大题专练训练30：圆锥曲线（探索性问题2）-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练30—圆锥曲线（探索性问题2）1．已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于、两点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点是椭圆上的动点，且直线，与直线分别交于、两点，是否存在点，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由题意可得，，即，又，解得，，即有椭圆的方程为；（Ⅱ）设，可得，即有，由题意可得，，设，，由，，共线可得，，即为，可得，由，，共线可得，，即为，可得．假设存在点，使得以为直径的圆经过点．可得，即有，即．即有，化为，解得或8，由，，不重合，以及，可得不存在．2．已知椭圆，短轴端点到其右焦点的距离为，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设，，是椭圆上的三个点，判断四边形能否为矩形？并说明理由．解：（1）椭圆，短轴端点到其右焦点的距离为，由题意，得，，椭圆的方程为．（2）设直线，，，，，的中点，，，，直线代入抛物线方程可得，△，，．①由条件，得，即，整理得，将（1）式代入得，②又，，且同时也是的中点，，，在椭圆上，，即，代入整理可得，③由②③解得，，验证知△，四边形可以为矩形．3．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）曲线在点，处的切线相交于点，，分别交轴于点，两点．是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）若，则，设，，，，所以，，联立，得，所以，，所以，因为，所以，解得．（Ⅱ）由，得，所以，所以直线的方程为，即，又，代入上式，得，同理可得直线的方程为，设，，则，且，所以，在直线上，即，又因为直线方程为，即，所以，，即点在直线上，由切线，方程得，，，，所以，，所以，所以．4．已知椭圆的左右焦点分别为，点．为椭圆上的一动点，△面积的最大值为．过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上任取两点，，以，为邻边作平行四边形．若，则是否为定值？若是，求出定值；如不是，请说明理由．解：（1）由题意：△的最大面积，．又，联立方程可解得，，所以椭圆的方程为：．（2）设，，，，由平行四边形法则，所以，．所以．又因为，即，即．又因为点，在椭圆上，则，，可得①，②，①②可得即，又，所以，即．又①②可得，可得．所以．5．已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．（1）解：椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，，又椭圆经过点，，解得，椭圆的方程为：．（2）解：设直线的方程为：，，代入，得：，△恒成立．设，，，，线段的中点为，，则，，由，得：，直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：，令得：点的横坐标，，，．线段上存在点，使得，其中．（3）证明：设直线的方程为：，，代入，得：，过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，由△，得：，设，，，，，，则，，则直线的方程为，令得：．直线过定点．6．已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点，且两曲线有公共点，．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分别为，，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．解：（1）由题意可得，解得，可得抛物线的焦点为，即椭圆的右焦点为，则，，解得，，可得椭圆的方程为；（2）由题意知与轴不垂直，设的方程为，，，，．由得，可得△，设，，，，，，，，两两不等，则，，，由，，三点共线，有①由，，三点共线，有②①与②两式相除得．解得（舍去）或，所以点在定直线上．7．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）点，斜率为的直线不过点，且与椭圆交于，两点，；为坐标原点）．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．解：（1）由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，，，联立，整理得，则，，因为，所以，所以，所以，即，整理得，即，则直线的方程为，故直线过定点．8．在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为．过定点作直线与抛物线相交于，两点．求抛物线的方程；若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（Ⅲ）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．解：抛物线的焦点，圆心在线段的垂直平分线上．因为抛物线的准线方程为，所以，即．因此抛物线的方程为．依题意得：点的坐标为，可设，，，，设直线的方程为，直线方程与联立，消去得，所以由韦达定理得，．由图可得：，当，