专题07 破译解析几何中点差法通法（解析版）

专题07破译解析几何中点差法通法一、单选题1．（2020·盘县红果镇育才学校高三月考）已知椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点所在的直线的斜率为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，中点坐标，代入椭圆方程中，得到，，两式子相减得到，，结合，，，且，代入上面式子得到，，故选：B.2．（2020·广东省高三期末）已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由题得.设，由题得，所以，两式相减得，所以，所以，所以.故选C3．（2020·重庆一中高三期末）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，其焦点到渐近线的距离为，过点的直线与双曲线交于，两点.若是的中点，则直线的斜率为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】由题,双曲线中,又焦点到渐近线的距离,且,解得.故双曲线.设则,两式相减得.又中点,故.故选：C4．（2020·重庆高三）已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】设线段AB的中点坐标为，则有，设，代入双曲线方程有，两式相减得，可得，即，.故选:D.5．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为()A．3 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物线方程为.设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，故选B.6．（2020·河南省高三期末）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，，，代入椭圆方程得，相减得，．，，．，化为，又，解得，．椭圆的方程为．故选：．二、填空题7．（2020·陕西省高三）已知双曲线上存在两点A，B关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为_________.【答案】2【解析】点A，B关于直线对称，线段的中点在直线上所以得，设，所以将代入椭圆，则有两式相减得.∵，∴，∴.∵点A，B关于直线对称，∴，所以，即.∴双曲线的离心率为.故答案为：8．（2020·广西壮族自治区高三）已知椭圆C：的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点，如果△BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，则直线方程为___________【答案】【解析】由题意得，又，解得．椭圆的方程为．椭圆左焦点的坐标为，设线段的中点为，，由三角形重心的性质知，从而，，，解得，，所以点的坐标为．设，，，，则，，且，以上两式相减得，，故直线的方程为，即．故答案为：．三、解答题9．（2020·广东省高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C交于P，Q两点，且点M满足.（1）若点，求直线的方程；（2）若直线l过点且不与x轴重合，过点M作垂直于l的直线与y轴交于点，求实数t的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，，则，，两式相减可得，，因为，，则，故直线l的方程为，即.（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，设，由消去y得，则，所以，因为的方程为，令，得，当时，，；当时，，则，当l的斜率不存在时，显然，综上.t的取值范围是.10．（2020·安徽省高三月考）已知椭圆的左焦点为，经过点的直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，点为坐标原点.当直线的斜率为时，直线的斜率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右顶点，过的动直线交该椭圆于，两点，记的面积为，的面积为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，，则点，由条件知，直线的斜率为，直线的斜率为，而，两式作差得，，所以，即，又左焦点为，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，记，过标为，，则，，所以.联立方程，，消去，得，所以，，，令，则，且，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值为.11．（2020·四川省高三月考）已知椭圆：，直线交椭圆于，两点.（1）若点满足（为坐标原点），求弦的长；（2）若直线的斜率不为0且过点，为点关于轴的对称点，点满足，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）设,由,且点,得,.①∴线段的中点坐标为,其在椭圆内由两式相减得,整理得,即.将①代入,得.∴直线方程为,即.联立消去得,由韦达定理得,.∴.（2）设直线的方程为,由题意得,由已知,可知,,三点共线,即.∴,即,解得.将,,代入得.②联立消去得由韦达定理得,.③将③代入②得到12．（2020·湖南省高三期末）如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，，当与的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若直线在轴上的截距时，求面积的最大值．【答案】（I）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由抛物线过点，得，设直线的斜率为，直线的斜率为，由、倾斜角互补可知，即，将，代入得．（Ⅱ）设直线的斜率为，由，得，由（Ⅰ）得，将其代入上式得．因此，设直线的方程为，由，消去得，由，得，这时，，，又点到直线的距离为，所以，令，则由，令，得或．当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，故的最大值为，故面积的最大值为．（附：，当且仅当时取等号，此求解方法亦得分）13．（2020·全国高三专题练习）过抛物线的焦点为F且斜率为k的直线l交曲线C于、两点，交圆于M，N两点（A，M两点相邻）．（1）求证：为定值；（2）过A，B两点分别作曲线C的切线，，两切线交于点P，求与面积之积的最小值．【答案】（1）证明见解析，（2）1【解析】（1）依题意直线的方程为，代入得，，则，.∴为定值（2）因为，所以，则切线PA方程为①PB方程为②②—①得，③，将③代入①得，所以P到直线AB的距离，，，因为，，所以当且仅当时，取最小值1.14．（2020·河南省高三期末）已知点在椭圆：上，且点到的左、右焦点的距离之和为.（1）求的方程；（2）设为坐标原点，若的弦的中点在线段（不含端点，）上，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由条件知，，所以，，∴椭圆的方程为.（2）设点、的坐标为，，则中点在线段上，且，∴，又，，两式相减得，易知，，所以，即.设方程为，代入并整理得.由解得，又由，∴.由韦达定理得，，故.而，所以的取值范围是.15．（2020·上海市南洋模范中学高三期末）设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点．（1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：；（2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：法1：设不经过点的直线方程为，代入双曲线方程得：．设坐标为，坐标为，中点坐标为，则，，，，所以，，．