福建漳州市中考数学

2015年福建省漳州市中考数学试卷（华文中宋）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2015福建漳州，1，4分）的相反数是（）A．B．C．-3D．3【答案】A．【解析】解：∵互为相反数的两个数仅仅相差一个符号，而，∴的相反数是，故选A．2．（2015福建漳州，1，4分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．了解一批圆珠笔的使用寿命B．了解全国九年级学生身高的现状C．考查人们保护海洋的意识D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件【答案】D．【解析】解：∵一枚运载火箭是用于发射卫星，∴每一个零部件都不能有任何的疏忽懈怠，必须一个一个检查过来，∴要采用普查方式，故选D．3．（2015福建漳州，1，4分）漳州市被国家交通运输部列为国家公路运输枢纽城市，现拥有营运客货车约21000辆，21000用科学记数法表示为（）A．×105B．21×103C．×104D【答案】C．【解析】解：21000=×104，故选C．4．（2015福建漳州，1，4分）如下左图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：只有A选项中的平面展开图折叠起来能形成一个长方体，故选A．5．（2015福建漳州，1，4分）一组数据6，-3，0，1，6中的中位数是（）A．0B．1C．2【答案】B．【解析】解：将上述数据按从小到大的顺序排列：-3，0，1，6，6；则排在最中间的数是1，所以这组数据的中位数是1；若将数据按从大到小的顺序排列亦可；故选B．6．（2015福建漳州，1，4分）下列命题中，是假命题的是（）A．对顶角相等B．同旁内角互补C．两点确定一条直线D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等【答案】B．【解析】解：在同一平面内，只有当两直线平行时，同旁内角互补才成立，所以“同旁内角互补”是假命题，故选B．7．（2015福建漳州，1，4分）一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为（）A．4B．5C．6【答案】C．【解析】解：∵一个多边形的每个内角都等于120°，∴每个内角相邻的外角是60°，又∵任一多边形的外角和是360°，而360÷60=6，∴这个多边形的边数是6，故选C．8．（2015福建漳州，1，4分）均匀地向如下左图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）【答案】A．【解析】解：上图容器形式上由三个圆柱体组成，从下往上观察，最中间的圆柱体底面积最大，最下面的圆柱体其次，最上面的圆柱体底面积最小；根据题意，单位时间内注入的水的体积相等，所以水面高度变化时，最中间一段最平缓，最后一段最陡直，所以A选项符合，故选A．9．（2015福建漳州，1，4分）已知⊙P的半径为2，圆心在函数的图象上运动，当⊙P与坐标轴相切于点D时，则符合条件的点D的个数为（）A．0B．1C．2【答案】D．【解析】解：当⊙P与坐标轴相切时，如⊙P与x轴相切，此时点P到x轴的距离为2，即令y=2或y=-2，有两种情况；同理当点P到y轴的距离为2时，也有两种情况；综上可知对应的切点D有4个．故选D．10．（2015福建漳州，1，4分）在数学活动课上，同学们利用如图（第10题图）的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（）（第10题图）（第10题图）输入x（x为正整数）（x为偶数）3x+1（x为奇数）A．4，2，1B．2，1，4C．1，4，2【答案】D．【解析】解：若最初输入的数是4，∵x=4是偶数，则对应的值是2；而x=2是偶数，则对应的值是1；而x=1是奇数，则对应的数是3x+1=4，既而以4，2，1为一个循环节进入循环；类似用上述方法可得：当最初输入的数是2时，其将以2，1，4为一个循环节进入循环；当最初输入的数是1时，其将以1，4，2为一个循环节进入循环；故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）11．（2015福建漳州，1，4分）计算：2a2·a4=【答案】2a6【解析】解：按照“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得2a2·a4=2a6．故答案为212．（2015福建漳州，1，4分）我市今年中考数学学科开考时间是6月22日15时，数串“201506221500”中“0”出现的频数是【答案】4．【解析】解：数串“201506221500”中0出现的次数是4，则0的频数是4．故答案为4．13．（2015福建漳州，1，4分）已知二次函数y=(x-2)2+3，当x时，y随x的增大而减小．【答案】x＜2(或x≤2)．【解析】解：对于二次函数y=(x-2)2+3，其中二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，即当x＜2(或x≤2)时满足．故答案为x＜2(或x≤2)．14．（2015福建漳州，1，4分）如图（第14题图），AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，，DE=6，则EF=．（第14题图）（第14题图）【答案】9．【解析】解：根据平行截割定理，可知，而DE=6，∴EF=9．故答案为9．15．（2015福建漳州，1，4分）若关于x的一元二次方程ax2+3x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【答案】a＞且a≠0．【解析】解：由题意得：a≠0且△=32-4a×(-1)=9+4a＞0，解得：a＞且a≠0．故答案为a＞且a≠016．（2015福建漳州，1，4分）如图（第16题图），一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为°．【答案】61．【解析】解：由题意可得：A、C、B、D四点共圆，∵点D对应的刻度是58°∴的度数是58°，∴的度数是122°，∴圆周角∠ACD的度数是61°．故答案为61°．三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2015福建漳州，17，8分）计算：．【答案】0【解析】解：原式=2=0．18．（2015福建漳州，18，8分）先化简：，再选取一个适当的m的值代入求值．【答案】原式；代入求值时，答案不唯一，只要m≠1，计算正确即可．【解析】解：原式当m=2时，原式=2-1=1．19．（2015福建漳州，19，8分）求证：等腰三角形的两底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．（第19题图）（第19题图）【答案】证明过程略；【解析】证明：作∠BAC的平分线AD．在△ABD和△ACD中，∵∴△ABD≌△ACD，∴∠B=∠C．方法二：作BC边上的高，参考上述方法求证．方法三：作BC边上的中线AD，参考上述方法求证．20．（2015福建漳州，20，8分）如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形；（2）填空：△是_____三角形．（第20题图）（第20题图）【答案】（1）作图略；（2）等腰直角．【解析】解：（1）如图四边形即为求作图形．（2）等腰直角．21．（2015福建漳州，21，8分）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】（1）画树状图或列表略，P(小明获胜)==；（2）游戏不公平，理由：P(小明获胜)=，∴P(小东获胜)=1-=＞．【解析】解：（1）画树状图如下：开始开始和53478，9，1243577，9，1134577，8，10734510，11，12列表如下：∵所有等可能的结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种，∴P(小明获胜)==．（2）∵P(小明获胜)=，∴P(小东获胜)=1-=＞．∴这个游戏不公平．22．（2015福建漳州，22，10分）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．（第22题图）（第22题图）【答案】（1）证明过程略；（2）．【解析】解：（1）证明：由轴对称性质得：∠1＝∠2，ED＝EF，CD＝GF．∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，则∠2＝∠3，∴FE＝FG，（方法一）（如图1）∴ED＝EF＝GD＝GF，∴四边形DEFG为菱形．（方法二）（如图1）∴ED＝FG，又∵ED∥FG，∴四边形DEFG为平行四边形，又∵FE＝FG，□DEFG为菱形．（方法三）连接DF交AE于点O（如图2），EG⊥DF，DO＝FO，同理OG＝OE，∴四边形DEFG为平行四边形，∴□DEFG为菱形．（2）设DE＝x，由轴对称得FE＝DE＝x，EC＝8－x，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋（8－x）2＝x2．

解得：x＝5，CE＝8－x＝3．

所以，．（第22题图1）（第22题图2）（第22题图1）（第22题图2）23．（2015福建漳州，23，10分）国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：类别彩电冰箱洗衣机进价（元/台）200016001000售价（元/台）230018001100若在现有资金允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍．设该商店购买冰箱x台．（1）商店至多可以购买冰箱多少台？（2）购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？【答案】（1）至多购买冰箱26台；（2）购买26台时，有最大利润，是23000元．【解析】解：（1）依题意，得：2000·2x+1600x+1000(100-3x)≤170000解得：x≤．∵x为正整数，∴x至多为26．答：商店至多可以购买冰箱26台．（2）设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，则y=(2300-2000)2x+(1800-1600)x+(1100-1000)(100-3x)，∴y=500x+10000．∵k=500＞0，∴y随x的增大而增大．∵x≤且x为正整数，∴当x=26时，y最大为500×26+10000=23000．答：当购买冰箱26台时，商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为23000元．24．（2015福建漳州，24，12分）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．（第24题图1）（第24题图1）设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：．假设=60°，=45°代入差角正切公式：．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A．测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．（第24题备用图）（第24题备用图）（第24题图2）（第24题图3）【答案】（1）tan75°=；（2）CD=；（3）点P坐标为(，3)，(-1，-4)．【解析】解：（1）（方法一）（如图1），∠ABC=30°，设AC=1，则BD=AB=2，BC=，tan∠DAC=tan75°=．（第24题图1）（第24题图1）（方法二）假设=60°，=15°代入和角正切公式：．（方法三）（如图2）在△ABC中，∠A=30°，AB=AC，∠ACB=75°，作高BD，设BD=1，则AB=AC=2，AD=，CD=，在Rt△DCB中，tan∠ACB=tan75°=．（其他合理解法也可以）（第24题图2）（第24题图2）（2）（如图3），∠ABD=90°，AC=60，BC=30，AB，则∠CAB=30°，在△ABD中，∠BAD=30°+45°=75°，tan75°，CD+30，CD．答：这座电视塔CD的高度为()米．（第24题图3）（第24题图3）（3）联立，解得，或，即：A（4，1），B（-2，-2）．由题意可得点C为（0，-1），过点C作x轴的平行线CD，过点P作PD⊥CD于D，交直线AB于点F，过点A作AE⊥CD于E，tan∠ACE．（方法一）分两种情况：①（如图4）过点P作PH⊥AB于H，，，所以PH=CH，设点P坐标为(，)，则在△CDF中，CD=，DF=，CF=．在△PFH中，PH=2FH，则，，又因为点F的坐标为(，)，所以，整理得，解得，．经验证：点P的坐标为(，)，(，)．（第24题图4）（第24题图4）②（如图5）过点P作PH⊥AB于H，，，所以PH=CH，设点P坐标为(，)，F坐标为(，)，则在△CDF中，CD=，DF=，CF=．在△PFH中，，，，整理得，因为，则方程没有实数根，所以点P不存在．即直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为(，)，(，)．（第24题图5）（第24题图5）（方法二）分两种情况：①设将直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P（如图4）．设点P坐标为(，)，在Rt△PCD中，CD=，PD=，，即PD=3CD，即，整理得：．解得，．经验证：点P的坐标为(，)，(，)．②（方法1）设将直线AB绕点C顺时针旋转45°后，由作图可以看出与双曲线没有交点．（方法2）设将直线AB绕点C顺时针旋转45°后与双曲线相交于点P，如图5，过点P作PD⊥CD于点D，交直线AB于点F，可得．在Rt△PCD中，CD=，PD=，，即CD=3PD，，整理得，因为，则方程没有实数根，所以点P不存在．即直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为(，)，(，)．（方法三）分两种情况：①（如图6）设将直线AB绕点C逆时针旋转45°后与x轴交于点F，与双曲线交点P．设直线CF的解析式为，则点F坐标为(，0)，在Rt△COF中，，即OC=3OF，，求得，即，联立，解得，或，即直线AB绕点C逆时针旋转45°后能与双曲线相交，交点P的坐标为(，)，(，)．（第24题图6）（第24题图6）②（如图7）设将直线AB绕点C顺时针旋转45°后得到直线CG，与x轴交于点F．设直线CF的解析式为：，所以点F坐标为(，0)，在Rt△COF中，，即3OC=OF，，求得，即，则，整理得，因为，则方程没有实数根，所以点P不存在．即直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为(，)，(，)．（第24题图7）（第24题图7）25．（2015福建漳州，25，14分）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标