（p>0）上的两个动点，其中a,p分别为OA.OB的倾斜角,则有如下框架：兀OA1OBok0A•J=-1oAB怛过定点（2P,0）o|a-p|=-例、已知动圆过定点fp,0］，且与直线x=-p相切，其中p>0.12J 2（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹C上异于原点0的两个不同点，直线0A和0B的倾斜角分别为a和P，当a,p变化且a+p为定值e（0<9〈兀）时，证明直线ab恒过定点，并求出该定点的坐标■

变式：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO±BO(如图所示).(I)求4AOB的重心6(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；(ll)4AOB的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.二、椭圆中的定点问题x2 ¥2框架：A,B是一+f-=1(〃>b>0)上异于右顶点D的两个动点，其中a,P分别为a2b2DA>DB的倾斜角，则有如下框架：DA1DBok•k=-1oAB恒过定点(ac2,0)o|a-p|=-DADB a2+b2 2例、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.⑴求椭圆C的标准方程；(II)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭