矩形菱形正方形 专项复习资料 配套练习

矩形矩形专矩菱正形聚焦考点☆温习理解一矩1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（）有平行四边形的一切性质（）形的四个角都是直角（）形的对角线相等（）形是轴对称图形3、矩形的判定（）义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（）理1：有三个角是直角四边形是矩形（）理2：对角线相等的平四边形是矩形4、矩形的面积S=长×宽=ab二菱1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（）有平行四边形的一切性质（）形的四条边相等（）形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（）形是轴对称图形3、菱形的判定（）义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（）理1：四边都相等的四形是菱形（）理2：对角线互相垂直平行四边形是菱形

4、菱形的面积S=底边长×=两条对角线乘的一半三正形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（）有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（）方形的四个角都是直角，四条边都相等（）方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（）方形是轴对称图形，有4条称轴（）方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成个全等的小等腰直角三角形（）方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（）定一个四边形是方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（）定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为bS=

2

名师点睛☆典例分类考典一矩的质判【例1】如图，四边形的对角线，交点，已知O是AC的中，＝，∥.(1)求证：△BOE≌DOF1(2)若OD，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．2

【答案）证明见解析矩形，证明见解.【解析】试题分析）由DF与BE平，得到两对内错角相等，再由O为AC的点，得到OA=OC，AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可证；（）OD=

1AC，则四边形ABCD为矩形，理为：由AC得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．（）OD=

AC，则四边形ABCD是矩形，理为：证明：∵△BOE≌DOF，∴OB=OD，∵OD=

AC，∴OA=OB=OC=OD，BD=AC，

．．．．∴四边形ABCD为矩形．考点：全等三角形的判定与性质2.行四边形的判定与性质3.矩形的判定．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.（2015·湖南益阳）如图，在形ABCD，对角线、BD于点O，以下说法错误的是（）A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD【答案】考点：矩形的性质2.（2015.山东临沂第12题，分）图，四边形ABCD为行四边形，延长到E，使DE=AD，接EB，EC，DB.添一个条件，不能使边形成为矩形的是（）(A)AB=BE.(B)BE⊥DC.(C)(D)CE⊥DE.【答案】

考点：矩形的判定考典二菱的质判【例2】(2015·湖北荆门19题，)已知，如图，在四边形ABCD中AB∥，为角线AC上两点，且AE=，∥，平BAD求证：四边形为形．【答案】证明见试题解析．【解析】试题分析：首先证得≌△CDF，得到AB=CD，从而得到四边ABCD是行四边形，然后证得=，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．试题解析：ABCD，BCAD∴四边形是平行四边形，AB∥，∠BAE=∠DCF．又AECFeq\o\ac(△,∴)≌△（AB=，AB∥，∴四边形是平行四边形，平分∠，∴∠=DAF，∵∠BAE=∠DCF，∠=∠DCF∴ADCD∴四边形ABCD是菱．考点：．形的判定；2．全等角形的判定与性质．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的条边都相等形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若证出四

边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边相【举一反三】1.（东滨州第14题4分如图，菱形

ABCD的长为15，∠BAC=

35

，则对角线AC的长为.【答案】24【解析】3试题分析如连BD交AC于O则根据菱形的性质可得AC⊥DOB=OD,OA=OC,由∠BAC==，5AB=15，求BO=9，eq\o\ac(△,Rt)AOB，根据勾股定理可求得OA=12，此AC=24.考点：菱形的性质，解直角三角形2.（2015.山东济宁，第19题8）(题满分8分如图，在△ABC中，AB=AC，DAC△的一个外.实与作根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法.（）∠的平分线AM；（）线段AC的垂平分线，与AM交于点F，与BC交于点E，接AE、CF.猜并明判断四边形AECF的状加以证.

DAB【答案】

试题解析）（）想：四边形AECF是形证明：AB=AC，平∠∴∠B=∠，∠CAD=2∠CAM∵∠是△的角∴∠CAD=∠B+∠∴∠CAD=2∠∴∠CAM=∠∴AF∥

∵EF垂直分AC∴∠AOF=∠COE=∴AOF≌COE∴AF=CE

在四边形中AF∥，AF=CE∴四边形是行四边形又∵EF⊥AC∴四边形是形考点：角平分线，线段的垂直平分线的基本作图，等腰三角形的内外角，三角形全等，菱形的定考典三正形性与定【例3】图，在四边形ABCD中，AB＝BC对角线BD平分ABC，P是BD上点，过点作PMAD，PN⊥CD，垂足分别为M，(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边MPND是正方形．【答案】证明见解析【解析】试题分析）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△，全等三角形性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（）∠°由1）中条件可得四边形MPND是形，再根据两边相等的四边形是正方即可证明四边形MPND是正方形．试题解析）∵对角线BD平ABC∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△中

CB

，

BD∴△ABD≌△CBD（SAS∴∠ADB=∠CDB；考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质证明一个四边形是正形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相.【举一反三】（凉州如在方中GBC任意一点连AGDE⊥于EBF∥DE交AG于F，探究线段、、三者间数量关系，并说明理由．【答案】AF=BF+EF，由见试题解析．【解析】

考点：．等三角形的判定与性质2．正方形的性质．和差倍分．考典四特平四形合【例4】如图，在Rt

△ABC中∠ACB＝°，过点C的线∥ABD为AB边一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接，BE.(1)求证：＝；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案）证明见解析四边形BECD是形）A=45°，四边形BECD是方．理由见解析.【解析】试题分析）先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（）出四边形是行四边形，求出CD=BD，据菱形的判定推出即可；（）出CDB=90°，再根据方形的判定推出即可．试题解析）证明：∵DE⊥BC∴∠DFB=90°∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥，∵MN∥，即CE∥，

∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（）∠°，四边形BECD正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°∠A=45°∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵为BA中点∴CD⊥，∴∠CDB=90°∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠°，四边形BECD正方形．考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．【举一反三】（2015.山莱芜第23题，10分题满分10分在

ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线、，别交平行四边形的四条边于E、、、四点连结、、、HE

（）图①，试判断四边形的状，并说明理由；（）图②，当⊥时，四边形EGFH形状是；（）图③，在（2）的条件下若=，边形EGFH的形是；（）图④，在（3）的条件下若⊥，判断四边形的状，并说明理由【答案）平行四边形（2）形（3）菱形4正方形试题解析：解）边形是行四边形．证明：∵∴点O是

的对角线、交于点O．的对称中心．∴=，=．∴四边形EGFH平行四边形．（）形．（）形．（）边形是正方形．∵=，

∴

是矩形．又∵⊥，∴∴

是菱形．是正方形，∴∠BOC=90°，GBO=∠FCO=45°．OBOC∵⊥，∴∠GOF=90°．∴∠BOGCOF∴△BOG≌△COF．∴=，∴=．由（1）知四边形EGFH是行边形，又∵⊥GH，=GH∴四边形EGFH正方形．考点：平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质课时作业☆能力提升一、选择题1.南充）如图，菱形的长为8，高AE为3cm，则对角线长长比为（

）A．1：B．：C．1：

D．：

【答案】．【解析】

试题分析：如图，设，相于点，∵菱形ABCD的长为，∴==2cm∵高AE长cm∴=

AB2AE

2

cmBE=1cmACAB=2OA=1cm⊥OB=

2OA2

=

（∴=2=，∴AC：=1．选D．考点：菱形的性质．2.（2015资阳顺连接四边形ABCD四边的中点到的图形一个矩形四边形ABCD一A．矩形B．菱形．对角线相等的四边形．对角线互相垂直的四边形【答案】．

）考点：中点四边形．3泸州）菱形具有而平四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分．角线互相垂直【答案】．【解析】

33试题分析：．正确，两组对边分别平行；B．不正确，两组对角分别相等两者均有此性质正确C．不正确，对角线互相平分，者均具有此性质；D．菱形的对角线互相垂直但平四边形却无此性质．故选D．考点：．形的性质；2．平行边形的性质．（2015·辽宁丹东）过矩形的对角线AC的点作EFAC，BC边于E，交AD边点，分别连接AE、CF，若AB

，∠DCF

30°，则EF的为).A.2B.3C.D.2

【答案】A.考点：矩形及菱形性质2.解角三角.5.(2015.安徽省第9题4分如矩ABCD中＝BC点在上点F在上，点G、在对线AC上．若四边是形，则AE的长是（）A．25B．5．5．6【答案】C.

；；【解析】试题分析：连接交AC于M,四边形EGFH为菱形可得FM=EM,EF⊥；用AAS或ASA”证FMC≌△EMA,根据全等三角形的性质得AM=MC；在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，由勾股定理求得45，且tanBAC=

11在eq\o\ac(△,Rt)AME中AM=AC=25,tanBAC=22

可得EM=5；在eq\o\ac(△,Rt)AME中由勾股定理求得AE=5.故答案选考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函.6.（2015.山东德州第11题，3）如图是△ABC的角平分线DE，分别是△和△的高，得到下列四个结论：①=；②⊥；③当∠=90°时，四边形AEDF是方形；④+=+．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D②③④【答案】．【解析】试题分析：如果=OD则四边形是矩形，A=90°，不符合题意，∴①不确；∵是△的角平分线∠EAD∠△和△中∠EAD=∠=AFD°=，∴△AED≌△AFD（AAS=，=，∴+=+，∴④正确；在△和△中，∵AEAF，∠EAO∠FAO，AO∴eq\o\ac(△,AE)eq\o\ac(△,)0≌eq\o\ac(△,)0（=，∵=，∴AO是EF的垂线，⊥，∴②正确；

∵当∠=90°时，四边形AEDF四个角都是直角，∴四边形AEDF矩形，又DE=DF∴四边形AEDF是正方形，∴③正确．综上，可得正确的是：②③④．故选．考点：．平分线的性质；2．等三角形的判定与性质3．正方形的判定．7.(2015.山东日照6题)小明在学习了正方形之后桌文出了道题列四个条件，②∠ABC=90°，③AC=BD，中两个作为补充条件，使ABCD为方形（如图有列四种选法，你认为其中错误的是（）A.①B.②③C.①③D.④【答案】【解析】考点：正方形的判定．8.(2015.陕西省第9题3分eq\o\ac(□,在)ABCDAB=10BC=14EF分为边BCAD上的若边形AECF

为正方形，则AE的为（）A.7B.4或10C.59D.6或8【答案】【解析】试题分析：如图设AE=x则BE=14-x因为四边形AECF为方

所以∠AEC=∠0°在△ABE中，有勾股定理可x)2100故选D.AD

解得x=6或8.

B考点：正方形的性质、勾股定.二、填空题1.（山东泰安，第23题分如图，在矩形中N分别是边BC的点EF别是线段BM、的中点．若AB=8，=12则四边形的长为．【答案】．【解析】试题分析：∵、分是边ADBC的中点，=8，AD=12，∴AM=DM=6∵四边形ABCD矩形，∴∠=∠D=90°∴CM=10∵、F分是线段、的中点，∴==5，∴，都的中位线，∴EN==5，∴四边形的周长为5+5+5+5=20，答案为20．考点：．角形中位线定理2勾股定理3矩形的性质．

2..（2015·宁沈阳）如图，方形绕B逆时旋转30°后得到正方形BEFGEF与AD交于点H，延长交GF于．若正方形边长为，AK=．【答案】

3

．【解析】试题分析：连接，如图所示：∵四边形ABCD和边形BEFG是正形，∴=∠∠BEH=∠=90°，由旋转的性质得ABEB，=30°，∴ABE°，在ABH和eq\o\ac(△,Rt)EBH中，∵，=EB，Rt△ABHeq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)△（=∠=

∠ABE=30°=EH∴ABABH=

=1∴=1，∴=3，eq\o\ac(△,Rt)FKH，∠=30°=2=3故答案为：．

3

，∴=﹣AH=

2(=2

；考点：旋转的性质．3.(2015.山东日照，第14题，)长为的一正方形和一个等边三角形如图摆放，则△的积为．【答案】【解析】

考点：正方形的性质；2.等边角形的性质3.含30度角直角三角形4.(2015·辽宁葫芦岛分如图，在菱形ABCD中，AB=10，=12则它的面积是．【答案】．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是形，∴AC⊥，AC=12AO=6，∵AB=10，BO

2

=8，∴=16，∴菱形的面积S=

1AC•=××．答案为96．2考点：菱形的性质．5．(2015·龙江哈尔滨）在矩形ABCD中AD=5AB=4，点E，在线AD上且四边形BCFE为菱，若线段EF的点为点M，则线段AM的长______________.【答案】5.5或0.5【解析】试题分析：菱形BCFE的边长为5本题需要分种情况来进行讨论，当点F在线AD上时，则AM=5.5，当点E在射DA上时AM=0.5

考点：菱形的性.6.（2015·黑龙江省黑河市、齐哈尔市、大兴安岭）菱形ABCD的角线=6cmBDcm以为边作正方形ACEF，BF长为．【答案】5cm或73cm【解析】试题分析：∵AC=6，BD=4，∴=

1AC=×，=BD=×4=2，如图，方形ACEFAC2的上方时，过点B作⊥AF交FA的延长线于，==3cmFG+AG=6+2=8cm在eq\o\ac(△,Rt)BFG，BF=

BG

2

2

=

2

2

=73cm，如图2正形ACEF在的方时过B作BGAF于G=AO=3cm=AFAG=6﹣cm在中，=

BG

2

2

=

2

2

=5cm，综上所述，长为或73．答案为：5cm73cm．考点：．形的性质；2．正方的性质．分类讨论．三、解答题1.（分•聊城，第21题）如图，eq\o\ac(△,在)中，AB=BC，BD平∠．边形ABED是行四边形，DE交BC于F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【答案】

【解析】试题分析已条件易推知边形B是平行四边形等eq\o\ac(△,腰)ABC“线合一”的性质证得D⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到BECD是形．考点：矩形的判定2.（2015巴分如图，菱形中对角线AC与相交于点，过且与AD分别交于点M和点N．（）你判断和ON的量关系，并说明理由；（）点作DE∥AC交BC的延长线于点E当=6，时，△的长．【答案）OM=，理由见试题解析）

．【解析】试题分析）根据四边形是形，判断出∥BC，即可推得OM=．（）先根据四边形ABCD是菱形，判断出⊥BD，AD===6，而求出BO、的；然后据DEAC，∥CE，判断出四边形是行四边形，求出==6，即可求eq\o\ac(△,出)BDE的周长是多少．试题解析）∵四边形ABCD是形∴∥，=，

AOON

，∴=．

（2）四边形ABCD是形，∴AC⊥BD，=BCAB，∴BO

2

AO

2

=

=，BDBO=

5=45∵∥AD∥CE∴边ACED是行四边形∴DE==6∴BDE的长是：BD++=++（+CE）=45+8+（6+6）

，即△的长是

．考点：．形的性质；2．全等