一元二次方程全章复习与测试-2022年新九年级数学暑假课（苏科版）解析版

第14讲一元二次方程全章复习与测试

谆【学习目标】

1.了解一元二次方程及有关概念；

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程；

3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.

合【基础知识】

一.一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：''化简后”；“一个未知数”；

“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

二.一元二次方程的一般形式

（1）-一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式a^+bx+c^O

（«^0）.这种形式叫一元二次方程的一般形式.

其中or2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数b和

常数项c可取任意实数，二次项系数。是不等于0的实数，这是因为当。=0时，方程中就

没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.

（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

三.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这xi,也是一元二次方程/+必+,

=0QW0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axr+bx^c—Q（aWO）,ax21+bx2+c—O（aWO）.

四.解一元二次方程-直接开平方法

形如/=0或（依+小）2=p（p》o）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成/=p的形式，那么可得》=±旃；

如果方程能化成（〃x+，w）2=p（pNO）的形式，那么〃x+w?=±_Jjj.

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

五.解一元二次方程-配方法

（1）将一元二次方程配成（X+机）2=附的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为"2+/JX+C=O（aWO）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,

则判定此方程无实数解.

六.解一元二次方程-公式法

（1）把x=="士山—4ac（.-4ac20）叫做一元二次方程ar2+bx+c=O（a#0）的求根公

2a

式.

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定小6,c的值（注意符号）；

②求出户-4成的值（若y-4ac<0,方程无实数根）；

③在62-44）0的前提下，把a、Ac的值代入公式进行计算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①。并0;②启-4农20.

七.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式

分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

八.换元法解一元二次方程

1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，

这叫换元法.

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将

问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得

容易处理.

2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母

来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元

的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.

九.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=庐-4破)判断方程的根的情况.

一元二次方程ar2+fcv+c=O(aWO)的根与△=标-44c有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当a<0时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

十.根与系数的关系

(1)若二次项系数为1,常用以下关系：xi,总是方程f+px+q=O的两根时，xi+%2=-p,

x\xi=q,反过来可得p=-(X1+X2),q=x\x2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者

是已知两根确定方程中未知系数.

(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：xi,也是一元二次方程以2+瓜+c=o(�)

的两根时，X\+X2=X\X2=反过来也成立，即—=—(xi+%2),-=X\X2.

Qaaa

(3)常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②己知方程及方程的一个根，求另

一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值，如求，X/+X22等等.④判断两根的符

号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，解

题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑。#0,△》()这两个前提条件.

十一.由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找

出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出己知量与未知量之间的等量关系，

即列出一元二次方程.

十二.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为十位数是4则这个两位数表示为lOHa.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是4,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2,即原数X（1+增长百分

率）2=后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相

似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的"六字诀"

1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹小根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

十三.配方法的应用

1、用配方法解一元二次方程.

配方法的理论依据是公式。2±2"+庐=（a+h）2

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项

系数一半的平方.

2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值.

关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方.

3、配方法的综合应用.

十四.高次方程

（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程.

（2）高次方程的解法思想：

通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方程一般要降次，即把

它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.

对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限

次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理.换句话说，只有三次和四

次的高次方程可用根式求解.

十五.无理方程

（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.

（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程

（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程.

解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构

特征选择解题方法.常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用

比例性质法等.

（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，

往往会产生增根，应注意验根.

二

【考点剖析】

一.一元二次方程的定义（共1小题）

1.（2021秋•丹阳市期末）若方程，"I-8x-8=0是一元二次方程，则加的值等于（）

A.+1B.1C.-1D.0

【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为

0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案.

【解答】解：若方程W—8X-8M0是一元二次方程，

则"7+1=2,

解得m=\.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

二.一元二次方程的一般形式（共1小题）

2.（2021秋•密山市校级期末）方程/-x=0的一次项系数是-1,常数项是0.

【分析】一元二次方程的一般形式是：a/+bx+c=0（小b,c•是常数且“W0）.在一般

形式中o?叫二次项，区叫一次项，c•是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次

项系数，常数项.

【解答】解：方程/-x=0的一次项系数是-1，常数项是0.

【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式.在本题中要注意常

数项是0,而不是不存在.

三.一元二次方程的解（共1小题）

3.（2021秋•金湖县期末）根据关于x的一元二次方程/+px+q=O,可列表如下:

x0.511.11.21.31.4

x1+px+q-2.75-1-0.59-0.160.290.76

则方程/+px+<7=0的正数解满足（)

A.解的整数部分是1,十分位是1

B.解的整数部分是1,十分位是2

C.解的整数部分是1,十分位是3

D.解的整数部分是1,十分位是4

【分析】通过观察表格可得/+川+4=0时，1.2<xV1.3,即可求解.

【解答】解：由表格可知,

当x=1.2时，x^+px+q<0,

当x=1.3时，x^+px+qX),

.,.X2+/?A+<7=0时，1.2<x<1.3,

.•.解的整数部分是1,十分位是2,

故选：B.

【点评】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范

围是解题的关键.

四.解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）

4.（2022•盐城开学）解方程（x-1）2=225.

【分析】利用直接开平方法求解即可.

【解答】解：；（x-解2=225,

1=±15,

解得xi=16,X2=-14.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

五.解一元二次方程-配方法（共2小题）

5.（2022春•温州期中）用配方法解方程，-4x-1=0时，配方后得到的方程为（）

A.（x+2）2=3B.（x+2）2=5C.（%-2）2=3D.（%-2）2=5

【分析】移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项.

【解答】解：?-4x-1=0,

x2-4x=1,

x2-4x+4=1+4,

(x-2)2=5,

故选：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键.

6.(2022•海陵区一模)(1)分解因式：3。2-6“+3；

(2)解方程：？-4x+2=0.

【分析】(1)先提公因数3,然后利用完全平方公式分解因式；

(2)利用配方法得到J-2)2=2,然后利用直接开平方法解方程.

【解答】解：(1)原式=3(/-2。+1)

=3(a-1)2；

(2)x2-4x+2=0,

x2-4x=-2,

x2-4x+4=2

(x-2)2=2,

x-2—±-^2,

所以xi=2+^^,x2—2—^2.

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步

骤是解决问题的关键.

六.解一元二次方程-公式法(共1小题)

7.(2022•泗洪县一模)解下列方程：

(1)(2x+l)(x-3)=0；

(2)/一4在x+8=0.

【分析】(1)方程利用因式分解法求出解即可；

(2)方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解.

【解答】解：(1)方程(2x+l)(x-3)=0,

所以2x+l=0或x-3=0,

1

解距-

XI2

(2)方程变形得：(x-272)2=0,

开方得：x-2以=0,

解得：Xi=X2=2y/2.

【点评】此题考查了解一元二次方程-公式法，直接开平方法，以及因式分解法，熟练

掌握各自的解法是解本题的关键.

七.解一元二次方程.因式分解法(共3小题)

8.(2021秋•平罗县期末)方程(x+1)(x-2)=0的两根分别为()

A.xi=1,X2=2B.xi=-LX2=-2

C.xi=1,X2=-2D.xi=-1,X2=2

【分析】利用因式分解法把方程化为x+l=0或x-2=0,然后解两个一次方程即可.

【解答】解：x+l=0或x-2=0,

所以xi=-1,xi—2.

故选：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通

过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能

得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为

解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

9.(2022春•海安市期中)方程x2-2022%=0的解是-=0,==2022.

【分析】利用因式分解法解方程.

【解答】解:x2-2022x=0,

x(x-2022)=0,

x=0或x-2022=0,

所以xi=0,^2=2022.

故答案为：xi=0,X2=2O22.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

10.(2022春•张家港市校级期中)解方程：

(1)/-4x-5=0；

(2)37-l=2x+2

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

(2)先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程.

【解答】解：(1)(x-5)(x+1)=0,

x-5=0或x+1=0,

所以XI=5,X2=~I:

(2)37-2%-3=0,

4=3,h~-—2,c~~~3,

△=(-2)2-4X3X(-3)=40>0,

-b±Jb2-4ac2±2101±^10

X-----*------=-----v--=-----，

2a2x33

所以xi=i±F,X1~印

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式

法.

八.换元法解一元二次方程（共1小题）

11.（2022春•射阳县校级月考）已知（7+丁+1）（Ay2-3）=5,则？+尸的值为（）

A.0B.4C.4或-2D.-2

【分析】设/+）2=z,则原方程换元为Z2-2Z-8=0,可得ZI=4,Z2=-2,即可求解.

【解答】解：设/+陕=2,则原方程换元为z2-2z-8=0,

（z-4）（z+2）=0,

解得：zi=4,Z2=-2,

即/+y2=4或x2+y2=-2（不合题意，舍去），

.•.,+）2=4.

故选：B.

【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键.

九.根的判别式（共1小题）

12.（2022春•海门市期中）若方程〃江2+6*+3=0有两个不相等的实数根，则实数m的取

值范围为/“W3且〃序（）.

【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到mWO且a=62-4/»X3>0,

然后求出两不等式的公共部分即可.

【解答】解：根据题意得且△=62-4mX3>0,

解得且"?#0,

即实数m的取值范围为且znWO.

故答案为：且,w#0.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a^+bx+c^O（a#0）的根与A=庐-4ac

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当△<（）时，方程无实数根.

一十.根与系数的关系（共2小题）

13.（2022春•崇川区校级月考）已知方程7-2022x+l=0的两根分别为如、处则后-警

的值为-1.

【分析】由题意可得用3=1,后—2022x1=-I,将代数式后一些变形为后-里玛■

x2xrx2

即可得出答案.

【解答】解：；方程x2-2022r+l=0的两根分别为力，处

>\x[9x2=1,x1—2022x1+1=0,

；.X2_2022XI=-1,

2022

工在一

=后一2022X1

=-2022%1

=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的

关键.

14.（2022•靖江市一模）已知方程7--2=0的两根分别为xi,xi,则x/-★2+4%2的

值为4.

【分析】利用一元二次方程解的定义得到制2=〃|+2,入22=如+2；然后由根与系数的关

系求得XI+X2=2；最后代入所求的代数式求值即可.

【解答】解：•••方程--2x-2=0的两根分别为xi,X2,

.".xr—2x]+2,x22-2x2+2,XI+X2—2.

.".XI2-A22+4X2

=(2xi+2)-(2x2+2)+4x2

=2(xi+%2)

=2X2

=4.

故答案是：4.

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题

是--种经常使用的解题方法.

一十一.由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）

15.（2022春•海门市期中）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今

有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”

大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它

高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水

的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）

A.^+52—（x+1）2B./+1。2=（x+1）2

C.x2-52=(x-1)2D.X2-IO2=(x-1)2

【分析】首先设水深X尺，则芦苇长为(X+1)尺，根据勾股定理可得方程.

【解答】解：设水深X尺，则芦苇长为(X+1)尺，由题意得：

7+52=(x+1)2,

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

16.(2019春•阜阳期中)南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每

千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，

平均每天的销售量可增加10千克.专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，

且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？

(1)解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为(60-x-40)(100+lOx)

=2240；

方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：(x-40)[100+10(60

-x)]=2240.

(2)请你选择一种方法，写出完整的解答过程.

【分析】(1)方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量义每件利润=2240元列出

方程求解即可；

方法2：设每千克特产降价后定价为)，元，利用销售量X每件利润=2240元列出方程求

解即可.

(2)利用(1)中所列方程求出答案.

【解答】解：(1)方法1：设每千克特产应降价x元.根据题意，得

(60-X-40)(IOO+IOJC)=2240.

方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得

(%-40)1100+10(6()-x)|=2240,

故答案为：(60-X-40)(100+10x)=2240,(x-40)[100+10(60-x)]=2240；

(2)方法1：设每千克特产应降价x元.根据题意，得

(60-X-40)(100+10%)=2240,

解得xi=4,X2=6.

要让顾客尽可能得到实惠，只能取x=6,

60-6=54元，

答：每千克特产应定价54元.

方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得

(A:-40)1100+10(60-x)1=2240

解得xi=54,%2=56.

要让顾客尽可能得到实惠，只能取x=54,

答：每千克特产应定价54元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方

程.

一十二.一元二次方程的应用(共1小题)

17.(2022春•鼓楼区校级月考)我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几

个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简

求值、解一元二次方程、求最值等问题.

(1)己知三角形ABC的三边长“、氏c都是正整数，并且满足J+2层-6〃-46+11=0,

求三角形ABC的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？

(2)某商品现在每件盈利10元，每天可卖出30件.市场调查发现：如调整价格，每涨

价1元，每天要少卖1件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？

【分析】(1)由a2+2h2-6a-4Z>+ll=0得(a-3)2+2(b-I)2=0,据此知a=3、b

=1,继而根据三角形三边关系确定c的范围，结合c是正整数可得c=3,从而得出答案；

(2)设每件商品涨价x元，每天的利润为(10+x)(30-x)=-(x-10)2+400,由

(%-10)22。知-(x-10)2+400W400,从而得出答案.

【解答】解：(1)；/+2层-6。-4%+11=0,

.•./-6。+9+2户-46+2=0,即(a-3)2+2(&-1)2=0,

则“-3=0且b-1=0,

解得〃=3,b=\,

：.3-l<c<3+l,即2<c<4,

•••c是正整数，

.•.c=3,

则△A8C的周长为3+1+3=7；

(2)设每件商品涨价x元，

每天的利润为(10+x)(30-%)

=-/+20x+300

=-(x-10)2+400,

,/(X-10)220,

-(X-10)2<0,

则-(x-10)2+400W400,

.•.当x=10时，-(x-10)2+400取得最大值400,

答：当每件商品涨价10元时，每天的利润最大.

【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的应用、

三角形三边关系及非负数的性质等知识点.

一十三.配方法的应用(共1小题)

18.(2022春•润州区校级期中)阅读材料：

数学课上，老师在求代数式，-八+5的最小值时，利用公式〃2±2"+户=(a+b)2,

对式子作如下变形：/-4x+5=/-4x+4+l=(x-2)2+1.

,/(jc-2)220,(x-2)2+121.

当x=2时，(x-2)2+1=1,

因此(x-2)2+1有最小值1,即/-4x+5的最小值为1.

通过阅读，解决下列问题：

(1)代数式/+10x-6的最小值为-31：

(2)试比较代数式A=37-2x与B=2?+4x-10的大小，并说明理由.

【分析】(1)仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值

即可；

(2)利用作差法列出关系式，配方后利用非负数的性质确定出大小即可.

【解答】解：(1)7+10x-6

=(AlOx+25)-31

=(x+5)2-31,

,/(x+5)220,

...当x+5=0,即x=-5时，代数式/+10x-6的最小值为-31.

故答案为：-31；

(2)A>B.理由如下：

'/(3?-2x)-(2?+4x-10)

=3'-2x-2X1-4x+10

=j？-6x+10

=(7-6x+9)+1

=(x-3)2+l>l>0,

：.A>B.

【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本

题的关键.

一十四.高次方程(共1小题)

19.(2021秋•漂阳市期中)阅读理解：

对于(j+1)X+〃这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x3-(H2+1)x+n

=r3-n2x-x+n

=x(x2-n2)-(x-n)

=x(x+")(x-n)-(x-ri')

=(x-n)(.x1+nx-1)

理解运用：

如果4-(n2+l)x+n—O,那么(x-ri')(7+«%-1)—0,

即有x-w=0或-1=0.

因此，方程x-"=0和-1=0的所有解就是方程『-(j+1)》+〃=0的解.

解决问题：

求方程4-5x+2=0的解.

【分析】仿照题例，先变形方程，转化为一个一次方程和一个二次方程的形式，求解即

可.

【解答】解：方程4-5/2=0变形为/-(4+l)x+2=0,

.,.X3-4x-x+2=0.

(x3-4x)-(x-2)—0.

(x+2)(x-2)-(x-2)=0.

(x-2)(JT+2X-1)=0.

.,.x-2=0或JT+2X-1=0.

，X1=2,X2~~1+^2>X3=-1—y/2-

【点评】本题考查r解高次方程，看懂和理解题例，掌握一元二次方程的解法是解决本

题的关键.

一十五.无理方程(共1小题)

20.(2021秋•秦淮区期中)阅读解方程的途径.

方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想--转化，把未知转化为己知,

用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程.

(1)请用“转化”的数学思想，填写如图的空格.

'隼分解

（2）求方程，2x+3=x的解.

【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的两个根即可；

（2）通过方程两边平方，把无理方程转化为整式方程，利用一元二次方程的解法求解即

可.

【解答】解：（1）•••/+x-2=0,

Z.（x+2）（x-1）=0.

即x+2—O或x-1=0.

-2,X3=l.

故答案为：-2,1；

（2）两边平方，得2x+3=".

整理，得/-2%-3=0.

二（x-3）（x+1）=0.

・・X[=3,X2=-1.

经检验，X=-1是增根，舍去.

所以原方程的解为x=3.

【点评】本题考查了高次方程和无理方程，掌握转化的思想和一元二次方程的解法是解

决本题的关键.

一十六.一元二次方程的整数根与有理根（共1小题）

21.（2010秋•海淀区校级月考）已知关于x的方程心分2"+i）x-3=0

（1）若方程有两个有理数根，求整数k的值

（2）若k满足不等式16k+3>0,试讨论方程根的情况.

【分析】（1）方程有两根，则根据跟的判别式求出《的取值范围，然后根据两根都是有

理数，进而判断出整数人的值，

（2）分类讨论，当k=0时，方程是一元次方程，方程的根只有一个，当结合

不等式16k+3>0和跟的判别式等条件讨论出方程根的情况.

【解答】解：（1）若方程有两个有理数根，

则△=4（R1）2+1240,

解得k<三回或k>心产,

若一元二次方程有有理根，

则△=4（RI）2+12k是一个有理数的平方，

解得k=3或-5或-8,

（2）若:满足不等式16好3>0,

即A-W，

1O

①若上=0,方程履2+2a+1）X-3=0只有一个根，

②当kK0时，方程小+2（A+l）x-3=0为一元二次方程，

令△=4（&+1）2+12左=4正+20〃+4=0,

解得k=-5产,

乂知仁〉¥，

.•.当16k+3>0时，△>0,

二方程有两个根，

故当A=0时，方程有一个根，

当Jtwo,16k+3>0,时，方程有两个根.

【点评】本题主要考查一元二次方程的整数根与有理根的知识点，解答本题的关键是熟

练掌握一元二次方程根与系数的关系和跟的判别式的知识，此题有点难度.

©【过关检测】

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）下列说法正确的是（）

A.方程87-7=0的一次项系数为-7

B.一元二次方程的一般形式是小+公+。=0

C.当％=0时，方程依3x-1=/为一元二次方程

D.当“取所有实数时，关于x的方程（〃P+i）/-〃a-3=0为一元二次方程

【分析】根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数.依此即可求解.

【解答】解：A、方程8f-7=0的一次项系数为0,故选项错误；

B、一元二次方程的一般形式是“/+6x+c=0（&W0）,故选项错误；

C、当&-1W0,即ZW1时，方程fc?+3x-1=/为一元二次方程，故选项错误：

D、当，“取所有实数时，关于x的方程（〃?+1）/-m氏-3=（）为一元二次方程是正确的.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

2.（3分），"是方程/+x-1=0的根，则式子/+2机2+2014的值为（）

A.2014B.2015C.2016D.2017

（分析】把"?代入f+x-1=0得至m2+m-1=0,即in2+m=1＞把m2+m=1代入式子：

加+2,“2+2014,再将式子变形为（WAH”）+〃?2+20|4的形式，即可求出式子的值.

【解答】解：是方程』+x-1=0的根，

/.rn^+m-1=0,即rn1+m—1,

.\w3+2m2+2014=m（m2+m）+/n2+2014=w+w2+2014=1+2014=2015.

故选：B.

【点评】考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含

在题设中，首先应从题设中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式

的值.

3.（3分）用直接开平方法解方程（x-3）2=8,得方程的根为（）

A.x=3+2^2B.x=3-2^2C.x—3i2^3D.x=3i2^2

【分析】方程利用平方根的定义开方即可求出解.

【解答】解：方程开方得：x-3=±2&,

解得：XI=3+2721%2=3-2^/2，

故选：D.

【点评】此题考查了解一元二次方程-直接开方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的

关键.

4.（3分）用配方法解关于x的方程，+px+q=O时，此方程可变形为（）

A.（、+犷=9B.（》+犷=中

C（"犷=半D.（x—犷=呼

【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式,

右边化为常数.

【解答】解：,：x2+px+q^0

..厂+〃x=-q

...f+px+。=一什号

A（x+与）2=/

24

故选：B.

【点评】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2

的倍数.

5.（3分）若关于x的一元二次方程2，-3x-&=0的一个根为1,则另一个根为（）

17

A.2B._IC.-D.一

22

【分析】首先把X=1代入方程，即可求得k的值，代入火的值，解方程即可求得.

【解答】解：根据题意得：2X1-3X1-/=O

:.k=-I

二方程为：2xi-3x+\=0

解得：JC1—1,X2=

故选：C.

【点评】此题考查了方程解的定义.还应注意根与系数的关系的应用，解题时会更简单.

6.（3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）

A.7+1=0B./+4x-4=0C.x2+x+y=0D.?=0

42

【分析】直接利川根的判别式分别分析各选项，即可求得答案.

【解答】解：A、b=0,c—1.

二A=tr-4ac=02-4X1X1=-4<0,

此一元二次方程无实数根；

B、'.'a—1.b—4,c--4,

A=庐-4«c=42-4X1X(-4)=32>0,

此一元二次方程有两个不相等的实数根;

C、'."a=1,b=I.c—

4

△=hr-4ac=I2-4X1x=0,

此一元二次方程有两个相等的实数根；

D、a—1,b—~1»c=之，

A=房-4ac—（-1）2-4X1x1=—1<0,

此一元二次方程无实数根.

故选：C.

【点评】此题考查了根的判别式.注意△>00方程有两个不相等的实数根；A=0Q方

程有两个相等的实数根：A<（）Q方程没有实数根.

7.（3分）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，

每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（）

A.5人B.6AC.7人D.8人

【分析】易得每个同学都要送给其他同学，等量关系为：小组的人数X（小组人数-1）

=30,把相关数值代入计算即可.

【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人.

x（x-1）=30.

解得xi=6,X2=-5（不合题意，舍去），

故选:B.

【点评】考查一元二次方程的应用；得到礼物总件数的等量关系是解决本题的关键.

8.（3分）一元二次方程2?+6工=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.2,6,9B.6,2,9C.2,6,-9D.6,2,-9

【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可.

【解答】解：方程整理得：2X2+6X-9=0,

则二次项系数为2,一次项系数为6,常数项为-9.

故选：C.

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：a^+bx+c

=0（a,h,c是常数且a40）特别要注意的条件.这是在做题过程中容易忽视的

知识点.在一般形式中ar2叫二次项，hx叫一次项，c是常数项.其中a,b,。分别叫二

次项系数，一次项系数，常数项.

9.（3分）若x=1是一元二次方程/+2x+m=0的一个根，则机的值为（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【分析】把x=l代入方程/+2%+切=0,得出一个关于〃，的方程，求出方程的解即可.

【解答】解：把x=l代入方程/+2%+加=0得：1+2+/”=0,

解得：m—~3,

故选：C.

【点评】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解得应用，能得出关于，〃的方程

是解此题的关键.

10.（3分）下面结论错误的是（）

A.方程7+4X+5=0,贝！］XI+JQ=-4,XIX2=5

B.方程2?-3"机=0有实根，则加工£

O

C.方程7-8x+l=0可配方得（X-4）2=15

D.方程/+x-1=0两根加==逸，双=二室

【分析】A、根据根与系数的关系和根的判别式即可得到结论；8、由根的判别式即可得

到结论；C、把原方程配方后可得结果；。、解方程即可得到结论；

【解答】解：A、方程/+4x+5=0,•••△=42-4义5<0,则方程无实数根，此选项错误；

8、；方程2?-3工+，"=0有实根，.•.A=9-8，"20,.•.，”工?,此选项正确；

O

C、方程7-8x+l=0可配方得（x-4）2=15,此选项正确；

D、解方程/+x-1=0得刘=二1鬟，筮=匚三但，此选项正确；

故选：A.

【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，配方法解一元二次方程，公式法解

一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键.

二.填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）

11.（3分）（1）若（施-2）--2%+3=0是关于x的一元二次方程，则加的取值范围是m

W2.

（2）一元二次方程（ra+1）/+x+z«2-1=0有一个根为0,则/〃=1.

【分析】（1）直接根据一元二次方程的定义进行解答即可；

（2）将x=0代入方程即可求出，”的值.

【解答】解：⑴•.•方程（/n-2）?-2r+3=0是关于x的一元二次方程，

：.m-2^0,解得，"W2.

故答案为：mW2；

（2）将x=0代入（m+1）/+x+^2-1=0,

m1-1=0,

，加=1或ni=-1,

V/n+1^0,

♦•m=1,

故答案为：1.

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将尸0代入（，〃+1）/+》+"[2-1=0,

本题属于基础题型.

12.（3分）已知关于x的一元二次方程（x+1）2+加=0可以用直接开平方法求解，则m的

取值范围是mWO.

【分析】根据直接开平方法求解可得.

【解答】解：•••（x+l）2+,”=0,

（x+1）2=-m,

•.•方程（x+1）2+%=0可以用直接开平方法求解

20,

/."?<0.

故答案为

【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键.

13.（3分）若尤1=西一2是二次方程/+方+1=0的一个根，则a=4,该方程的另一

个根X2=—2.

【分析】根据根与系数的关系，根据两根之积，即可得到方程的另一根，再由两根之和

即可得出一个关于〃的方程，从而求得”的值.

【解答】解：设方程的另一个根为X2,

"：xi=百—2是二次方程/+以+1=0的一个根，

*"•Xi*x2=1>即（^3—2）x2=1>

•'•x2=~\/3—2，

/.xi+x2=-a,即值一2一0—2=—。，解得。=4,

故答案为4,--^3—2.

【点评】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，注意在解题时要重视解

题思路的逆向分析.

14.（3分）已知方程/-3x-1=0的两个根是xi,X2,则xi+%2=3,xi'X2=-1.

（xi-1）（%2-1）--3,x\-X2—_+\/13•

【分析】可以直接利用根与系数的关系，计算两根之积和两根之和，进而即可求得（XI

-1）（X2-I）和X]~X2的值.

【解答】解：•••方程/-3x-1=0的两个根是xi,g

.*.X|+X2=3,X\X2--1,

:.（XI-1）（X2-1）=X1X2-（X1+X2）+1=-1-3+1=-3,

XI-X2=±Jg+口2）2-4X/2=±\!9+4=±\^13.

故答案为：3,-1,-3,±^13-

【点评】本题考查的是一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系：

Xl+X2=-2X1X2=£得出是解题关键.

aa

15.（3分）某单位准备将院内一块长30米，宽20米的长方形空地建成一个矩形花园，要

求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草.如图所示，要

使种植花草的面积为532平方米，那么小道进出口的宽度应为1米.（注：所有小

道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

【分析】设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为（30-2x）米、

宽为（20-x）米的矩形的面积相等，根据种植花草的面积为532平方米，即可得出关于

x的一元二次方程，取其符合题意的值即可得出小道进出口的宽度.

【解答】解：设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为（30-2%）

米、宽为（20-x）米的矩形的面积相等，

依题意得：（30-2x）（20-x）=532,

整理得：x2-35x+34=0,

解得：xi=l,X2=34.

当x=l时，30-2x=3