重庆市长寿区2022届高三上学期数学期末考试试卷

重庆市长寿区2022届高三上学期数学期末考试试卷

阅卷人

-------------------、单选题(共8题；共16分)

得分

1.(2分)设集合P={3,4,5}，Q={6,7},定义P③Q={(a,b)\aEP,bGQ},则P(g)Q中元

素的个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】【解答】因为集合P=[3,4,5}，Q—{6,7},定义P®Q={(a,b)|a6P,b6Q},

所以P(8)Q={(a,b)\aeP,bEQ]={(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)).

一共6个元素.

故答案为：D

【分析】根据已知条件中的新定义可求出P(8Q中元素的个数.

2.(2分)已知复数z满足(3+4i)z=7+t,则|z|=()

A.1B.>/2C.V3D.2V2

【答案】B

r&v+Mir岳右免1_7+i—(7+i)(3—4i)一25-25i_..

【解析】【解口】••・z=3+4i=(3+4i)(3-4i)=25=1-l,

\z\=V2.

故答案为：B.

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z,再由复数求模公式计算得答案.

3.(2分)若苍=(1,一2),加=(一2,4),则下列结论错误的是()

A.U//bB.|a|=V5C.HlhD.\b\=2A/5

【答案】C

【解析】【解答】对于A,因为苍=(1,-2),方=(—2,4),所以3=—2五，所以五〃石,所以A正

确，不符合题意，

对于B,因为五=(1,-2),所以同=«^=遍，所以B正确，不符合题意，

对于C,因为w=(l,-2),b=(-2,4).所以心石=一2—8=—10。0，所以行与了不垂直，所以

C错误，符合题意，

对于D,因为3=(—2,4),所以|山=94+16=2通,所以D正确，不符合题意，

故答案为：C

【分析】根据向量共线坐标运算可判断A；根据向量的模的公式进行计算可判断B、D；根据向量

数量积的运算可判断D.

4.(2分)哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和“，如8=3+5.我国数学

家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2,3,5,7,11”这5个素数中，任

取两个素数，其和不是合数的概率是()

A-IB.备C.|D.存

【答案】B

【解析】【解答】在"2,3,5,7,11”这5个素数中任取两个，

其和有10种不同的情况如下：5、7、8、9、10、12、13、14、16、18,

其中两素数之和不是合数的有5,7,13共3种，

所以任取两个素数，其和不是合数的概率为余。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出任取两个素数，其和不是合数的概率。

5.(2分)已知直线1过抛物线C：y2=4%的焦点且与C交于4B两点,线段AB的中点关于y轴的对称

点在直线％=—2上，贝=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】【解答】因为抛物线C：y2=4x,所以p=2

设4B两点的横坐标分别为%i，%2

因为线段AB的中点关于y轴的对称点在直线工=-2±

所以线段AB的中点的横坐标为2,则包产=2,即5+冷=4

故=%I+%2+P=4+2=6

故答案为：D

【分析】由题意求出抛物线的参数P，由于直线过焦点，先利用中点的坐标公式求出打+利，利用

弦长公式=%+&+P求出AB的长.

22021

6.（2分）若（1+%）（1—2x）2020=a0+arx+a2xH----Fa202iX1则由+a2H----Fa202i=

（）

A.0B.2C.-1D.1

【答案】D

2x2021>

【解析】【解答】由（1+%）（1-2x）202。-a0+arx+a2x-+---+a202i

令％=0,可得劭=1；

令X=l,可得劭+如+a2+…CI2021=2

所以的+a2+02021=1.

故答案为：D.

【分析】利用赋值法，令X=0,可求得劭，再令X=1可求得劭+幻++…CZ2021，可求出答案.

7.（2分）过点（0,2）作与圆/+72-2%=0相切的直线1,则直线1的方程为（）

A.3x-4y+8=0

B.3%+4y-8=0

C.x=0或3%+4y-8=0

D.x=0或3%—4y—8=0

【答案】C

【解析】【解答】圆/+丫2一2%=0即为。—1）2+丫2=1,圆心是（1,0）,r=l,

当直线斜率不存在时，直线方程为％=0,而d=r=l,直线与圆相切，

当直线斜率存在时，设直线方程为kx-y+2=0,

圆心到直线的距离为；d=~T^=>解得k=-l，

J1+/4

所以直线1的方程为3x+4y—8=0,

综上：直线1的方程为％=0或3x+4y-8=0,

故答案为：C

【分析】首先把圆的方程化为标准式，由此求出圆心坐标以及半径的值，再对斜率分情况讨论，由

此设出直线的方程，然后结合点到直线的距离公式代入数值计算出k的取值，从而即可得出直线的

方程。

8.(2分)已知定义在R上的函数/(%)满足/(1+X)+/(1-％)=0,且/(-%)=/(%),当102

时，/(%)=2X-1,则/(2022)=()

A.-1B.-3C.1D.3

【答案】D

【解析】【解答】由/(l+x)+/(l-X)=0,得/(1+x)=-/(1一%),

.-./(%+2)=-/(-%)=-/(%),

/./(X+4)=-f(x4-2)=f(x),

.••/(%)的周期为4,

(2022)=/(2)=22-1=3o

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合转化的方法，进而得出函数的周期，再利用函数的周期求出/(2022)的

值。

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二、多选题(共4题；共8分)

得分

9.(2分)给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1,则这组数据的()

A.平均数为3B.标准差为gC.众数为2和3D.中位数为3

【答案】A,C,D

【解析】【解答】平均数为5+5+4+3+3京3+2+2+2+1=3；

众数为2和3；

标准差为J(5-3)2+(5-3)2+…+(]-3)2_2710；

10""s-

中位数为岁=3.

故答案为：ACD.

【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、标准差和中位数即可得答案.

10.（2分）已知双曲线的方程为需_吟=1，则下列说法错误的是（）

A.离心率e为；B.渐近线方程为V7%±3y=0

C.焦点为（土企，0）D.焦点到渐近线的距离为半

【答案】C.D

【解析】【解答】由方程可知a=3,b=A/7,c=\9+7—4,

则焦点为（±4,0）,c错误，符合题意，渐近线方程为y=±，x=±[x，即夕x±3y=0,B正

确，不符合题意；

离心率为6=£=3A正确，不符合题意；焦点（4,0）到渐近线V7x+3y=0的距离为4=蚂=

a3J7+9

V7.D错误，符合题意

故答案为：CD.

【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，逐项进行判断，可得答案.

11.（2分）正方体/BCD中，P,Q分别为棱BC和CCi的中点，则下列说法正确的是

（）

A.BG〃平面AQP

B.4D1•平面4QP

C.异面直线&C与PQ所成角为90°

D.平面/QP截正方体所得截面为等腰梯形

【答案】A,C,D

【解析】【解答】对于A,P,Q分别为棱BC和CCi的中点，所以PQ〃BQ,

利用线面平行的判定定理可得BQ〃平面4QP,所以A符合题意：

对于B,在正方体中AB_L平面A41D1D,所以

又人1。14。1，AD1QAB=A,所以41。_L平面ABG01，

若4DJ•平面4QP,则平面ABCiDi〃平面4QP,

这与平面4BGDi与平面4QP相交矛盾，所以B不正确；

对于C,与B同理可证BC］_L平面41当(7,

又PQ〃BC［,所以PQJ■平面ZiBiC,从而得到PQJ.41C,

即异面直线41c与PQ所成角为90。，所以C选项正确；

对于D,在正方体中，平面平面BBiGC,

平面4QP0平面44也。=ADX,平面AQPn平面BB©。=PQ,

ADJ/PQ,所以平面4QP截正方体所得截面为四边形4PQD1，

因为PQ力/必，AP=DiQ,即四边形力PQD］为等腰梯形，所以D符合题意;

故答案为：ACD.

【分析】利用直线与平面平行的判定判断A；利用反证法判断B；通过证明线面垂直，得到线线垂

直判断C；找出平面AQP截正方体所得截面判断D.

12.(2分)已知函数/(x)一4%+4,则()

A./(%)在(0,+8)上单调递增B.x=-2是/(%)的极大值点

C.八%)有三个零点D./(x)在［0,3］上最大值是4

【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：因为/(%)=—4%+4

所以/(x)=%2-4=(%+2)(%-2)-

令/(x)=0，解得x=-2或％=2,

f'(x)与fO)随％的变化情况如下表：

X(-O0,-2)-2(一2,2)2(2,+oo)

/‘(久)+0—0+

极极

/(%)7大小7

值值

因此函数/(%)在(-00,-2),(2,+8)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，故A错误;

x=一2是"%)的极大值点，故B正确；

因为/(-6)=-44<0,/(_2)=学>0，/(2)=/⑹=52,

由函数的单调性及零点存在性定理可知/(x)有三个零点，故C正确；

当f(x)的定义域为［0,3］时,

f(x)在［0,2］上单调递减，在(2,3］上单调递增，

又f(0)=4,/(3)=1,

所以/(x)在［0,3］上的最大值是4,故。正确.

故答案为：BCD.

【分析】对f(x)求导，令/'(%)=0可得*的值，列表可得函数f(x)的单调性与极值，再逐个判断

选项即可得出答案.

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三、填空题(共4题；共4分)

得分

13.(1分)写出一个最大值为4,最小值为-2的周期函数/(%)=.

【答案】3sinx+l(答案不唯一)

【解析】【解答】根据三角函数的图象与性质，可得令/(%)=3sinx+1,

满足/(%)最大值为4,最小值为-2的周期函数.

故答案为：3sinx+1(答案不唯一)

【分析】根据三角函数的图象与性质可得答案.

14.（1分）我国古代数学家僧一行应用“九服号影算法”在《大衍历》中建立了唇影长1与太阳天顶距

0（0°<e<80°）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，>

影长度1等于表高h与太阳天顶距e正切值的乘积，即l=h-tan©.若对同一“表高”两次测量，

“唇影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记为、e2）,则tan（8i+02）=.

【答案】-1

【解析】【解答】由题意l=h-land，“唇影长”分别是“表高”的2倍和3倍时，tan%=2,tan4=

tan6+tan0_2+3

3,所以tan(%+4)=12

1—tan01-tan02—1—2x3

故答案为：-1。

【分析】利用实际问题的已知条件求出tan%,tan%的值，再利用两角和的正切公式，进而求出

tan©+/）的值。

15.（1分）已知1g（久+2y）=Igx+Igy,则2x4-y的最小值为.

【答案】9

【解析】【解答】因为lg（x+2y）=Igx+Igy=\gxy,

21

所以x+2y=xy,x>0,y>0,所以47+y二=1,

则2x+y-（2x+，）•（］+》=5+华+?25+?=9,

当且仅当华=?且|+>1,即x=y=3时取等号.

故答案为：9

【分析】由已知结合对数的运算性质可得a+：=1,然后结合基本不等式即可求出2久+y的最小

值.

16.（1分）已知正四面体ABCD的表面积为2遮，且A,B,C,D四点都在球O的球面上，则球O

的体积为.

【答案】苧兀

【解析】【解答】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a,

2

所以该正四面体的表面积为S=4X；xaxJa2—（今2—yj^a,所以a=V2>

又正方体的面对角线可构成正四面体，

若正四面体棱长为鱼，可得正方体的棱长为1,

所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为遮，半径为空,

所以球。的体积为枭.

故答案为：枭

【分析】利用正四面体的表面积，求出棱长，然后求解外接球的半径，即可求解外接球的体积.

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四、解答题(共6题；共51分)

得分

17.(1分)在①=asinB；②75asinB=b(2—cosZ)；③cosC=与S这三个条件中任选

一个，补充到下面的问题中，并解决该问题：

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=旧，△ABC的面积为:a,

求△ABC的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】解：若选择①，由正弦定理得V5sinBcosA=sinAsinB,

由于sinBH0,则目cos/=sin4

-rr

又sinZHO,所以tanA=遍，因为0<4<兀，所以4=于

由a=g，△ABC的面积为加得;bcsinA=字，所以空儿=孚，所以尻=2.

由余弦定理得，3=b2+c2-be=(b+c)2—3bc,所以b+c=3,

故小ABC的周长为3+V3.

若选择②，

由正弦定理得VJsinZsinB=sinB(2—cosZ),又sinB*0>则gsinA=2—cosA,

77"

所以遮sin/+cosi4=2,即sin(A+石)=1,

又0<A<4，所以4+看=看故4=*

由a=V5，AABC的面积为Ja,得JbcsinA=g，所以厚尻=,，所以尻=2.

由余弦定理得3=b2+c2-be=(b+c)2-3bc,所以b+c=3,

故4ABC的周长为34-V3-

若选择③，

由余弦定理得cosC=。2+/-。2=2b-ct整理得反+c2_a2=bc,

2ab2a

由余弦定理得2bccos4=be,所以cos/=｝,又0VAV兀，所以4=*

由。=遮，△ABC的面积为aQ,得鼻csinA=卓，

所以苧加=冬所以尻=2.

由余弦定理得3=坟+©2—bc=（b+c）2—3bc,所以b+c=3,故△ABC的周长为3+国.

【解析】【分析】若选择①，由正弦定理和同角三角函数基本关系式和三角形中角A的取值范围，

进而得出角A的值，再利用a的值和三角形的面积公式，进而得出be的值，再利用余弦定理得出

b+c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形aABC的周长；

若选择②，由正弦定理和辅助角公式化简为sin（A+$=1,再利用三角形中角A的取值范围，进

而得出角A的值，再利用a的值和三角形的面积公式得出be的值，再结合余弦定理得出b+c的值,

再利用三角形的周长公式得出三角形^ABC的周长；

若选择③，由余弦定理得属+©2-=bc，再由余弦定理和三角形中角A的取值范围，进而得出

角A的值，再利用a的值和三角形的面积公式得出be的值，再利用余弦定理，进而得出b+c的值,

再利用三角形的周长公式，进而得出三角形小ABC的周长。

18.（10分）已知数列｛即｝满足臼=2,可埼-泰=今等比数列出„｝的公比为3,且历+。3=10.

（1）（5分）求数列｛八｝和仙n｝的通项公式;

（2）（5分）记数列勿=焦+勾，求数列｛7｝的前n项和列〜

【答案】（1）解：因为在一2=%故数列｛2｝是公差为；的等差数列，

又；=故2=/故册=1-

乙a九nnn

因为数列出“｝的公比为3.

所以仇+匕3=打+32打=10仇=10,解得匕1=1,故“=3"T.

（2）解：泡=思钙=嬴=1一急，故数列｛7｝的前几项和

i41

3（1-21）+3°0+（21-31）+3*31-41）+322…+（元1-1"）+3…

1111111

=【a-N+%一手+专-R+•“+（五-乔p+a+3+32-+3-1）

,1,l-3nn,3n-l

=1-nTT+17r3-=nTT+-T-

【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式可得数列｛&J的通项公式，根据等比数列的定义即可求出

｛砥｝的通项公式；

（2）根据分组求和和裂项求和和等比数列的求和公式即可求出数列｛%｝的前n项和

19.（10分）在如图所示的四棱锥P-ABCD中，四边形力BCD为矩形，PA1平面4BCD,E为PD的

（1）（5分）证明：PB〃平面4CE；

（2）（5分）若24=20=1,AB=2,求二面角E-AC-B的余弦值.

【答案】（1）证明：连接8。，交4C于点0,连接E0,

因为。为BD中点，E为P。中点,

所以E0〃PB,

因为E0u平面4CE,

PB0平面/CE,

所以PB〃平面ACE；

（2）解：如图，以4为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为久轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，

11

则/(0,0,0).C(2,1,0)，B(2,0,0),E(0,j),

则前=(2,1,0),荏=(0,I，

因为/M_L平面4BCD,

所以平面4BC的一个法向量为沅=（0,0,1）,

设平面ZEC的法向量为记=（尤，y,z）,

则,.加=%+1=0,

1n-AC=2x+y=0

令x=1,则y=-2,z=2,

所以诂=（1,-2,2）,

所以cos＜沅，有＞=滞扁=|,

由图可知二面角E-AC-B为钝二面角，

所以二面角E-AC-B的余弦值为一|.

【解析】【分析】（1）连接BD,交4c于点0,连接E0,贝！］OE〃PB,由此能证明PB〃平面ACE；

（2）以4为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为%轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出二面角E-AC-B的余弦值.

20.（10分）己知曲线C：a/+”=1过点（1,辛）和（一，一孚）.

（1）（5分）求曲线C的方程，并指出曲线类型；

（2）（5分）若直线2x—y—2=0与曲线C的两个交点为A,B,求△OAB的面积（其中O是坐

标原点）.

【答案】（1）解：曲线C过点（1,孝）和（_/,一半），

（a+^b=1fa=1,

则114解得2

7

...曲线C的方程为号+y2=l，表示椭圆.

2%-y—2=0,rryr

（2）解：由4r2得9/一16%+6=0,%=8±90

（号+＞2=1,9

VXX

设/（%1，yt）>5（%2>乃），=V5|Xi-x2\=g—=—g―

2

又0到直线2x—y—2=0的距离为d=泉,

△OAB的面积为3x\AB\xd=马翼

【解析】【分析】（1）把点Q,¥）和（一发—半）代入曲线C中可得关于a,b的方程组，求解出

a,b,可得曲线C的方程和曲线类型；

（2%—y—2=0,

2

（2）设4（%i，y。，B（X2,、2）由，x可得9/一16%+6=0，由韦达定理求出

（彳+y2=i,

\AB\=V5\X1-X2\,再利用点到直线的距离公式求出O到直线2x—y—2=0的距离，进而求出

△OAB的面积.

2L（10分）“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学

习热潮.该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛

宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站某单位

为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年

年底的积分情况，并将数据整理如下：

积

分2000-30003001-40004001-50005001-6000>6000

性(分)(分)(分)(分)(分)

别

男

8060302010

性

女

2060100200

性

2

附.<2_n(ad-bc)______

A―(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>ko)0.100.050.0250.010

ko2.7063.8415.0246.635

（1）（5分）已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的

2x2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关;

优秀员工非优秀员工总计

男性

女性

总计

（2）（5分）以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3

人中属于“非优秀员工”的人数为X,求X的分布列与数学期望.

【答案】（1）解：补全2x2列联表如图所示:

优秀员工非优秀员工总计

男性30170200

女性20180200

总计50350400

2

2_400x(30x180-20x170)

K-200x200x50x350~x2.286V2.706,

故没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.

（2）解：由题知，从已选取的400人中随机抽取1人，属于“非优秀员工”的概率为彳

X的所有可能取值为0,1,2,3,

且P（x=0）=（|）3=壶P（x=1）=月G）2q=蒜

P（X=2）=询X*（犷=晶，P（X=3）=（款=需,

所以X的分布列为

X0123

121147343

P

512512512512

所以E（X）=°x++1X第+2x|||+3x|^|=奈

【解析“分析】⑴先利用所给数据表补全2x2列联表，再利用K?公式求出K2,利用临界值表进

行判定，可得结论;

（2）先求出从已选取的400人中随机抽取1人，属于“非优秀员工”的概率为1列出X的所有可能

O

取值，求出每个变量对应的概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解，可得X的分布列与数

学期望.

22.(10分)已知函数/(x)=mx-(m+2)lnxn(%)--.

(1)(5分)若/(%)在%=1处与直线y=-3相切，求出实数小、n的值以及/(%)的单调区间；

(2)(5分)若n=2,是否存在实数m<0,当2］时，不等式/(%)+32g(x)有解？若存

在，求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由.

【答案】(1)解：=耍+£，依题意/(I)=m—般=一3,

/(I)=-2+n=0>得m=-1,n=2,

/./(%)=令/'(%)>o,得一2<x<l,

又函数的定义域是(0,+oo),

函数的单调递增为(0,1),单调递减为(1,+00).

(2)解：当n=2时，/(%)=皿-2产-1),

令/4)>0,得亮<%<1，又函数的定义域是(0,4-00),

二函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

即函数/(%)在口，2］上单调递减，

又g'(x)=¥普，令g'(x)>o，得0Vx<e,在口，2］上单调递增.

当2］时,不等式/(%)+32g(x)有解，

等价于［/(%)+3］„^29。)„^，即/(1)+32。(1)，得m+120,m>-l.

.•.存在m的值符合条件，且m的范围是［-1,0).

【解析】【分析】(1)根据相切求出m、n,根据导数判断单调性，可得/(%)的单调区间；

(2)利用最值的思想去求解，可得实数m的取值范围.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：79分

客观题（占比）25.0(31.6%)

分值分布

主观题（占比）54.0(68.4%)

客观题（占比）13(59.1%)

题量分布

主观题（占比）9(40.9%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(18.2%)4.0(5.1%)

解答题6(27.3%)51.0(64.6%)

多选题4(18.2%)8.0(10.1%)

单选题8(36.4%)16.0(20.3%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(77.3%)

2容易(22.7%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1函数的周期性2.0(2.5%)8

2归纳推理2.0(2.5%)1

3直线与圆的位置关系2.0(2.5%)7

4利用导数求闭区间上函数的最值12.0(15.2%)12,22

5独立性检验的基本思想10.0(12.7%)21

6古典概型及其概率计算公式2.0(2.5%)4

7直线与圆锥曲线的综合问题10.0(12.7%)20

8异面直线及其所成的角2.0(2.5%)11

9二项式系数的性质2.0(2.5%)6

10双曲线的简单性质2.0(2.5%)10

11数列的求和10.0(12.7%)18

12正弦定理1.0(1.3%)17

13复数代数形式的乘除运算2.0(2.5%)2

数量积判断两个平面向量的垂直关

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