2023年福建省三明市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年福建省三明市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设y=x2-e2，则y=

A.2x-2e

B.2x-e2

C.2x-e

D.2x

2.=（）。A.

B.

C.

D.

3.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

4.

5.A.A.

B.

C.

D.

6.

7.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

8.A.A.x2+cosy

B.x2-cosy

C.x2+cosy+1

D.x2-cosy+1

9.

10.

11.

12.∫cos3xdx=A.A.3sin3x+CB.-3sin3x+CC.(1/3)sin3x+CD.-(1/3)sin3x+C

13.设直线，ι：x/0=y/2=z/1=z/1，则直线ιA.A.过原点且平行于x轴B.不过原点但平行于x轴C.过原点且垂直于x轴D.不过原点但垂直于x轴

14.A.A.1

B.3

C.

D.0

15.A.

B.

C.

D.

16.

A.必定存在且值为0B.必定存在且值可能为0C.必定存在且值一定不为0D.可能不存在

17.

18.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

19.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C

20.已知

则

=()。

A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______。

22.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______．

23.微分方程exy'=1的通解为______．

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.设，则y'=______。

36.设y=x+ex，则y'______．

37.

38.

39.________.

40.设y=ln(x+2)，贝y"=________。

三、计算题(20题)41.证明：

42.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

43.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

44.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

45.

46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

47.

48.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

49.

50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

51.

52.求微分方程的通解．

53.

54.

55.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

57.

58.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

59.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

四、解答题(10题)61.函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定,求dy.

62.设z=x2+y/x，求dz。

63.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a，a2)处作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12．试求：(1)切点A的坐标((a，a2)．(2)过切点A的切线方程．

64.

65.

66.

67.(本题满分10分)

68.将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。

69.

70.(本题满分10分)

五、高等数学(0题)71.曲线y=lnx在点_________处的切线平行于直线y=2x一3。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D

2.D

3.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性。

4.C

5.D

6.D

7.C

8.A

9.A

10.A

11.B

12.C

13.C将原点(0，0，0)代入直线方程成等式，可知直线过原点(或由直线方程x/m=y/n=z/p表示过原点的直线得出上述结论)。直线的方向向量为(0，2，1)，又与x轴同方向的单位向量为(1，0，0)，且

(0，2，1)*(1，0，0)=0，

可知所给直线与x轴垂直，因此选C。

14.B本题考查的知识点为重要极限公式．可知应选B．

15.D本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。因此选D。

16.B

17.D

18.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

19.C

20.A

21.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

22.(0，+∞)本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性．

由于y=ln(1+x2)，其定义域为(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一驻点x=0．

当x＞0时，总有y'＞0，从而y单调增加．

可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0，+∞)．

23.y=-e-x+C本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

由于方程为exy'=1，先变形为

变量分离dy=e-xdx．

两端积分

为所求通解．

24.2x-4y+8z-7=0

25.2本题考查的知识点为二阶导数的运算．

f'(x)=(x2)'=2x，

f"(x)=(2x)'=2．

26.5/2

27.

28.

29.

30.(－1，1)。

本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间。

所给级数为不缺项情形。

(－1，1)。注《纲》中指出，收敛区间为(－R，R)，不包括端点。本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误。

31.

32.

33.

34.

35.本题考查的知识点为导数的运算。

36.1+ex本题考查的知识点为导数的四则运算．

y'=(x+ex)'=x'+(ex)'=1+ex．

37.

本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

38.

39.

40.

41.

42.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

43.函数的定义域为

注意

44.

45.由一阶线性微分方程通解公式有

46.

列表：

说明

47.

48.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

49.

则

50.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

51.

52.

53.

54.

55.由等价无穷小量的定义可知

56.

57.

58.

59.

60.由二重积分物理意义知

61.

62.

63.由于y=x2，则y'=2x，曲线y=x2上过点A(a，a2)的切线方程为y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，曲线y=x2，其过点A(a，a2)的切线及x轴围成的平面图形的面积

由题设S=1/12，可得a=1，因此A点的坐标为(1，1)．过A点的切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1．解析：本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程。本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧。

64.

65.

66.

67.本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序．

积分区域D如图1—3所示．

D可以表示为

【解题指导】

如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序．

68.

69.

本题考查的知识点为被积函数为分段函数的定积分．

当被积函数为分段函数时，应将积分区间分为几个子区间，使被积函数在每个子区间内有唯一的表达式．

70.本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程．

相应的齐次微分方程为

代入原方程可得

原方程的通解为

【解题指导】

由二阶线性常系数