重庆某大学信号与系统考研笔记

重庆邮电大学信号与系统知识点总结讲义(杨晓非版)

第一章

1.信号的定义

2.信号的描述形式

时域f数学表达式：f(t)频域(数学表达式：F如)复频域fF(s)“

।•波形〔频谱I零极点图，

3.信号的分类•

《连续，

I离散(t的取值是否连续)”

连续信号的分类,，

｛周期f(t)=f(t+nT)/时限信号“

〔非周期〔非时限信号(t的取值范围是否有界1

｛因果信号f(t)=Ot<0f能量信号0<E<8p

I反因果信号

f(t)=Ot>0功率信号0<p<coP

I能助威信号E,P均趋于无穷.，

4.常用信号

(1)直流信号f(t)=A

(2)正弦信号f(t)=Asin(wt+4))

⑶指数信号")=ke"(a为实数)

/(t)=ke"

(4)复指数信号(a为复数)

5喇=迪

(5)抽样信号t特点：a.t=0时函数值为1；

b.t=k%时函数值为0,k*0；

c.偶函数；

d.t趋于无穷时，函数值趋于0.

一组常用公式

jfl,jat

..e+e'

ejat=cos(zat)+jsin(a)cos(eyt)=---------

e76a=cos(dX)-jsin(洲sin(蜀=.....——

奇异信号

1.单位阶跃信号

u(t)=1t>0

0t<0单边特性(门函数，窗函数，函数的正轴部分的

表示)

(2)单位冲激函数

「S(f)dt=1,且<5(t)=0,/h0，

性质：/(t)6(t)=f(0)5(t)“

[〃t)奥/族=/虱)。

〃t)*at)=f(t)p

刎=徵

关于6①的复合函数：P

力⑺司错避”2的解

(3)单位冲激偶

6®=侬，

dt

性质:S(t)=C

「S(t)dt=0〃

〃t)6'(t)=KO)S(t)-f'(o)典)

[/(t)5'(t)dt=-f(0).，

⑷符号函数

Sm(t)=<1t>0”

lot<o*-'

sgn①=u①-u(-t)=2u(t)-1

⑸单位斜变函数

/(t)=tu(t)”

皿j(t)幽—理=s(t)

dtdtdt

5.信号的运算

信号自变量的变换：时移f(t)—-f(t-»o)

反褶f(t)----f(-t)

尺度变换f(t)--f(at)

信号的整体运算：乘常数Af(t)

叭t)

微分出突出

变化快的部分

积

分使信号变得平滑

两信号之间的运算：相加/(t)+f2(t)

相

乘工①为①调制，抽样

6.信号的分解

⑴/(t)=fD(t)+fA(t)直流+交流

为了①的平均值，，①=地)公①

(2)对实信号而言/(t)=fe(t)+f0(t)

，加中

其中

)/(t)=fV(r)<5(t-r)dr

(3用冲激函数表示

仆)=40)啕+「蛔42/7

如果f(t)为因果信号,,°at用阶

跃函数表示

(4)对于复函数而言

力①="x如誓®

其中

⑸正交函数分量

傅里叶级数，傅里叶变换

7.系统的定义

8.系统模型的定义以及描述

描述数学表达式

图形方框图

信号流图

9.系统的分类

(1)线性系统的定义以及判别方法

定义：同时具有叠加性、齐次性

当鼠⑹二勺①，7卜。)]=々(。时，

若丁卜％(t)+c2e2(t)]=c近(t)+cm(t),则系统为线性系

统

判定方法：根据定义

(2)时不变系统的定义及判别方法

定义：响应与激励施加到系统的时刻无关

若T[at)]=«t)时，有r[e(t-t0)]=r(t-t0)

则系统为时不变系统

判别方法：根据定义

(3)因果系统的定义及判别方法

定义：系统在‘。时刻的响应只与‘。时刻及之前的激励有关，即响应

出现在激励之后

判别方法：a.定义

b.若系统为线性时不变系统(LTIS),则它是

因果系统的冲要条件为

}①=04<0

(4)稳定系统的定义及判别方法

定义：有界输入有界输出BIBO

若卜(说士有其匕则系统为稳定系统

判别方法：a.定义

b.对于线性时不变系统(LTIS),

①系统稳定的充要条件为：1」蛆)|“<8.

②若系统为因果系统，则其稳定的条件为：系统函数的极点全部在S域的左半平

面

③若系统为因果系统且状态方程已知，则其稳定的条件为：系数矩阵A的特征值

全部在S域左半平面

c.根据h(t)在t趋于无穷时的情况判定:

Em*t)=0，

①稳定系统WOD

②临界稳定系统配卜①:是非0常数或

者呈等幅振荡

幺士八

土口口

H(s)极点位置考虑

Kmh(()=8

③不稳定系统loo

结论：稳定性是系统自身的性质之一，与激励信号的情况无关

10.线性时不变系统的性质

线性特性f叠加性Tk(t)+e2(t)]=八①+r?(t)

、西雄几阳t)]=5t).

时不变特性T[e(t-t0)]=r(t-10)。

微分特性7[等]=等，

积分特性T\『e(r)dr=fr(r)dr^

L^-00J--30

若系统为因果系统，则有f若rS4时，e(f)=0

、则fW%时，r(t)=O

第二章连续时间系统的时域分析

一、根据电路建立输入输出方程

二、求解微分方程求系统的全响应

/零输入响应2。)(自由响应/瞬态响应。

〔零状态响应公①〔强迫响应I稳态响应，

三、零输入响应的求解

四、零状态响应的求解分①=«t)*h(t)

五、系统的单位冲激响应和阶跃响应

l.h(t)g(t)

4)-Mt)=h(t)

4)=U(t)T7(t)=g(t)

2.计算h(t)

a.根据微分方程求h(t)

b%①=z1[ff(s)]=F1

C.由定义确定

3.h(t)的应用

a.H(s)=£[*t)]=F[h(t)]

b.利用h⑴可以判断线性时不变系统(LTIS)的因果特性及其稳定性

c.利用h⑴可以判断系统是否可逆

右O阳曲)，则系统是可逆的，且%«)表示逆系统的冲击响应

4.h⑴与g(t)的关系

g)=幽.

dt

六、卷积积分

1.定义

句①*x?(t)=1xi(r)x2(t-r)dr=y(t)

2.性质

交换律工①*f2①=f2①*①，

分配率力⑴*伉①+fm(t)]=Z(t)*f2(t)+女)*f《)

/l

并联系统(O=h1(t)+h2(t)

结合律Z(t)*k2(t)*f3(t)J=7；(t)*f2(t)*f,(t)

级联系统〃(t)=hi(t)*h2(t)

微分性质

dd

—k(0*X2(t)]=—X1(t)*x2(t)=X](t)*gw(t)

.E(W=[X«)d7*%(t)

^l(t)*X2(t)=—^(t)*

积分性质出

微积分性质联合使用

ddrtd

巧①*x，(t)=N"x式.力式.丁跑

「一x(r)dr=x(t)=Hmx0)=0

使用条件工ODdpt-KD

x

时移性质若i(0*x2(t)=y(t)(则Xi(t-ti)*x2(t-tD=y(t-ti-t。

与电))"①>5①的卷积

x(t)*<5(0=x(t)x(t)*u(t)=[x(r)dix①*6(t)=x①

七、起始点的跳变(从状态到°+状态)

1.定义

0一状态卜(0一)」(0)…产)(0)卜

0+状态卜0.)二(0)…产)(0.)上

2.判断有无跳变

a.根据电路

b.已知微分方程

第三章傅里叶变换

一、周期信号的傅里叶级数

1.数学形式

30

a三角函数形式/①=a0+二[见cosCn^t)+bflsin(n0t)]‘

b.指数函数形式

f(t)=£F*，叼工」尸y(t)e

其中成为傅里叶级数系数

2.周期信号频谱的特点

离散性、谐波性、收敛性

3.周期信号的对称特性和它的傅里叶级数系数之间的关系

/(t)=f(t±I)/(t)=-f(t±I)

注：奇谐函数偶谐函数

f(t)傅氏级数系数不包含分量

偶函数勾=°正弦函数分量

奇函数=0=a0直流分量、余弦函数分量

偶谐函数%=&=°(k为奇数)基波分量、奇次谐波分量

奇谐函数%=%="=°(k为偶数)直流分量、偶次谐波分量

二、非周期信号的傅里叶变换

尸3)=广

J-CD

/(t)—「

i.定义?兀JR

其中F(W)一般为复函数点—题曲幅度谱

次/)--©相位谱

F(0)=R(©)+jX(©)，

当f(t)为实函数时，I尸(0)1与&3)均为0的偶函数，

火。)与X3)均为⑦的奇函数.

a.常用非周期信号的傅里叶变换"

<5(t)f1e\(t)f---(a>0)“

jo+a

〃①->北员①)+—EG2_3-»2EzSa(0T)v

j。

1->2nS®-j冗Sgn(⑼尸

t

Sgn(lL)—>=2

J©

b.常用周期信号的傅里叶变换

/引-»2疝5(0-。

cos(fi?0t)f7l\5(fi)+a。)+况0-00)]2

sin(gt)->j讨仇©+/)-5(4y-/小

8In-2%

a⑴=Z5(t-nT)->〒艺/®-!!〒)。

c.一般周期信号的傅里叶变换

88,271

/①=2，o(t-nT)—>2TT其中®i=亍"

-fl—oon—on"

Fn=ifj/(t)e-^=i^(^)Lnu,其中加t)fF。Q)

2.傅里叶变换的性质

线性性质

时移性质外-城一尸(0-必

频移性质/(比阿，7尸3-00”

/(tXos(d?0t)t；固0+g)+F(<y-g)>

/(t)sin(6°t)-j[尸(0+&o)-F(0-g)]p

反褶1T(-t)fF(sA

尺度变换/(at)->i~7F(—\a*0)*,

lala

对称特性若"t)7F3),则有F(r)f2叭-⑼，

奇偶虚实性若f(t)为实函数，且/①—F3),则有.，

/Gt）TF（@）=F.（0），

/（0尸3），

实偶函数实偶函数~

实奇函数虚奇函数，

虚偶函数虚偶函数。

虚奇函数实奇函数。

时域微分特性4/①fj0F(0)，

dt

时域积分特性『/(r)drf或0)6(©)+华。

—JG

领域微分性质-j#(t)t—F3A

d。

(-«)")->工厂(⑼2

do)n

卷积定理1/；①*f2①—耳(0*2(e)。

力僦式t)f々耳3)*用®A

ITT

第五章傅里叶变换的应用

X询

一、系统函数E(jo)

1定义：4)=eR-H[j*-r(t)=e(t)*h(t)=h(t)*e(t)

2.物理意义：

=「%)e(t-r)dr=广/玲eE*：'=/叫"网行"如=碗/把」婚

J-QOJ*O0J-go

=广^(r)e(t-r)dr=「h(T)eio^)=/引「h(T)e'io^di=〃。/纭网、

艮8J^DJ«CD

3.求法：

⑴从H(s),因果稳定系统，成所股底

⑵从h(t),^G«)=F[h(t)]

二、体统物理可实现条件

1.时域h(t)=°,t<0充要条件

2.频域佩利维纳准则L1+0，必要条件

三、无失真传输条件和理想低通滤波器

1.信号失真(幅度失真，相位失真)

2.无失真传输

(1)含义：系统的响应与激励相比，只有幅度大小和出现时间上有所不

同，波形形状没有变化。

⑵条件：时域：妁)=女贝也)，k与％均为常数

频域：H(j©)=ke，"：O|/f(jty)|=匕或@)=-toty，

3.理想低通滤波器

(1)定义：

H(ja))=产，。网4叫

100>a)c

(2)理想低通的h(t)

h(t)=F】E(jo)]=~M(t-t。)]

(3)单位阶跃响应

g(t)=f'h(r)dr

%上升时间

171

0c四、信号的抽样与抽样定理

1.抽样的概念

t。

P(t)抽样脉神：理想抽样，矩形脉冲抽样

2.理想抽样

£(t)=f(g①=f(t)i^t-nl)=典-nl)

QDJl-8

1CD271

月3)=〒汇F®-n0s),其中吗=学，

3.矩形脉冲抽样

P(t)周期矩形脉冲信号

久3)=导火s«字)F3-叫)

4.抽样定理

以期=2北奈奎斯特频率

T=-^—

Taax3公

2人奈奎斯特间隔

五、调制与解调

调制

旗t)—>®—>r(t)=e(t)cos(6y0t)♦

cos(4t)v

r(t)f8f低通Ty(t)=e(t).

j

解调cos(ty0t)«

第四章拉普拉斯变换系统的S域分析

・拉氏变换

1.单边拉氏变换的定义

2.拉氏变换的收敛域，使F(s)存在的。的取值范围

3.常用函数的拉氏变换

5(t)ol「《)—」一+，

s+a

6"(t)<->snsin(a)u(t)c)°.

s+"

〃①<->-cos(tyt)u(t)<->—~~7

ss

1®1

M。一万Z<5(t-nD-~~开

sAO1-e

若①一Fo(s),则ff°(t-nT)-"

ii-o1-e

4.拉式逆变换的计算

5.拉氏变换的性质

二、线性系统的S域分析

1.电路元件的S域模型

R,L,C,级联及并联两种模式

2.系统的S域分析

(1)分别求系统的

〜⑴和r2s(t)

1

r2,(t)=L[£(s)H(s)]

(2)用拉氏变换求解微分方程

(3)根据电路的S域模型写S域方程，求响应

三、系统函数H(s)

1.定义0状态响应

2.H(s)的求法

(2)由电路S域模型按定义求

(3)由微分方程两端取拉式变换

(4)由系统框图计算

(5)由信号流图计算

(6)由状态方程求

3.H(s)的一般形式及零极点图

n(s-Sj)

H(s)二矛-二4年-----

n(s-sk)

t.oK4

4.H(s)的应用

⑴由H(s)求h(t)=L[[H(s)]

r(t)=L1[J?(S)]=r[E(5)^(s)]

(2)对给定输入计算a2S

(3)根据H(s)的极坐标确定自由响应的函数形式

(4)分析H(s)的极点(决定形式)，零点(决定幅度和相位)分布对h(t)的影响

⑸由H(s)的极点分布分析系统的稳定性

(6)根据系统函数H(s)写出微分方程

(7)根据系统函数求因果稳定系统的

(8)根据H(s)求系统的稳态响应

第十二章状态变量分析

一、状态方程的列写

1.由电路图列写

2.由系统框图或信号流图列写

3.由系统的微分方程列写

二、状态方程的求解

1.用拉普拉斯变换法求解

2.由状态方程求系统函数H(s)

3.由状态方程确定系统的自然频率，也就是H(s)的极点，计算特征方程的根

三、可控性和可观性

1.可控性与可观性的定义

2.可控性与可观性的判断

到这里信号与系统的知识梳理就告一段落了，由于复习指引不能像课本

一样详尽，所以请同学们在掌握知识点的同时要适当的做一些习题，以进一步理

解各个知识点，深入的体会知识点与题目之间的结合。今后我们将主要进行针对

考研真题不同题型的复习，也就是横向的复习，希望大家能够在复习的过程中得

到更大的提高。

复习指引(5)

各位同学大家好，从这次的复习指引开始，我们将根据考研专业课的真题重点进行知识点的

讲解，有些知识点可能不会涉及到，但是这并不意味着它们不重要，希望大家以复习指引为

线索，注意自己复习的全面性。

一、关于能量信号与功率信号

在一定时间间隔里，把电阻施加在一电阻负载上，负载中就消耗一定的信号能量。若电阻取

归一化值为1Q，则信号的能量则为信号的平方值在该时间间隔上的积分，把这能量值对

于该时间间隔取平均值，即可得到在此时间内的信号的平均功率。

现在令时间间隔趋于无限大，则：

1.若信号总能量为有限值，平均功率为0,称其为能量信号，其能量

£=P

2.若信号平均功率为有限值，总能量为无限大，称其为功率信号，其平均功率

一般的，周期信号都是功率信号。

非周期信号：a.持续时间有限，则为能量信号。

b.持续时间无限但幅度有限，则为功率信号。

c.持续时间无限旦幅度无限的，既不是能量信号，也不是功率信号

二、关于线性与非线性

线性:若叫«)—“)与⑺―々⑺

则俯。1⑺+如S-＞卬⑺1+玲々⑺

判断方法：将«。=占八⑴+&々⑺代入系统微分方程左边，

或。=发用(。+&/S代入右边，

检验两边是否相等，相等即为线性，否则为非线性。

在解题时，对于同一系统的不同输入，2是不变的，而〜具有线性。

三、关于时变与时不变

时不变：若鼠。-“)

则而一切―

判断方法：在实际中，参数不随时间变化的系统，其微分方程的系数全部是常数，即恒定参

数系统(定常系统)是时不变系统。

四、关于因过于非因果

因果性：输出由输入引起，输出不能领先于输入。

因果系统：任何时刻的输出仅仅决定于现在与过去的输入，与将来的输入无关。

捌ma=「x(0di,y(0=x(r-l)

例：因果：J-8

非因果：=£_取7+1)"'=［「式7)"7，)'S=H'+1)

五、关于微分方程的解(经典解法)

完全解=齐次解+特解

完全响应=自由响应+受迫响应

A.齐次解乙«)的求解

(1)写出齐次方程，即令系统微分方程右端激励X。及各阶导数为0。

%3+q——rr(0+……+CM—r(r)+CjS=o.

atatat

(2)写出特征方程

n

coa+qaz+....+c^a+8=0

(3)求解上面方程的特征根：aXsa2,...,aK

(4)根据特征根写出齐次解

a.对于每一单根给出一项c*

asiat

b.对于k重实根尤=%，给出k项Ci*+c2te-+...+ckf-e-.

C.对于一对单复根4.2=々±/尸，给出两项。逐/850+。2。=5山4

d.对于一对m重复根4.2=a±j(3,给出2m项

aIatn1

qc"cosj3t+c2etcos/3t+...+cmet'cosfit

Jmrxat

+4。"sin"+d?fe"sinfit+...t-dnt'esinfit

B.特解⑺的求解

(1)根据激励的形式写出特解。⑦

(2)将小«)与分别代入方程左右两边，对应次基系数相等，即可确定

a.若破，)=后，可设=B

b,若e(r)=",可设.芍⑺=4"+82rz+…+Bpf+3声/

c.若数/)=龈，则①a不是特征根时，可设/⑺=&"

②a是特征单根时，可设

③a是k重特征根时，可设弓«)=血＞”

&若e(f)=cos(ai^eit)=sincott可设72(f)=BxcosM+殳sinat

e若Mr)=*(8icos"+%sin⑶则

rcos

①a±不是特征根时，可设P(0=夕+%sinfit)

②。士•/£是特征单根时，可设？＞(f)=M"(&cos£t+&sin4)

C.完全解

完全解〃«)=弓(。+唯(。，其中中的待定系数应在完全解中由给定的附加初始

条件确定。

(1)若0点无跳变，N0+)=r(0-),直接用已知r(0_)即可。

(2)若0点有跳变，需先求出N。一)，注意此处与。式°+)不相同，不可混用。

六、关于零输入响应与零状态响应

A.零输入响应-'«)

在零输入条件下，微分方程右边为0,为齐次方程。故零输入响应由该方程的齐次解得到,

齐次解中的待定系数由给定的初始条件在齐次解中直接确定。

由于输入为0,故0点无跳变，

B.零状态响应

初始状态为零而输入不为零的条件下，微分方程仍是非齐次方程，故零状态响应由方程

的全解得到，其中齐次解的系数应由。式01对全解中确定。

由于初始状态为0,故为（°-）=°,与>（°-）无关。

若0点无跳变，则）（0+）=之（°-）=°；若0点有跳变，则先确定右（°-）,再计算

系数。

对于线性时不变系统，弓⑺=坂。*。⑺=血）*帖）

七、关于零状态响应与全响应

二者均是由微分方程的完全解得到，所不同的是确定待定系数时所用的条件之（°+）与

厂（0一）不同。这是由于々式°-）恒为0,而N0-）由系统决定。这二者的区别不容易理解也

容易忘记，所以大家一定要理解透彻，可以参照课本的例题去理解，详见郑君里版《信号与

系统》例2-5,例2-6,例2-8o

八、关于初始条件的确定

A.冲激函数匹配法（解题速度快）

B.奇异函数平衡法（容易理解上手快）

这两种方法书上都有相应例题，要求大家必须掌握至少一种方法。

九、关于冲击响应

以单位冲激信号6（f）作为输入的零状态响应，记为卜⑦。

由于5⑺及其各阶导数在1>0IH寸都为o,因此在1>0n，方程右边恒为0,故〃⑺

在4>0时的模式与齐次解相同，所以求冲激响应坂。的问题就转化为：a.求‘=°-时的

初始条件；

b.求初始条件下的齐次解。（特解为0）

十、关于阶跃响应

以单位阶跃信号"（,）作为输入的零状态响应。

求法：a.以传统方法求零状态响应。（特解不为0）

b.对坂。求积分。

一、关于周期信号的傅里叶级数

C3

A.三角形式(/«)周期为T,角频率T)

/(0="+为扇cos(nQf)+bKsin(=§+火4cos(«Qf+<pj

幺n-1幺n-1

七.I2(4+7

其中，an=—\f(t)cos(nQi)dt=Ancos(pna

2,4+7

bn=—\f(f)sin(=4sin0“。

T"L

2r“r

fSdtQ

1f

(pn=-arctanl2A

%

B.三角形式中的幅度谱和相位谱

(1)振幅44是频率"C的偶函数，4对"C的关系绘成频谱图即为幅度频谱。

⑵相位%是频率％ci的奇函数，外对“ci的关系绘成频谱图即为相位频谱。

C.指数形式

/(0=泉”/叫

.a_®

其巾，分=4,打/«”-加生“

D.指数形式中的幅度谱和相位谱

将c.写成如下形式,或=卜/外，贝卜

L|T〃Q即为幅度频谱，，

q的虚部

%f肛Q即为相位频谱,其中外=arctan

J的实部

E.三角形式与指数形式的关系，

co=y匕I=以|=g4G=g4/。”

%=-A)c-n=+AA

二、关于对称性

A.偶函数/⑺=/(T)~

4

a=-'cos5d技。

n1

勾=0

外=°

B.奇函数/(0=-/(_0p

%=a“=0p

b”=:5/(Osin(nQi)dt+，

n

(PK=--^

c.奇谐函数/(o=-/a±|)^

只含有基波分量和奇次谐波分量~

D.偶谐函数/(0=/(/±^).'

只含有直流分量和偶次荔波分量“

三、关于周期信号的频谱

A.特点

离散性、谐波性(谱线只出现在基波频率。的整数倍频率上)、收敛性

B.周期矩形脉冲的频谱

脉冲幅度为A,脉冲宽度为丁，重复周期为T,则

C3

(1)由谐波性可知，相邻谱线间隔即为基波频率T

八、/(O=音+——LS"^—)cosSQz)=­2.Sa(——)eJ

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