导数在研究函数中的应用测试题

导数在研究函数中的应用测试题一选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1假设函数f(x)在R上是一个可导函数，那么f′(x)＞0在R上恒成立是f(x)在区间(-∞,+∞)内递增的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2〔原创题〕函数单调递增区间是〔〕A.B.C.D.3函数在上是单调函数,那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.4对于上可导的任意函数，假设满足，那么必有〔〕A.B.C.D.5函数有〔〕A.极大值，极小值B.极大值，极小值C.极大值，无极小值D.极小值，无极大值6f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，那么a的取值范围是()A-1＜a＜2B-3＜a＜6Ca＜-1或a＞2Da＜-3或a＞67〔改编题〕函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图，那么函数在开区间内有极小值点〔〕A.个B.个C.个D.个8〔原创题〕函数的最小值为〔〕A. B.C.D.9函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c()A有最大值B有最大值－C有最小值D有最小值－10函数在区间上的最大值为,那么a等于()A.B.C.D.或11〔原创题〕半径为5的半圆有一内接矩形，当周长最大时其边长等于()A.和B.和C.和D.以上都不对12〔2023·山东高考〕函数y=-2sinx的图象大致是()二填空题〔共4小题，每题3分共12分，把答案填在相应的位置上〕13〔原创题〕.函数的单调递增区间是______________.14函数在时有极值，那么的值分别为________.15假设函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，那么a的值为____________.16〔改编题〕.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,那么高为________________.三解答题〔本大题五个小题，共52分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17(本小题10分)的图象经过点，且在处的切线方程是〔1〕求的解析式；〔2〕求的单调递增区间.18(本小题10分)函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)假设对，不等式恒成立，求的取值范围.20(本小题10分)某商品每件本钱9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x〔单位：元，0≤x≤21〕的平方成正比．商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．〔1〕将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；〔2〕如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大20〔改编题〕(本小题10分)a为实数，.⑴求导数；⑵假设，求在[－2，2]上的最大值和最小值；⑶假设在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围.21(原创题)(本小题12分)函数f(x)＝ln(x+1)－ax〔a>0〕⑴求函数f(x)的单调区间；⑵当时，假设，证明：．【挑战能力】★1函数，，其中．〔1〕假设是函数的极值点，求实数的值；〔2〕假设对任意的〔为自然对数的底数〕都有≥成立，求实数的取值范围2是函数的一个极值点,其中(1)求m与n的关系式;(2)求的单调区间;(3)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.★3两县城A和B相聚20km，现方案在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查说明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对称A和城B的总影响度为0.0065.〔1〕将y表示成x的函数；〔11〕讨论〔1〕中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？假设存在，求出该点到城A的距离，假设不存在，说明理由.导数在研究函数中的应用测试题答案一选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1【答案】A.【解析】当f′(x)＞0在R上恒成立时，f(x)递增，反之，f(x)递增时，f′(x)≥0.2【答案】C【解析】令3【答案】B【解析】在恒成立，4【答案】C【解析】当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有得5【答案】C【解析】，当时，；当时，当时，；取不到，无极小值6【答案】D【解析】.由题意：f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不等实根,∴Δ=4a2-12(a+6)＞0,解得:a＜-3或a＞6.7【答案】A【解析】极小值点应有先减后增的特点，即8【答案】A【解析】令，当时，；当时，所以，，在定义域内只有一个极值，所以9【答案】B【解析】.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]，那么15＋2b＋2c≤0b＋c≤－.10【答案】C【解析】当时,最大值为4,不合题意,当时,在上时减函数,最大,,解得,或(舍去).11【答案】B【解析】设矩形的一边长为x，那么另一边长为，那么，，令，解得，〔舍去〕.当时,,当时,,所以当时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为,.12【答案】C.【解析】因为y′=-2cosx，所以令y′=-2cosx>0，得cosx<，此时原函数是增函数；令y′=-2cosx<0，得cosx>，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得C正确.二填空题〔共4小题，每题3分共12分，把答案填在相应的位置上〕13【答案】【解析】因为,所以14【答案】【解析】，当时，不是极值点15【答案】－1【解析】f′(x)＝,当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝，＝<1，不合题意.∴f(x)max＝f(1)＝，a＝－1.16【答案】cm【解析】设圆锥的高为x,那么底面半径为,其体积为,,令,解得(舍去).当时,;当时,,所以当时,V取最大值.三解答题〔本大题五个小题，共52分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17【解析】：〔1〕的图象经过点，那么，切点为，那么的图象经过点得〔2〕单调递增区间为18【解析】：〔1〕由，得，函数的单调区间如下表：极大值极小值所以函数的递增区间是与,递减区间是；〔2〕，当时，为极大值，而，那么为最大值，要使恒成立，那么只需要，得.20【解析】〔1〕设商品降低x元，那么多卖的商品数为kx2，假设记商品在一个星期的销售利润为f(x)，那么依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2)又条件，24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈［0,21］.〔2〕根据〔1〕，我们有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).故x＝12时，f(x)到达极大值11664，因为f(0)=9072，f(12)=11664，所以定价为30－12＝18元时能使一个星期的商品销售利润最大.20【解析】：⑴由原式得∴⑵由得,此时有.由得或x=-1,又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为⑶解法一:的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得即∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2].解法二:令即由求根公式得:所以在和上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时,≥0,从而x1≥-2,x2≤2,即解不等式组得－2≤a≤2.∴a的取值范围是[－2,2].21【解析】：⑴函数f(x)的定义域为．＝－a＝.,当．∴当x∈时，f(x)是增函数，即f(x)的单调递增区间为；当x∈时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为.⑵证明：由⑴知，令，那么＝．∴当x∈〔－1，0〕时，＜0，当x∈〔0，＋∞〕时，＞0．∴当时，≥，即≥0，∴．综上可知，当时，有．【挑战能力】1【解析】〔1〕∵，其定义域为，∴．∵是函数的极值点，∴，即．∵，∴．经检验当时，是函数的极值点，∴．〔2〕对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．当［1，］时，．∴函数在上是增函数．∴．∵，且，．①当且［1，］时，，∴函数在［1，］上是增函数，∴.由≥，得≥，又，∴不合题意．②当1≤≤时，假设1≤＜，那么，假设＜≤，那么．∴函数在上是减函数，在上是增函数．∴.由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．③当且［1，］时，，∴函数在上是减函数．∴.由≥，得≥，又，∴．综上所述，的取值范围为．2【解析】:(1)因为是函数的一个极值点,所以,即所以(2)由(1)知,当时,有当x变化时，与的变化如下表:故有上表知,当时,在单调递减,在单调递增,在上单调递减.(3)由得,即又所以,即…①设其函数开口向上,由题意知①式恒成立,所以,即m的取值范围为3【解析】：〔1〕如右图,由题意知AC⊥BC,,，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时,垃圾处理厂到A