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文档简介
第一章三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)推广角的概念、引入大于360。角和负角;(2)理解并掌握正角、负
角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与a角
终边相同的角(包括a角)的表示方法;(5)树立运动变化观点,深刻理解
推广后的角的概念;(6)揭示知识背景,引发学生学习兴趣.(7)创设问
题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.
2、过程与方法
通过创设情境:“转体720",逆(顺)时针旋转”,角有大于360。角、零
角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概
念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概
念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置,
找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,
巩固练习.
3、情态与价值
通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、
负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相
同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物.
二、教学重、难点
重点:理解加角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法.
难点:终边相同的角的表示.
三、学法与教学用具
之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和
观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境
中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.
我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.
另外还有相同终边角的集合的表示等.
教学用具:电脑、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了
1.25
小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度?
[取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向
旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于
0。〜360之间,这正是我们这节课要研究的主要内容一一任意角.
【探究新知】
1.初中时,我们已学习了0°~360。角的概念,它是如何定义的呢?
[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另
一个位置所成的图形.如图LIT,一条射线由原来的位置OA,绕着它的端
点。按逆时针方向旋转到终止位置就形成角a.旋转开始时的射线3
叫做角的始边,叫终边,射线的端点。叫做叫c的顶点.
2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到
这样的术语:“转体720°”(即转体2周),“转体1080°”(即转体3周)等,
都是遇到大于360。的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能
否再举出几个现实生活中“大于360。的角或按不同方向旋转而成的角”的例
子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?
[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,
这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见,我们规定:按
逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positiveangle),按顺时针方向旋转所
形成的角叫负角(negativeangle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称
它形成了一个零角(zeroangle).
[展示课件]如教材图LL3(1)中的角是一个正角,它等于750°;图
1.1.3(2)中,正角夕=210。,负角£=-150。,/=-660。;这样,我们就把角的概
念推广到了任意角(anyangle),包括正角、负角和零角.为了简单起见,
在不引起混淆的前提下,“角。”或“Na”可简记为a.
3.在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了
解象限角这个概念.
角的顶点与原点重合,角的始边与“轴的非负半轴重合。那么,角的终
边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角(quadrantangle).
如教材图1.1-4中的30。角、-210。角分别是第一象限角和第三象限角.要特
别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称
为非象限角.
4.[展示投影]练习:
(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直
角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么7A(ZwZ)天后的那一天是星期几?
7Z(ZeZ)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一
的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线0B(如图
1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么
关系?请结合4.(2)口答加以分析.
[展示课件]不难发现,在教材图L1-5中,如果-32。的终边是。8,那么
328°,-392°角的终边都是05,而328°=-32°+1x360°,-392°=-32°+(-1)x360".
设S={0尸=-32°+人360°,%eZ},则3280,-392°角都是S的元素,-32°角也是
S的元素.因此所有与-32°角终边相同的角,连同-32。角在内,都是集合S的
元素;反过来,集合S的任一元素显然与-32。角终边相同.
一般地,我们有:所有与角a终边相同的角,连同角c在内,可构成一个
集合
S={£|£=a+人360°#eZ},即任一与角a终边相同的角,都可以表示成角a
与整数个周角的和.
6.[展示投影]例题讲评
例1.例1在0°~360°范围内,找出与一950。⑵角终边相同的角,并判定
它是第几象限角.(注:00—360"是指0"W/<360,)
例2.写出终边在y轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式
-360°<a
<720°的元素夕写出来.
7.[展示投影]练习
教材《第3、4、5题.
注意:(1)jteZ;(2)a是任意角(正角、负角、零角);(3)终边
相同的角不一定相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数
多个,它们相差360。的整数倍.
8.学习小结
(1)你知道角是如何推广的吗?
(2)象限角是如何定义的呢?
(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、
直
线y=x上的角的集合.
五、评价设计
1.作业:习题1.1A组第1,2,3题.
2.多举出一些日常生活中的“大于360。的角和负角”的例子,熟练掌
握他们的表示,
进一步理解具有相同终边的角的特点.
1.1任意角和弧度制
1.1.2弧度制
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌
握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制
与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6)使
学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方
法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定
义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积
公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习,使同学们掌握另一种度量角的单位制--弧度制,理
解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而
不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集
R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的
弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等
于这个实数的角)与它对应,为下一节学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点
重点:理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换
算;弧度制的运用.
难点:理解弧度制定义,弧度制的运用.
三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中,知道角的度量是用角度制,但是为了以后的
学习,我们引入了弧度制的概念,我们一定要准确理解弧度制的定义,在
理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:计算器、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
有人问:海口到三亚有多远时,有人回答约250公里,但也有人回答
约160英里,请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里)
显然,两种回答都是正确的,但为什么会有不同的数值呢?那是因为
所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制.他们的长度单位是不
同的,但是,他们之间可以换算:1英里=1.6公里.
在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制,我们已经不再
陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制一-弧度制.
【探究新知】
1.角度制规定:将一个圆周分成360份,每一份叫做1度,故一周等
于360度,平角等于180度,直角等于90度等等.
弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直
角等于多少弧度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本《~鸟,自行解
决上述问题.
2.弧度制的定义
[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作
Irad,或1弧度,或1(单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角a的终边与x轴的正
半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点儿请完成表格.
y
J
弧AB的08旋转的方ZAOB的弧度ZAOB的度
长向数数
71Y
逆时针方向1
21r
逆时针方向
r1
2r-2
一兀
0
180c
180c
我们知道,角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-
n,-2n等等,一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个
负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为r的圆的圆心角a所对的弧长是/,那么a的弧
度数是多少?
角a的弧度数的绝对值是:同=,,其中,1是圆心角所对的弧长,「是
半径.
5.根据探究中180°=wad填空:
1'=__rad,\rad=___度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
6.例题讲解
例1.按照下列要求,把67。30'化成弧度:
(1)精确值;
(2)精确到0.001的近似值.
例2.将3.14〃以换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180。=/rad,另外注意计算器计
算非特殊角的方法.
7.填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
度0°30°45°120°120°120°120°
弧
7171
71
~2
度T
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一
对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;
反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)
与它对应.
8.例题讲评
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1)/=«/?;(2)S=-aR2;(3)S=-IR.
22
其中R是半径,/是弧长,a(O<a<2])为圆心角,S是扇形的面积.
例4.利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
9.练习
教材
9.学习小结
(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?
⑵弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?
五、评价设计
1.作业:习题1.1A组第7,8,9题.
2.要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同.能够使用计算器
求某角的各三角函数值.
1.2任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数(一)
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定
义域和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方
法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角a的正弦、余
弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能
初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变
量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.
引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的
三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置
不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.
最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固
练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的
特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法
能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生
从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质
有一定的不利影响,”从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的
一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要
通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影
响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定
义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也
表明了这两个函数之间的关系.
二、教学重、难点
重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定
义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公
式一).
难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定
义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐
标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到
函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系.
另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数
形结合更加紧密,这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好
用了.
教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时任意角的三角函数(一)
【创设情境】p,h)
RXP(a,b)
提问:锐角。的正弦、余弦、正切怎样表示?I:a
借助右图直角三角形,复习回顾.°lM
引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角a的顶点与原点。重合,始边与X轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在a的终边上任tv
a的终边
取一点P(a,b),它与原点的距离
r=y]a2+b2>0.过P作x轴的垂线,垂足为
M,则线段的长度为。,线段的长
度为f嘴=9
思考:对于确定的角a,这三个比值是否会随点P在a的终边上的位置
的改变而改变呢?
显然,我们可以将点取在使线段OP的长r=1的特殊位置上,这样就可以
得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
MP,OMMPb
sina==b;cosa=-----=a;tana=------=—
OPOPOMa
思考:上述锐角C的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角
的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利
推广到任意角呢?本节课就研究这个问题一一任意角的三角函数.
【探究新知】
1.探究:结合上述锐角。的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角
的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,
然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆
的定义:在直角坐标系中,我们称以原点。为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
⑴、叫做a的正弦(sine),记做sina,即sina=y;
(2)x叫做a的余弦(cossine),记做cosa,即cosa=x;
(3))叫做a的正切(tangent),记做tana,即tana=—(x0).
xx
注意:当a是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边
所在);当a不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然
有终边,终边就必然与单位圆有交点P(x,y),从而就必然能够最终算出三角
函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该
如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关,仅与角的
大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=7^7,那么
yX
sina-71^7—,cos(X—
tana=2.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值
X
为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,
故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.例题讲评
例1.求2的正弦、余弦和正切值.
3
例2.已知角a的终边过点兄(-3,-4),求角a的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可
以尝试其他方法:
如例2:设x=—3,y=T,则r=J(-3y+(-4)2=5.
工日.y4x3,>4
~TZEsinez=—=——,cosa=—=——,tana=—=一・
r5r5x3
5.巩固练习匕第1,2,3题
6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义
域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:
三角函定义域第一象第二象第三象第四象
数角度制弧度制限限限限
sina
cosa
tana
7.例题讲评
例3.求证:当且仅当不等式组广,:成立时,角。为第三象限角.
8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关
系?
显然:终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(cr+2Z乃)=sina
cos(a+2ki)=coscr(其中Z£Z)
tan(cr+2kr)=tana
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1)cos250°;(2)sin(-—);(3)tan(-672°);⑷tan3不
4
例5.求下列三角函数值:
(1)sin1480010;(2)cos—;(3)tan(-1^)
46
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求。到2万(或0。到
360°)角的三角函数值.另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意
角度制的问题.
10.巩固练习匕第4,5,6,7题
11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
(3)请写出各三角函数的定义域;
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟
练应用公式一吗?
五、评价设计
1.作业:习题1.2A组第1,2题.
2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什
么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知
道推导方法.
第二课时任意角的三角函数(二)
【复习回顾】
1、三角函数的定义;
2、三角函数在各象限角的符号;
3、三角函数在轴上角的值;
4、诱导公式(一):终边相同的角的同一三角函数的值相等;
5、三角函数的定义域.
要求:记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,
凡是碰到轴上角时,要结合定义进行分析;并要求在理解的基础上记忆.
【探究新知】
1.引入:角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的
函数一一三角函数是一个数量概念(比值),但它是否也是一个图形概念
呢?换句话说,能否用几何方式来表示三角函数呢?
2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,
人V
以单位长度1为半径画一个圆,这个圆〃受曲终
厂?if
就叫做单位圆(注意:这个单位长度不
\°M/AX
一定就是1厘米或1米).当角a为第一象限角时,则其终边与单位圆必有
一个交点P(x,y),过点P作尸轴交x轴于点M,则请你观察:
根据三角函数的定义:|MP|=|y|=|sina|;\OM\=\x\=]cosa\
随着a在第一象限内转动,MP、是否也跟着变化?
3.思考:(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段MP、OM
规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?
(2)你能借助单位圆,找到一条如MP、一样的线段来表示角a的
正切值吗?
我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角a的终边
不在坐标轴时,以。为始点、M为终点,规定:
当线段与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM
与x轴反向时,的方向为负向,且有正值x;其中x为P点的横坐标.这
样,无论那种情况都有
OM=x=cosa
同理,当角a的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点、,规定:
当线段心与y轴同向时.,的方向为正向,且有正值y;当线段MP与
》轴反向
时,砂的方向为负向,且有正值y;其中y为P点的横坐标.这样,无论那
种情况都有
MP=y=sina
4.像MP、这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(directline
segment).
5.如何用有向线段来表示角a的正切呢?
如上图,过点A(l,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与a
的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线
段OAAT,我们有
tana=AT=—
X
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角。的
正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
6.探究:(1)当角。的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出
它们的正弦线、余弦线和正切线吗?
(2)当。的终边与x轴或y轴重合时,又是怎样的情形呢?
7.例题讲解
例1.已知生<aC试比较a,tana,sina,cose的大小.
42
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.
8.练习先第1,2,3,4题
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角a的正弦、余弦、
正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.
【评价设计】
1.作业:
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)sin150>tan15(2)cos15018>cos121(3)—>tan—
55
2.练习三角函数线的作图.
1.2任意角的三角函数
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)使学生掌握同角三角函数的基本关系;(2)已知某角的一个三角函
数值,求它的其余各三角函数值;(3)利用同角三角函数关系式化简三角函
数式;(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式;(5)牢固掌握同角三
角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学生分析,解决三角问题
的能力;(6)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变
形的能力,进一步树立化归思想方法;(7)掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数
之间的关系;学习已知一个三角函数值,求它的其余各三角函数值;利用
同角三角函数关系式化简三角函数式;利用同角三角函数关系式证明三角
恒等式等.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3、情态与价值
通过本节的学习,牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于
解题,提高学生分析,解决三角问题的能力;进一步树立化归思想方法和
证明三角恒等式的一般方法.
二、教学重、难点
重点:公式s/g+cos2a=1及包区=tana的推导及运用:(1)已知某任
cosa
意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;(2)化简三角函数式;
(3)证明简单的三角恒等式.
难点:根据角a终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证
明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函质线的定义,推导同角三角函数的基本关系式:
si^a+cos2a=1及包4=tana,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,
cosa
证明三角恒等式等.,
教学用具:圆规、三角板、投影
四、教学设想
【创设情境】
来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线MP,余弦线0M和半径OP三者的长构成直角三角形,而
且OP=1.由勾股定理由M产+QM?=1,因此V+y2=],即sWa+cos2a=1.
根据三角函数的定义,当"4万+三(AwZ)时,有s’""=tana.
2cosa
这就是说,同一个角。的正弦、余弦的平方等于1,商等于角a的正切.
2.例题讲评
例6.已知sina=-j,求cosa,tana的值.
sina,cosa,tana三者知一求二,熟练掌握.
3.巩固练习匕页第1,2,3题
4.例题讲评
cosx_1+sinx
例7.求证:
1-sinxcosx
通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.
5.巩固练习多页第4,5题
6.学习小结
(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因止匕sin%+cos2£71,
sinB
,.丰———.
cosy
(2)利用平方关系时、往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符
号,即要就角所在象限进行分类讨论.
五、评价设计
⑴作业:习题1.2A组第10,13题.
(2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到
其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
第二章平面向量
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和
基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具晌
量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向
量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为
向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背
景.在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的
意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面
向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决
数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量
的区别,然后介绍了向量的一些基本概念.(让学生对整章有个初步的、全
面的了解.)
第1课时
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
教学目标:
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向
量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;
并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区
另I」.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数
学本质的能力.
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的
概念,会表示向量.
教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有
的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、
相等向量、共线向量等概念.
教具:多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:新授课
教学思路:
一、情景设置:
如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,
c
AD
B
设问:猫能否追到老鼠?(画图)
结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了.
分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有
长短的量.
引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方
向?
二、新课学习:
(一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量
(二)请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片)
1、数量与向量有何区别?
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平
行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?
(三)探究学习
1、数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2.向量的表示方法:口/B
(终点)
①用有向线段表示;A(起点)
②用字母a、b
(黑体,印刷用)等表示;
③用有向线段的起点与终点字母:AB;
④向量AB的大小---长度称为向量的模,记作
3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、
长度.
向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相
同,则这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和
方向相同,也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念:
①长度为。的向量叫零向量,记作0.0的方向是任意的.、|/
注意。与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量
平行.
说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量方、6、
c平行,记作a//b//c.
6、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明:(1)向量a与6相等,记作a=6;(2)零向量与零
向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,
并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线
上(与有向线段的起点无关).
说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关
系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关
系.
(四)理解和巩固:
例1书本86页例1.
例2判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平
行向量)
(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)
例3下列命题正确的是(
A.a与6共线,6与c共线,则a与c也共
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平
C.向量a与b不共线,则a与b
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向
量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构
不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;
向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正
确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,
假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量
与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都
是非零向量,所以应选C.
例4如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量而、
0B,1相等的向量.
变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个)
变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)
变式三:与向量共线的向量有哪些?(而,而,无)
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量Q与3是共线向量,则A、B、C、D
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=DC
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
要求两个向量而、三在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向4♦0量,但零向
量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图尼与就共线,虽起点不
同,但其终点却相同.
2.书本88页练习
三、小结:
1、描述向量的两个指标:模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业:
书本88页习题2.1第3、5题
(吴春霞)
第2课时
§2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标:
1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向
量,培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法
运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学
方法;
教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和
向量.
教学难点:理解向量加法的定义.
学法:
数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运
算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移
的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定
义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算
律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教具:多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:新授课
教学思路:
一、设置情景:
1、复习:向量的定义以及有关概念
强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.
因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不
改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置
2、情景设置:;----最-------二
(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,
则两次的位移和:AB+~BC=AC
(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向氢&B
则两次的位移和:AB+BC=AC
(3)某车从A到B,再从B改变方向到土
AB
则两次的位移和:AB+BC^AC
(4)船速为丽,水速为前,则两速度和:AB+BC^G
二、探索研究:/]
AB
1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)
如图,已知向量a、b.在平面内任取一点A,作鼐=a,BC=b,则向
量正叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=行+前=就,规定:a
+0-=0+a
探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;
(2)当向量々与B不共线时,Z+B的方向不同向,且|Z+g|<|Z|+|B|;
(3)当Z与3同向时,则1+八入飞「——<君同
向,且|£+例=|3|+|3|,当〉与3反向时,弋一若
\a\>\b\,贝!JZ+B的方向与Z相同,且\'一4一〕S^B
\a+b\=\a\-\b\;若|“|<向,则a+I的方向与否相同,且|a+b|=|3卜|。1.
(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的
起点,可以推广到n个向量连加
3.例一、已知向量Z、b,求作向量Z+B
作法:在平面内取一点,作方=ZAB=b,则无=Z+Z.
4.加法的交换律和平行四边形法则
问题:上题中的结果与Z+2是否相同?验证结果相同
从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)
2)向量加法的交换律:a+h=h+a
5.向量加法的结合律:(Z+B)+U+(g+展)
证:如图:使而=Z,BC=b,
贝lj(Z+g)+c=AC+CD=AD
=AB+~BD=AD
.\(a+b)+c=a+(B+c)
从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例:
例二(P94—95)略
练习:P95
四、小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意:\a+b\W日l+lM,当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业:
P103第2、3题
六、板书设计(略)
七、备用习题
1、一艘船从A点出发以2g碗/力的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的
实际航行的速度的大小为4左加心求水流的速度.
2、一艘船距对岸46km,以26加/力的速度向垂直于对岸的方向行驶,到
达对岸时,船的实际航程为8km,求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以%的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的
流速为V?,船的实际航行的速度的大小为4人,方向与水流间的夹角是60。,
求V1和V2.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶,同时河水的流速为2km/h,则船的实
际航行速度大小最大是km/h,最小是km/h
5、已知两个力Fi,F2的夹角是直角,且已知它们的合力F与Fi的夹角
是60。,|F|=10N求Fi和F2的大小.
6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
(吴春霞)
第3课时
§2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标:
1.了解相反向量的概念;
2.掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;
3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物
之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点:减法运算时方向的确定.
学法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结
合向量的加法运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量.
教具:多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:新授课
教学思路:
一、复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律:P
例:在四边形中,Ci+BA+BA=.//
f.-n*-a*—*-AB
解:CB+BA+BA=CB+BA+AD=CD
二、提出课题:向量的减法
1.用“相反向量”定义向量的减法
(1)“相反向量”的定义:与。长度相同、方向相反的向量.记作
(2)规定:零向量的相反向量仍是零向量.-(-。)=4.
任一向量与它的相反向量的和是零向量力+(-«)=0
如果a、b互为相反向量,贝!Ja=-Z>,b=-a,a+b=0
(3)向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做。与b的
差.
即:a-b=a+(-Z>)求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
b+x=a,则x叫做G与b的差,记作
3.求作差向量:已知向量。、作求作向量Qa
7/
(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0
作法:在平面内取一点O,
作OA=a,AB=b
贝!8J4=a一8
即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的
向量.
注意:1。而表示a-4强调:差向量“箭头”指向被减数
2。用“相反向量”定义法作差向量,a-b=a+(-b)
a显然,止匕法作图较繁,B但最后作解可璨一.
-------&---------J/a+UD)■一一/
4.探究:
1)如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量,那么所得向
量是b-a.
a、a-b:::、a-b
OBAB'OBA
b:
----a__>.如,
:b0AfBB。A
2)若。〃方,如何作出a-方?
三、例题:
例一、(P97例三)已知向量a、b、、d,求作向量a-方、c-d.
解:在平面上取一点O,作苏=a,OB=b,OC=c,OD=d,
a-b,DC=c-d
例二、平行四边形ABC。中,AB
用a、b表示向量AC、DB.
解:由平行四边形法则得:
AC=a+b,DB=AB-AD=a-b
变式一:当a,b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?(|”|=|臼)
变式二:当a,b满足什么条件时,\a+b\=\a-b\2(«,方互相垂直)
变式三:a+A与所方可能是相当向量吗?体可能,:对角线方向
不同)
练习:P98
四、小结:向量减法的定义、作图法|
五、作业:P103第4、5题
六、板书设计(略)
七、备用习题:
1.在AABC中,BC=a,CA=b,则族等于()
A.a+bB.-a+(-b)C.a-b
D.b-a
2.0为平行四边形ABCD平面上的点,设苏=a,0B=b,0C=c,0D
=d,则
A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
3.如图,在四边形ABCD一
a+b=,b+
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