数学人教A版必修5第一章1.2应用举例(第2课时)

第2课时高度问题1．复习巩固正弦定理、余弦定理．2．能够用正弦定理、余弦定理解决高度问题．1．正弦定理(1)定理：在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比______，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝________.(2)应用：正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：①已知______和任意一边，求另两边和另一角；②已知______和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其他的边和角．【做一做1】在△ABC中，A＝30°，B＝45°，a＝eq\r(2)，则b＝__________.2．余弦定理(1)定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的______的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝________.(2)推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝__________________.(3)应用：余弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：①已知三角形的三边，求三角形的三个角；②已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角．【做一做2】在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(3)，则B＝__________.3．测量中的有关概念(1)坡角：坡面与________的夹角，如图所示，α为坡角．(2)坡比：坡面的铅直高度与________之比，即i==tanα，如图所示．(3)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和________视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)．(4)铅直平面：铅直平面是指与海平面______的平面．(5)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段．答案：1．(1)相等eq\f(c,sinC)(2)①两角②两边【做一做1】22．(1)余弦a2＋b2－2abcosC(2)eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【做一做2】eq\f(5π,6)3．(1)水平面(2)水平宽度(3)目标(4)垂直1．高度问题剖析：测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边，如下图．2．利用解三角形解决实际问题剖析：解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用，解与斜三角形有关的实际问题的过程，贯穿了数学建模的思想．这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解．上述思维过程可以用下图表示．解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图，化实际问题为数学问题．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．题型一测量能看到底部但不可到达的物体的高度【例题1】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.分析：先利用三角形内角和定理求出∠CBD的度数，再利用正弦定理求出BC的长，最后在△ABC中求出AB即为塔高．题型二测量不能看到底部且不可到达的物体的高度【例题2】如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.分析：根据已知条件，应该先设法计算出AB的值，再在Rt△ABD中解得BD.答案：【例题1】解：在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴eq\f(BC,sinβ)＝eq\f(s,sin[180°－(α＋β)])，即eq\f(BC,sinβ)＝eq\f(s,sin(α＋β)).∴BC＝eq\f(sinβ,sin(α＋β))·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴eq\f(AB,BC)＝tanθ.∴AB＝BC·tanθ＝eq\f(sinβ·tanθ,sin(α＋β))·s.【例题2】解：在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，则eq\f(BC,sin(α－β))＝eq\f(AB,sin(90°＋β))，∴AB＝eq\f(BCsin(90°＋β),sin(α－β)).在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCsin(90°＋β)sinα,sin(α－β))＝eq\f(hsin(90°＋β)sinα,sin(α－β))，∴CD＝BD－BC＝eq\f(sin(90°＋β)sinα－sin(α－β),sin(α－β))h.1如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于()A．100米 B．米C．米 D．米2如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝__________米．3如图，A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，求山高CD.4如图所示，在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD，在距离B点60m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．5如图，为了测量某塔的高度，测量人员站在A处测得塔尖C的仰角为75.5°，前进38.5m后，在B处测得塔尖的仰角为80°，试计算塔的高度．答案：1．D2.323．解：在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.由，得AD＝＝800(＋1)(m)．∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝800(＋1)(m)．∴山高CD为800(＋1)m.4．解：设CD＝xm，∠BAC＝α，则tanα＝.又∠DAB＝45°