利用空间向量解立体几何

向量法立几何基本思与法一基工1。数量积：

ab上的

3。直线

By

,B

4。平面的法向量（略二用量解间置系1。平行关系

(共面与异面

三用量解间离1。点点距离点Pzy,112

2

PQx)1

y)1

z)1

2。点线距离P00

l:

By

第页共11页

=0=0:在直线上取一

,

PQ

n

PQ

APl的距.3.面离的离:y0Q

PQ

,的n

PQ

上的射影，即为

的距四用量解间两骤若为若角3。面面夹角二面实例分第页共11页

＇＇一、运法量求空角线ab所,只a，上

AA和B

角

',BB'

>=θ或π-θ，因为角,所以cos

''

不量1、用向求线平所角

A=(x，y,1直线

nsin-θ)AB,n>｜=AB•nAB•2、用向求面

α

n,2

n,2

—<

n,2

>,<

n,2

>是所求，还是π

n,n

>是所求角。二、运用法量求空距离1求条面线的离

a

n,yz)

,a、b上A、Ba的距d=AB·cos∠BAA

=

|•n||第3页共11页

＇//＇n＇//＇n，为的公垂线段，Fa平行的在a、b上任点A、B,过作AAEF,交a＇于A

AA

∠BAA＇=

〉(角线a、b的距离d=AB·cos∠BAA

=

|AB•|

*||n用a上的任一向a（的AEBFn的

a

••

2求到的离A点到平面α的距离

n,y,1)

,在α内点到平=

|AB•n|||

，

n

与得到方程（类似于前面所法向量与XOY时可改设同)。3求线与线行平的离

n(1,,0)

,a到平

n,y,1)

线a上任取一点A,在B线a到离d=

|•n|n4求平平的离第页共11页

β

n,y,1)

|•n点、B,离d||三、证线、面面平、垂直系线a和ββ的法向

n,2

a//a1

a

1

//1

12四、应举：例1：体ABCD-ABCD中，已知4,=3，1111AA2.E、F分段、BC上且EB=FB=1。1（1求C—DE—C的正切值;1（2求与所成的余弦.11）A为原

,,

x轴，轴,z则D（0，3，0)、D(0,3,2、E(3,0,0，1，10（4,3，2）1DE(3,EC(1,3,2),FD4,2,2)

x,

面DE垂直，则有1DE

z

xn(向量AA(0,0,与平面垂直nAA所的角面角的面角

cos

•AAn|

2

第页共11页

1331313x1331313x（II）设EC与FD所β则11cos

EC•EC

例2如图,已锥P-ABCD面ABCD

0，PD⊥平面ABCD，PD=AD点EAB点为PD中点。（1)证明平面PED⊥平面（2P—AB—F的）∵ABCD是菱形∠DAB=60

,又EAB点,结BD

0

0,0，系D—ECP,设则22

P（0，1

，022PB=

，-1=(,0，）,222=（x,y,1）

=(0），设平面

PBPE

(y•((y•(

,,,0,

xy

xy=(

23

01)

面面PAB第页共11页

1313,0,)xyx1313,0,)xyx解(1）知：平PAB的法n

23

0FAB的

1

=（x，1）知：FB=（，，=(,0，2

FBFE

(y•((y•(

,,)2

1xy1=（1

-

13

0，

—

1）的平面角的cosθ=|cosn〉1=

n•n•n

5143：在棱长4的ABCACD11111111点P在棱CCC11(求直A与平CCB所成的角的大(结果用反三角函数值表11Ⅱ)设O点在面AP是H,求证：H⊥AP;11(Ⅲ)求点BD1Ⅰ)系—ACD,1为第页共11页

BCBC∴A（4，4，0)，P（0,4，1)

=，4，1),

，4,0）为平BCCB11所成的θ=〈AP,11

｜=

4

2

162•

2

43333线P与平面CCB所成的角θa11Ⅲ)设平BD的=（x,y,11∵AB（0，4，0AD—4，0，4

43333⊥,nAD

y

=0，P到平面BD的距离d=1

AP•n

例4：为2，2，3的体ABCD-ABD中，1111求AO与BC的距离11图,建立系D-ACD则（1,1,0（2，11

C

2，3),C（0,2，0）

A

1

BC

B1

设AO与B的公共法向量为11

nx,1)

O

xy•(•xy2第页共11页

2222

3n2AO与BC的11d

=

|B•n1|

0,2,0•,1

3111125：在棱长为ABCD-ABC中E分CD1111111点,求A到面BDFE1系D-ACD,则B(1111）1BD,0,1)2面BDFEn,y,1)

(0,1,

A

D

FB

C

BDBE

,1)•,1)•x

C

n(2,

BA到d1

=

AB•1

五、课练1、如图，已知正四棱柱ABCD—ABCD,AB=1=2，点ECC11111

1点,点F为BD。明EF与CC线(2）111点D到面BDE的离.1第9页共11页

DB

C

2、已知正方形ABCD，边长为1，过作PD⊥平面ABCD,且PD=1，E、FAB和BC的中点）求D到平面PEF的距离）求线AC到平面PEF的距离3、在长方体ABCDBCD中AB=4,BC=3，CC)11