华东师大初中数学中考冲刺数形结合问题-知识讲解(提高)

中考冲刺数形结合问—知识讲解（高）【考望1.用数形结合的思想解题可分两:(1)利用几何图形的直观性表示数的问,常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问,常需要建立方(组或建立函数关系式等2.热内容：在初中教材中的常见表现形式:实数式数和不等式等形常见表现形式为:直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理.在直角坐标系下，一次数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得最充分体.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的点等都与其系数a，，密不可分事实上，数a决抛物线的开口方,与a一起定抛物线的称轴位置,c决了抛物线与y轴交点位置，与a、一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、的大变.【法拨数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问,它包含“以形助数”和“以数解形两个方.利用它可使复杂问题简单,抽象问题具体,它有“数的严谨”与“形的直观”之,是优化解题过程的重要途径之,是种基本的数学方.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐系中的几何问题简坐标几何问)以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结.尤其要注意是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数思想方法，能更有效地解决问题．【型题类一利用形合究字变规1.如，网格中的每个四边形都菱形．如果格点三角形的面积为，按照如图所示方式得到的格点三角形AB的积是7S格点三角形A的积是19，那么格点三角形AB的面积为（）A.39SB.36SC.37SD.43S

【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC面积为S则小菱形的面积为2S；图上观可知三角形ABC三个点分别边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两点在与前一顶点不相连的两边上，三角形AB三顶点分别在边长为2n+1）个单位的菱形的内部，菱形与三角形ABC不合的部分为个小三角形此得到关于三角形ABC面公式把n=3代入可求出三角形ABC的积．【答案C.【解析】网络中每个小菱形的边为一个单位，由于ABC的面为S，则小菱形的面积为2S；从上观察可知三角形ABC三顶点分在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形AB三点分别在边长为2n+1个位的菱形的内部，此形与三角形ABC不重的部分为三小三角形；而三角形ABC面积边为个位的菱形面三个(2nssns小三角形面积=（2n+1）-,22=S（8n+8n+2-2n-n-2n-3n-1-n-n=S（3n+3n+1把分代入上式得S=S（3×3+3×3+1=37S．故选C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的力．举反:【变潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x1与x轴交于点A，如图所示依次作正方形1ABO正方形ABC…、正方形ABCC，得点AAA…在直线l上点、C、1122nn12C、在轴正半轴上，则点B的标是．3

n1n1122n1n11223n【答案，2﹣）【解析解：∵﹣与x交于点A，1∴A点标（1，01∵四边形ABCO是方形，11∴坐标（1，11∵A∥轴，1∴A坐（2，2∵四边形ABC是正方形，221∴坐标（2，32∵A∥轴，2∴A坐（4，3∵四边形ABC是正方形，332∴，73∵1

0

，2﹣1B（2，2

﹣（23

，2﹣，∴坐标（，﹣1n类二、利用形合决与的题2.已实数a在数上的位置如图所示，则化|2-a|+的果为__________.【思路点拨】由数轴可知0＜＜，此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵＜＜，∴=2-a+a=2.故答案为：．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴的点的位置来判断数a的值范围根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类三利数结解代式恒变问3.(1)在长为a的方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形把余下的部分沿虚线剪开成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式__________________（字母表示

（）直角三角形的直角边分别是，，斜边为，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正形，验证等式a+b=c成。【思路点拨】(1)根据阴影部分的面积相等，可得到公式；(2)直角三角形的直角边分别是a，斜边为，这样的4个三角形，即可拼成正方形，据此即可到．【答案与解析】解）-b=（a-b（）证：利用面积公式可得正方形的面积是c，正方形的面积是四个直角三角形的面积加上里面较小的正方形的面积（-2ab+b）+b，a+b=c．【总结升华】

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（=2ab+本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．类四利数结思解极问4.我们曾学过“两点之间线段最”的知识可利用它来解决两条线段和最小的相关问题面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，在直l的一侧，在上求一点，使得PA+PB最．我们只要作点B关于l的称点B图2示）根据对称性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP小就相当于求AP+PB′最小，显然A、、B在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB′，与线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（）图3，正方形ABCD的边为，的中点PBD上动点．连接EP，，EP+CP的最小值是_______；运用：（）图4，平面直角坐标系中三点（644，（，x轴找一点D，得四边形的长最小，则点D的标应该_____________.

操作：（）图5，A是角内任意一点，在MON两边OMON上各作一点B，，成△ABC，使△ABC周最小写作法，保留作图痕迹.【思路点拨】(1)由正方形的性质可得点A是关于BD的对点，连接，则AE就EP+CP的小值；(2)找点C关轴的称点C，连接AC′则AC与轴的交点即为点D的位，先求出直AC′的解析式，继而可得出点D的标(3)分别作点A关OM的称点A′关于ON的称点A，连接A″，则A′A″与OM交点点B的置，与ON交为C的置．【答案与解析】解）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的小=AE=

5

；（）点C关x轴对称点C′连接AC，则AC与的交点即为点D的位置，∵点C′坐标为（，-2A坐标6，∴直线′A的解析式为y=x-2故点D的标为（，（）别作点A关OM的对称A′、关于ON对称点″，连接A″，则′A″与OM交为点B的置，与ON交点C的置；如图所示：点B、即所求作的点．

22222222222222【总结升华】此题考查了利用轴对称求解最短路径的问题，求解模式题意已经给出，注意仔细理解，灵活运题目所给的信息．类五利数结思，决数题高课：形合题资编：

经例15.（仙游县二模）已知，在平面直角坐标系中点A的坐标为0，P）是抛物线

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上的一个动点．（1①图1过动点作⊥轴，垂足为B连接，求证PA=PB；②如2，设C的标为（，5接PC是存在最小值如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3过动点和点O作线交抛线于另一点D若AP=2AD求直线OP解析式．【思路点拨（mn得出+1根据A（02出m+1可证出；②过P作⊥轴于B，由PA=PB得要使小，只需当，，共时即可，再根据点的横坐标等于点C，5）的横坐标，即可得出答案；（2）作DEx轴于E，作⊥于F，先得出，根据

==，得出设P（，则D（，m据+（），出，从而得出点的标，最后代入求解即可．【答案与解析】解）设（m，n）∴，∵PB⊥轴∴PB=，∵A0，2∴m∴PB=PA②过P作⊥轴于B，由（1）得，所以要使小，只需当BP+CP最，因此当，，B共时取得，

22221222222122此时点的坐标等于点（，）的横坐标，所以点的标为（2，2（2）如图，作DE⊥x轴，作PF⊥x轴，由（）得：DA=DEPA=PF∵，∴PF=2DE∵△∽△OPF，∴

==，设（，D，m）∵点D在抛物y=x+1上，∴+=（m+1，解得m=∴（（

，，3线的析式为y=，3直线的析为﹣

x，x，综上所求，所求直线OP的析式为

x或﹣

x．【总结升华】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理，关是根据题意做出辅助线，列出算式，注意分类讨论思想的运用．举反:高课：形合题资编：416971典题2【变】在面直角坐标系xOy，抛物线

的顶点为，直线y，P2的一个动点，过点P作轴垂线分别交抛物线2和线yx于点A，点B.（）接写出A，B两点坐标（用含的数式表示⑵设线段AB的为，关函数关系式及的小值，并直接写出此时线段OB与段PM的位置关系和数量关系；

(3)已知二次函数y

，b，为数且切实数x恒有≤y≤2x

，求，b，c的值.【答案】解：(1)

A

1)4

，Bn.(2)d=AB=yy=AB

2

14

.∴=

1n)2

=

12(48

.∴当n

时，

取得最小值.当d最小值时，线段OB与线段PM的置关系和数量关系是OB⊥PM且如图y1

11

x(3)∵一切实数恒≤y≤

，∴对一切实数，xax

bx≤2

都成立(a)①当时①式化为≤c≤

.∴整数的为0.此时，对一切实数x，

≤

2x

14

都成立(a)即

2bx2bx

14

②③