人教A版(2019)必修第二册必杀技第6章6.3.5平面向量数量积的坐标表示

AA. -2 B.2 C. -2或2 D. 0人教A版(2019)必修第二册必杀技第6章6.3.5平面向量数量积的坐标表示学校:姓名：班级：考号：一、单选题TOC\o"1-5"\h\z1,设a=(1,一2),b=(-3,4),c=(3,2),则C+2b)•c=( )A.12 B.0 C.-3 D.-11.已知a=(4,3)72a+b=(3,18)，贝ija与b的夹角的余弦值为()8 8 16 16A.京 B・-77 C・77 D・一京65 65 65 65.若a=<2,3),b=(-4,7),b方向上的单位向量为e.则a在b上的投影向量为( )A.迤A.迤e5C,五e5D.v13e.以下选项中，一定是单位向量的有(①a=(cos0,-①a=(cos0,-sin0).@b=2,；③c=(2x,2-x)；④d=(1—x,x).1个2个3个4个TOC\o"1-5"\h\z.上知平面向量a=(2,4)力=(-1,2)，若c=a—(a•b)b，则|c|等于( )A.4<2 B.2、区 C.8 D.8V2—K —K-K -.平面向量a与b的夹角为60。.a=(2.0)1|b占1，贝|a+2b|等于()A. <3 B. 2<3 C. 4 D. 12.在四边形2BCD中，AC=(1,2、BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A. 75 B. 2V；5 C. 5 D. 10.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1)，且(2a-3b)1c，则实数k=()15A. -- B. 0 C. 3 D.—2 2—► -A.若1a1=1,171=2,c=a+b,且c1a，则向量a与b的夹角为( )A. 30。 B,60。 C, 120。 D. 150。.已知AB=(3,-D,n=(2,1),且n-_AC=7,则n•BC=()

.设X，y£仁向量a;(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a1c,b//c,则a+b=()A.55 B.2<5 C.<10 D.10.若向量a=(1,2),b=(X-1),则2a+b与a-b的夹角等于( )A.B.C.A.B.C.D.13.已知向量a=(1,0),b=(cos0,sin0),0£兀 72，5,则a+b的取值范围是()A.[0j2]一B.f1,V2] C,1,2] 」D1[①,2一.已知点4v；3,1),B(0,0),CQ'3,0),设ZBAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC=九CE，其中九等于()A.2 B.1 C.-3 D.-12 3.已知向量a三(1,1),b=(1,m),其中m为实数，O为坐标原点，当两向量夹角在八兀)°,无J变动时，A八兀)°,无J变动时，A.(0,1)m的取值范围是(B.当,逐VC.d(，立)d,1,向3JU.设A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C,4a+5b=14 d.5a+4b=14二、填空题.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),CD方向上的单位向量为e，则向量AB在CD上的投影向量为..已知向量OA=(1,7),OB=(5,1)(O为坐标原点)设M是直线y=1x上的一点「那么MAi・MB的最小值是 .已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=第，若(a+b)♦c=5，则a,c的夹角大小为 ..已知a=(2,1)与b=(1,2)，要使|a+叫最小，则实数t的值为..已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2).若|c|=2V5，且a//c,则。的坐标为. 一-.已知点力G,3)，若把向量OA绕原点O按逆时针方向旋转90得到向量OB_,则点B的坐标为.23,已知a=(2,-1),b=G,-2i，c=(3,y)，若a//b,Q+bKQ—c),M^x,y)、N(y,x)，则向量mn的模为.24.关于平面向量a,4b,c.有下列三个命题：一一一- -一①若a•b=a•c，贝向c.②若a=(1,k),b=(-2,6),ab，则k=-3.③非零向量a和b满足=b|=|a-b,则a与a+b的夹角为60.――一©其中真命题的序号为二.(写出所有真命题的序号).(理)在直角坐标系一x、y中，一已知点A(0,1)和点B(—3,4),若点C在/AOB的平分线上，且IOC1=2,求OC的坐标为 ..设向量a=(1,2),b=(1,1)，且a与a4b夹角为锐角，则实数九的取值范围是+ ,.已知a=(-2,-1),-b=Q,1),若a与b的夹角。为钝角，则实数九的取值范围为 ..设向量a=(m—2,m43),b=(2m+Lm—2)，若a与b的夹角大于90，则实数m的取值范围为.三、解答题.若b= -,且a+2b.若b= -,且a+2b与22a-b垂直，求a与b的夹角©..已知向量a,b同向，b=(1,2),a.b=10.(1)求a的坐标;⑵若C=(2,—1),求a.4•c)及\a•b)c..已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y)，且a//b,a1c.(1)求b和c；(2)若m=2a—b,n=a+c;求向量m与向量n的夹角的大小二 一.如图，已知A(1,1),B(5,4),C(2,5)，设向量a是与向量AB垂直的单位向量.(1)求单位向量a的坐标；—一—(2)求向量AC在向量a上的投影向量的模；_ ——(3)求ABC的面积S.ABCJtC(2^)及心尚4^——.在四边形ABCD中，已知BC//AD,AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(—2,—3).(1)求用x表示y的关系式；(2)若AC1BD,求x、y值.参考答案c【解析】【分析】根据向量加法的坐标公式，先计算〃+2。的坐标，再用数量积公式即可求得结果.【详解】因为a=(1,-2),Z?=(-3,4),c=(3,2),-故a+2b=(-5,6)故Cz-2b).c=—5x3+6xX=-3.故选：cr【点睛】--本题考查向量加法和数量积的坐标运算公式，属基础题.C【分析】根据题意，解得两个向量的坐标，利用坐标计算两向量的夹角余弦值即可.【详解】因为〃=(4,3),2a+b=(3,18)故可得人二(—5,12),设向量〃与。的夹角为6则同三5,Z?=13一—> —>na-b16 16f则cosv=—= 二一回回5x1365故选：C.―►—►【点睛】—►-►本题考查向量的坐标运算，属综合基础题.A【分析】由向量的投影计算公式，代值计算即可求得.【详解】由向量的投影计算公式可得，故〃故〃在b上的投影向量为a•b 13 <65e=e= e|b| 中65 5故选：A.【点睛】本题考查向量的投影计算公式，属基础题.B【分析】分别计算出四个向量的模，根据模长为1,可得出单位向量的个数.【详解】二^(cos0二^(cos0)2+(-sin0)2=cos20+sin20=1,Jg2+lg5=Jlg(2义5)=v4%+4-%>22v14x-4-%=弋2w1,一21 <2+>—2 2因此，a和b都是单位向量，故选：B.【点睛】本题考查单位向量概念的理解，以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.D【分析】根据向量的坐标运算求得c再计算模长即可.【详解】由题意得a•b=2x(-1)+4x2=6，所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以1c|={82+(-8)2=8V2.故选：D-- 一【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及模长公式，属于基础题型.B【分析】利用数量积定义,利用Ia+2b1=((a+2b)2，求解即可.【详解】a=(2,0),IbI=1,向量a与b的夹角为60。,.・」aI=222+02=2,a・b=|a||b|cos60o=1,.•」a+2bI=v；(a+2b)2=《IaI2+4IbI2+4a•b=2<3,故选B. 一一一一【点睛】—> —> —► —►本题考查了向量的模，一般处理的方式是把模平方，再结合向量的夹角能求出向量的数量积，计算即可求模，考查了运算能力，属于中档题.7．C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，S=1(1+4)*2=5.或者注意到AC•BD=0分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 一一8．C【解析】试题分析：由题意得，2a—3b=(2k—3,-6),c=(2,1)，因为(2a—3b)1c，所以(2a-3b)•c=4k-6-6=0，解得k=3，故选C.考点：向量的坐标运算.一一 一 f-f->-A -►9．C【解析】1515.C【详解】【详解】试题分析：根据题意，由于|3|二1,|百|二2，且a+b-cc±aoc•a-0o(a+b)?a-0oa2+ba=0，结合向量的数量积公式可知b•a-b|；|acos0，解得其向量b,a的夹角为1200,故选C.*考点；向量的数量积一一一一一一一点评：主要是考查了向量的数量积的垂直的充要条件的运用，属于基础题.10．B【分析】根据n•BC-n•(AC—AB)-n•AC—n•AB，利用两个向量的数量积公式和已知条件求得结果．【详解】一 一一一一TOC\o"1-5"\h\z-A -►— fn•BC-n•(AC—AB)-n•AC—n•AB-7-(2,1)•(3,-1)=7-(6-1)=2,故选：B.【点睛】 一一一一―► -►——本题主要考查平面向量基本定理,考查向量的坐标运算,属于基础题．11．C【解析】试题分析：二.向量a-(x,1),b-(1,y),c-(2,-4)且a1c,b//c,/.2x-4-0nx=2,1x(-4)-2y-0ny--2,从而a+b-(2,1)+(1,-2)-(3,-1),- -因此a+b-J32+(-1)2-更0,故选C-考点：1.向量的模；2.向量的平行与垂直.12．C【分析】利用坐标表示出2a+b和a-b，根据向量夹角公式直接求解即可得到结果.由题意得：2a+b=（3,3）,a一b=（0,3）TOC\o"1-5"\h\z&+bX—b） 3x0+3X3 ”:.cos<2a+b,a-b>= ：-： =「 ——, =——_ 2a+bl-a-b 9+9Xx70+9 2又<2a+b,a-b>e［0,兀］ :<2a+b,a-b>=—.一一一 4本题正确选项：C -f--【点睛】一一 一一一一-'» '»本题考查利用向量数量积和模长求解向量夹角的问题，关键是能够熟练掌握向量数量积和模长的坐标运算.D【分析】计算出向量a+b的坐标，然后利用向量模的坐标运算结合三角函数的值域求出a+b的取值范围.【详解】a=(1,0),b=(cos0,sin0),「.a+b=(1+cos0,sin0),•-0e-―,—，.二0<cos<1,• 22， ，T」 」 —T:::a+b=J（1+cos0»+sin20=J2+2cos0e［^2,2,因此，|a+b|的取值范围是［J2,2］，故选：d.【点睛】本题考查平面向量模的坐标运算，同时也考查了三角函数值域的应用，考查计算能力，属于中等题.C【详解】由角平分线性质得型］=\BA\=\BA\=2...be=2EC,BC=3EC=-3CE:.九=-3IECIIACI|ACI1 '选C.【详解】【详解】【分析】兀设向量a、b的起点均为。，终点分别为A、B，可得出OA与1轴正方向的夹角为4,八 兀八兀八兀设向量OB与1轴正方向的夹角为9，由题意可得出7<0<;且®w，由m=tan6可6 3 4得出实数m的取值范围.【详解L-兀设向量a、b的起点均为。，终点分别为A、B，可得出0A与1轴正方向的夹角为彳，设向量0B与1轴正方向的夹角为6设向量0B与1轴正方向的夹角为6，由于NAOB「兀, )一NAOB£14「兀, )—+NAOB£14即B在B1与B2（不与A重合）之间,，因此，实数m，因此，实数m的取值范围是，故选:C.【点睛】本题考查利用向量夹角的取值范围求参数，解题时充分利用数形结合法，找到临界位置进行分析，可简化运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.A【详解】由OA与OB在OC方向上的投影相同，可得：OA-OC=OB-OC即,4a+5=8+5b,4a—5b=3,选a.

【分析】根据向量在另一个向量上的投影计算公式，计算出投影，即可得到投影向量.【详解】由已知得AB=（2,1）,CD=（5,5）,故AB故AB在CD上的投影向量为\o"CurrentDocument"AB-CD 15 3。2 e=―=e= eCD 5近 2故答案为：返e【点睛】本题考查向量投影的坐标计算公式，属基础题.—8【分析】设点M的坐标为，利用向量的坐标运算将MA•MB转化为关于设点M的坐标为用二次函数的性质求出MA•MB的最小值.【详解】=1—x=1—x,7—I-x27MB=(15—x,1—xI2...MA•MB=(1一xX(5—x)+7—2x][1-yx]=4(x—4)2—8,...MA•MB当x=4时，MA•MB取得最小值—8，故答案为：-8. > >【点睛】本题考查平面皿数量积的最值的计算，解题的关键利用设点的坐标的方法，将向量的数量积转化为二次函数，利用二次函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.120°分析：先设a与c的夹角为0,根据题意，易得b=-2a,将其代入0+b)-c=5中易得5a•c=--,进而由数量积的运算，可得cos0的值，从而可得答案.解析：设a与c的夹角为0aa=(1,2),b=(-2,-4)，则b=—2a，TOC\o"1-5"\h\z.D- 5..5+b八c=-a•c=一，2f 5f•a•c———2- 1•cos0=a•c_•cos0=aUc 75•邪 20。<0<18Q°。0-120°.故答案为：120。.点睛：要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律,就会达到简化运算的目的.4.--【分析】先求出向量a+tb的坐标，然后利用向量的模长公式得出a+仍关于t的表达式，利用二次函数的基本性质求出a+tb的最小值以及对应的t值，可得出结果.【详解】一- 一一a+a+tb-(2+1,1+2t),a+tb-J(2+1»+(1+21»=, 3■区 4a+tb有最小值浮，故答案为：--.

5【点睛】本题考查向量的坐标运算，同时也考查了向量模长的最值的求解，解题的关键就是将a+tb转化为二次函数求解，考查运算求解能力，属于中等题.

.（2,4）或（一2,一4）【分析】设出向量的坐标，根据模长计算公式，以及向量平行的坐标公式，列方程即可求得.【详解】设c=（x,y）,因为付=2占，故可得J/+丁2=2乔,即x2+w=20；又4//c,故y=x=-2,或Vx=-2,或Vy=-联立方程组解得y=4故c=（2,4）或c=（—2,-4）,故答案为：（2,4）,（-2,-4）,【点睛】一本题考查向量模长的坐标计算公式，以及向量平行的坐标公式，属基础题.22.（-3,2）【分析】OAOB=0设点5的坐标为（儿））,可知点5位于第二象限，由题意得出＜|。曰=|。耳，由此列方程x＜0、组解出％、y的值，即可得出点5的坐标. ————【详解】设点5的坐标为G,y）,由题意可知，点5位于第二象限，则X＜。.OAOB=0由题意可得<|°a|T°5x<0xOAOB=0由题意可得<|°a|T°5x<0x=-3。二2则有m+w=网,解得<x<0因此，点5的巫标为七32）,故答案为：（—3,2）.【点睛】55本题考查平面向量的坐标运算，要结合条件得出两向量之间的关系，同时要注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆.若a x,y，bx,y，则1 1 2 2a//b=xy-xy=0，a1boxx+yy=0.12 2^1 12T12 .23.8V2由a//b，利用共线向量坐标表示求出x的值，再由(+b,10-c)利用垂直向量的坐标运算求出y的值，由此可得出MN，进而计算出向量MN的模.【详解】a=(2,-1),b=(x,-2)且a/b，，-x=2x(-2-军得x=4一•.b=(4,-2).a+b=(6,-3),b—c=(1,-2-y),4b)i(b-c),<b)£-c)=6-3x(-2-y)=12+3y=0：解得y=-4,则点M(4,-4),N(-44),.MN=(-8,8)，因此，MN=J(-8(+82=872,—>—> —>—> —>—>—>—>故答案为：8<2.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量以及向量垂直的坐标运算，同时也考查利用向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.24.②【分析】根据向量概念和运算的判断，逐一进行验证【详解】对于①，向量不满足消去律，错；对于②，两向量平行的坐标表示知-2k=6,k=-3正确;对③，在加减法构成的平行四边形中，由几何意义可得到所求角为7，错；则正确的命题为6②.25.(25.(【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得0C=根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得0C=t(_ __AOAOB

+

^O)a\o)b\?，再根据IOC1=2,求t,即得结果.【详解】由题意可设0c=由题意可设0c=t(— )OA+丝OAOB3t9t、所以OC=(一—,—)，即OC的坐标为因为IOC1=2,所以九101=2t=，即OC的坐标为【点睛】与a共线的向量为九a，当九〉0时，为同向；当九<0时，为反向；与a共线的单位向量为九a OAOB、而；与a=(x,y)垂直的向量为九()厂1).与/AOB平分线共线的向量为九(苏+两).(-5，0)U(0,+8)一3一怖析】由题知a+Xb=(1+九,2+九)，又夹角为锐角即・G+九b)>0,由数量积运算可得1x(1+X)+2(2+X)>0即X>-5.当九二0时，夹角为)，舍去.故本题应填(0,+8).点睛：本题主要考查向量的数量积和坐标运算.求解两个向量之间的夹角的步骤:第一步,先计算出两个向量的数量积;第二步,分别求出这两个向量的模;第三步，根据公式a•b丽，求解出这两个向量夹角的余弦值;第四步，根据两个向量夹角的范围在[0,兀]内及其余弦值，求出这两个向量的夹角.其中当向量的夹角为锐角时a•b>0，且两向量不共线，当向量的夹角为钝角时，a•b<0且两向量不共线.27.V(2,+8)

27.V【分析】由题意得出a•b<0且a与b不共线，利用向量的坐标运算可求出实数九的取值范围【分析】由题意得出a•b<0且a与b不共线，利用向量的坐标运算可求出实数九的取值范围.【详解】由于a与b的夹角。为I屯角则a•b<0且a与b不共线，a=(-2,-1),b=(九,1),一一 (1一因此，实数数的取值范围是［一T2卜(2,+8),(1 \故答案为：——，2。(2,+8).V27【点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量a与b的夹角八八 Ia•b>0为e,e为锐角o{a与b不共线，e为钝角今28.3,2【分析】由题意得出a•b<0,然后利用平面向量数量积的坐标运算得出关于m的不等式，解出不等式即可得出实数m的取值范围.【详解】一一a与b的夹角大于90，,二a-b<0，即(m—2)(2m+1)+(m+3)(m—2)<0,0 4一 ( 4-化简得3m2-2m—8<0，解得一不<m<2，因此，实数m的取值范围是一不,2.T_ TT3 V3 7【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量夹角的属性与数量积符号之间的关系，解题时要根据题中条件进行转化，考查计算能力，属于中等题.29.e=兀【分析】根据向量垂直，转化为向量数量积为零，再根据向量的模长，求得a•b，再计算夹角即可.【详解】因为a+2b与2a—b垂直，故(〃+2b)・Qa-b)=0即2a2+3a-b-2b2=0，又|a|=55,TOC\o"1-5"\h\z l,一一5 八一「 5f故2义5+3a•b-2义=0，解得a・b=——・4 2故0嬴==-1ab-> —►-► -►又0g[o,兀L故0二兀.f【点睛】本题考查向量垂直条件的转化，以及向量模长的求解，夹角公式，属综合基础题.(1)a=(2,4).⑵a.Q•c)=0,(a•b).c=(20,-10).【分析】一(1)由a与b同同设ah九b二(九,2九)&>0)，代入数量积a•b计算可得;(2)计算b•c，再根据向量的数乘运算求解.【详解】一 一一(1)设a=Xb=(九,2九)仇>0),则有a•b=X+4X=10,:.X=2，.=a=(2,4).b•c=1x2-2x1=0,a•b=10,「.a•(b二c)=0,(a•b)•c=10x(2,-1)=(20,-10).••【点睛】f TT本题考查向量的数乘运算考查向量共线的条件，考查数量积的运算.属于基础题.(1)b=(9,12),c=(4,-3)；(2)3P.【分析】(1)利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件a//b，a1c，列方程求

出％、y的值，可得出向量b和。的坐标;(2)求出m、n的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m与向量n夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y)，且a//b，a1c,，因此，b，因此，b=(9,12),c=(4,-3)；m=2a-b=2x(3,4)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),贝Um贝Um-n=-3X7—4x1=-25，・二m二q(-3»+(-4»=5,=<72+12=5<2,——> TT设m——> TT设m与n的夹角为0,——>一-25-「建 3兀5X5^=-2，0"0"兀,贝10=