考点16 正、余弦定理及解三角形-高考文科数学考点一遍过

考点16正余弦定理及解三形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问.一正定．正定在ABC中若角，B，应的三边分别是，，c，各边和它所对角的正弦的比相等，即c==sinsinBsin．常变

.正弦定理对任意三角形都成立（）（）

sinsinB,,,BA,CsinsinB;sinBsinasinbaaasinsinBCsinAsinACAsinsinC

;（）b:c:sin:sinC;（）弦定理的推广：．解的题

bc==sinAsinBsinC

，其中R为△的接圆的半径.（）知两角和任意一边，求其他的边和角；（）知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．．在△ABC，知a，b和A

时三形的况

二余定．余定三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，22bcA,b22cosab.．余定的论从余弦定理，可以得到它的推论：

2

22a2,cosBca2

2

.．解的题（）知三边，求三个角；（）知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．．利余定解角的骤

三解角的际用．三形面公设

△ABC

的三边为a，，，对应的三个角分别为A，，，其面积为S（）

S

(为边的；（）

SbcsinAacsinBabC

；（）

S

r()(r为三角形的内切圆半．．三形高公hsin=sinBsin=asin，h=asinB=sin．B．测中术（）角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯(如图①．（）位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(图②)．（）向角相对于某一正方向的水平.①北偏东，由北方向顺时针旋转α到目方如图③)；②北偏西，由北方向逆时针旋转α到目方向；③南偏西等其他方向角类似．

（）角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度(图④，角坡角；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之如图④i．解角实应题步

为坡度．度又称为坡比．考向一利用、余弦定理解三形利用正、余弦定理求边和角的方法：（）据题目给出的条(即边角作相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（）择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用.（）运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（）角形的内角和定理：在中A

，其变式有：

B

，

B2等．（）角形中的三角函数关系：sin()sinC

；

)

；sin

BABCcos；sin

.

典1在

△

中，内角

所对的边分别为，，，则

ca

的值为A．1B．

33C．

55

D．

77【答案】又，余弦定理可得，即，所以.故选D典2已知

△

的内角

的对边分别为,且.(1)求；(2)若

,线段

的垂直平分线交

于点,求

的长.【解析】(1)因为由余弦定理得，又，以.（）（）,

,所以

.根据余弦定理可得所以.

，

由正弦定理得，

2522B

，解得

.225cosB从而.5设的中垂线交于点,因为在Rt△BDE中,

，所以

BD

22

，5因为

为线段

的中垂线，所以

.1．在

△ABC

中，

,

b

,

c

分别是角A

，

，

C

的对边，且

2sinCBbcosA

，则A

=A．6C．△ABC2．在

中，边

上一点满

，

B．D．.

4π（）（）

，求边，求.

的长；考向二三角形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（）角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方得出边的相应关系，从而判断三角形的形.（）边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用

B

这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏

典3在

△ABC

中，角A,

所对的边分别是a,b,c

，满足

ACcos

，且a,b,c

成等比数列（）角B

的大小；（）

a2btanAtantan

,试判断三角形的形.【解析）已知

AcossinAsinCcos

,∵B，sin

,又

bsinC

,2sin

32

，即

sinB

32

，而ab

成等比数列，所以不最大，故

为锐角，所以

60

.（）

ac2tanAC

,得

accosCbcosBAB

,利用正弦定理可得

cos2cos

,又因为

2π,所以,33所以

△

是等边三角.3．在△中，，分为角，，所对的边，若

，则

△A．一定是锐角三角形C．一定是斜三角形

B．一定是钝角三角形D．一定是直角三角形考向三与积、范围有关的问题（）三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的小，或该角的正、余弦)，结合题意求夹这个角的两边或该两之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结图形恰当选择面积公式是解题的关键．（）角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的系，利用

面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该(或两)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典4在

△

中，角

的对边分别为，．（）角；（），△ABC积的最大值．【解析）由已知和正弦定理，，解得．

，【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边大角定理进行判断典5在△，

，是

边上的一点（）（）

，求

，求△

的长；周长的取值范围【解析）在

△ADC

中，AD＝，

，所以＝cos∠DAC＝1×2所以cos∠DAC＝.

×cos∠DAC＝3,

3232由余弦定理得所以CD＝.

2AD2AC

＝12＋－2×2

×1×＝，（）

△ABC

中，由正弦定理得

ABBCAC23

，，A

ππsin,1

.，故△周长的取值范围为.4．在△中内角（）；

所对的边分别是，已知.（）

时，求

的取值范围．5．在△中内角，，所对边分别为，且△的面积.（）；（）、、成差数列，△的积为，求.考向四三角中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定解决问题解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形.典6如图，△中为边一点，且DADC，知

，BC.

（）△ABC是角三角，DC

，求角A的大小；（）△的积为

，求AB的长.【解析）在△BCD中

4

6，BC，，3由正弦定理得

BCCDsinBDCsin

，解得

sin

1

226

32

，32πBDC所以或.3因为△是角三角形，所以又DA，以.

.（）题意可得

S

△

1π12，得BD，243由余弦定理得

CD2BC

225，解得493

，则

ABAD

2

.所以AB

的长为

2

.6．如图，在△中角A，，的边分别为a，b，c，(sinCcos)

.

（）角B的大小；（）

π，D为△外点，DB2，，四边形积的最大.考向五解三形的实际应用解三角形应用题的两种情形：）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角中，可用正弦定理或余弦定理求解；）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未量，从几个三角形中列出方程组，方组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，中档题解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而用正、余弦定理求解典7如图，一条巡逻船由南向北行驶，在

处测得山顶

在北偏东

15

方向上，匀速向北航行20分到达B处，测得山顶P位北偏东，此时测得山顶P的角为山高为

千米，（）的航行速度是每小时多少千米？（）该船继续航0钟到达D

处，问此时山顶位于

处的南偏东什么方向？

AB所以，2米6米2米AB所以，2米6米2米6米【解析）在

△BCP

中，

tanPBC

2

，在△ABC中由正弦定理得

AB2ABsinBACBCAsin45

，故船的航行速度是每小时

千米.（）△BCD中由余弦定理得

，在

△

中，由正弦定理得

BC2sinDBCsinCDB2

,所以山顶位于D处南偏东7．某新建的信号发射塔的高度

，且设计要求为29米

29.5米为量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部

在同一水平面内的两个观测点

,D

，测得

BDC60

，

，CD

米，并在点处正上方处测发射塔顶部A的角为30°，且CE米则发射塔高A．C．

B．D．

考向六三角中的综合问题1．三角形的应用中要注意与本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“

,

”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．意与三角函数的图象与性的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质.3．、余弦定理也可能结合平向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典8在

△ABC

中，已知

，向量6

,1)n)

，且

.

（）A的值；uu（）点在BC上，且3BDBC

，AD，求

△ABC

的面积．【解析知

sinAcosB

5πB以cos(6

A)

，即

cosAsin，2

sin(06

.又

ππ2ππ，所以(,)，以A，.66典9

△ABC

的内角AB，所的边分别为，，.（）ab，成差数列，证明：sinA＋sin＝2sin(＋)；（）ab，成比数列，求的小值．【解析）因为a，，成差数列，所以＋＝.由正弦定理得sin＋sinC＝.因为sinBπ－A＋)]＝＋，所以sinAsin＝2sin(A＋)（）为a，，成比数列，所以b＝.a＋－a＋－ac2－由余弦定理得cos＝＝≥＝，22ac2ac2当且仅当＝时号成立．所以cosB的小值为

.8．已知函数

（）图象上相邻的最高点间的距离是.（）函数的解析式；（）锐角△中内角

满足，求

的取值范围

1．在

△ABC

中，角AB，对边为a，，c，若a＝

，＝3，＝60°则A=A．45°C．135°

B．45°或135D．60°或120°2．在，若tan·tan＜，该三角形一定是A．锐角三角形C．直角三角形

B．钝角三角形D．以上都有可能3．在

ABC

中，

，

，则角的值范围是A．C．

B．D．4．

△ABC

中，AB2

，

，

A

，则

边上的高等于A．

3154

B．

34315C．D．25．已知△的积为，A．C．

，则

的最小值为B．D．6．设

△ABC

的三个内角

所对的边分别为，果

，且，ABC么A．2C．

外接圆的半径为

B．4D．17．已知△的角

的对边分别为，

，，A．2C．

B．D．

8．若

ABC

的三个内角

所对的边分别是，

，且，A．10C．7

B．8D．49．已知A．2C．

ABC

的面积为，个内角，，的边分别为，，，若B．4D．

，，10．在

△ABC

中，为BC边一点，若△

是等边三角形，且

，则

△

的面积的最大值为.11如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶时测得公路北侧一山顶D在偏北30的方向上，行驶600m后达处，测得此山顶在西偏北

75

的方向上，仰角为30

，则此山的高度CD___________m.12．在

△

中，角，，的边分别为，，，已

，，．（）；（）

的值．

13

△ABC

中角

C

所对的边分别为

知向量mb,a

nBA

，且mn．（）角的大小；（），△ABC的积为

，求

a

的值．14图示中点为BC边一点BD

,

E为AC的,

AE

327,,27

2π.3（）

的长；（）△ADE

的面积

15．在△ABC中A,（）的值；

的对边分别为a,c

，且acosbBcos

成等差数列．（）

2sin

16．已知函数（）时，求（）△ABC中若

的值域；

求△的积1新标全国Ⅰ文科eq\o\ac(△,）)的角边分别为a=2，=，C

BAC)

，A．C．

B．D．

2新课标全国Ⅲ文科

eq\o\ac(△,）)ABC

的内角

C

的对边分别为

b

的积为

a

2

24

2

，则

CA．C．

B．D．

3．（2017新课全国Ⅲ文科）△ABC的角，B，C的对边分别为a，，.已=60°b=6c=3，则=_________.4．（2016上文科）已知

△ABC

的三边长分别为3,5,7，则该三形的外接圆半径等_________.5．（2018新课标全国Ⅰ文科）

△ABC

的内角

A，，C的对边分别为

ac

，已知biin，则△

的面积为________．6．（2017浙）已知△ABC=AC=4，=2．点为延长线上一点，=2，结，BDC的面积是_，cos∠．7．（2018江苏）在△中角A,B,C所的边分别为a,bc，120的平分线交AC于点，且则a的小值为▲．8．2017山文科）在△ABC中,角AB,C对边分别为a,b,,已b=3,

,

ABC

,求A和a9．（2018天津科）在ABC中内角A，，C所对的边分别b，．知sinA=cos(–（Ⅰ）求角的小；（Ⅱ）设a=2，=3，求b和sin(2–的值．

)．

变式拓展1．【答案】【解析

2sinCBbcosA

由正弦定理可得

c

A

即

B

.由余弦定理可得

2

2

2

2

2

2

，整理可得bc22

，∴

cos

212

，∵

，∴

，故选C．

（）△ACD中，由正弦定理可得

，∵

，∴

，∵

，∴

，∴

，∵

，∴

，∴

，∴

，化简得∵，.

，即

，4析）由正弦定理可得

，又

，所以

，则

，因为，所以

，

四边A四边A因为，所以.（）正弦定理得，，所以

，因为，所以所以.5析）∵∵，.（）、、成差数列，∴两边同时平方得：又由（）知：，∴，∴，，由余弦定理得，∴.

，，

，∴，即，，，得，6析）在△ABC中由aC)得AB(sincosC)

，即B)(sinC，∴，∵B)

，sinCC.

，又

s

，∴

sinB

，即（）△BCD中BD2，，BC24cosD

.又

，∴

△ABC

为等腰直角三角形，则

S

△

11BC244

，又

S

△BDC

5πDCD，SDsinsin()44

，

2222故当

时，四边形的面积有最大值，最大值为

.7案】A【解析】过点作EF

，垂足为

，则EFCE

米，

AEF30

，在

△BDC

中，由正弦定理得

CD40sinsin45

米在

Rt△

3中，AFEF203

米所以

AF2

米，符合设计要求.故选．（）则，又，以.因为△是角三角形，所以

得，，，则

，所以

，故

.考点冲关1．【答案】【解析】∵＝，＝3，B＝60°，∴由正弦定理可得

sin

，∴A

36=3

.

又<b，∴＝45°2．【答案】【解析】由已知条件，得

sinBcos(A)cosC即0,BABB说明cos，cos，cos中且只有一个为负．因此△一是钝角三角形．3．【答案】【解析为

BCsinC

以

以必为锐角.4．【答案】【解析】设角A，，所的边分别为a，，c，

边上的高为h，因为，

，所以

，化简得b，得b.又

15115315，所以由h得h444

.故A.6．【答案】【解析】因为，所以，即，所以，以，因为，以由正弦定理可

△ABC

的外接圆半径为

R

1132sinA

，故选D．27．【答案】【解析】∵

是三角形的内角，∴，∴

，

由

得

aBsin

，故选D．9．【答案】【解析】

的面积为

.则由，得.化简得

，即

，所以，得

或（去.所以.所以10．【答案】【解析】如.

.故选A．AD2DC48在△ACD中，AD

，整理得AD

2

2

48ADAD，∴

AD

，当且仅当=时取等号，∴

△ADC

的面积S

3sinAD，4∴

△ADC

的面积的最大值为43．11．【答案】

【解析依题意，

，

在中由ABCBACACB

，得45

，因为600m，以由正弦定理可得

600

，即

2

m.在△BCD

中，因为30

，

3002m

，所以

300

，所以

100

m.12．【解析）

△

中，由余弦定理得

，解得．（）

△

中，由

得，∴，在

中，由正弦定理得，

3310

，10∴又

，，故，∴，∴

．13析）∵∥

，∴

sinA3acosB

，由正弦定理，得

sinB3sincosB

，∵

sinA，∴B3cos，tanB

，∵

0，B

．（）三角形的面积公式

S

12

3sinB，得ac

，解得ac，由余弦定理

2

a

2

2

，得4

ac

)

2

a

2

，故

．

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)14【解析eq\o\ac(△,)ABD中，

2221B2)27

,sinB)

217321)727214

,由正弦定理

ADBDBDB,sinBsinBADsin

1

21721

.（）1）知AD

，依题意得

14ACAE.在△中由余弦定理得AD2ADcosADC

,即

DC2

,即2DC0

,解得

6（负值舍去.故

eq\o\ac(△,S)ADC

1332sin222

,从而

eq\o\ac(△,S)

1324

.15．【解析）题意得

aAbcosB

，由正弦定理得

2cosCRcos

，即)sin2

，所以

sinBsinB

．又在△ABC中则2B或BB

，因为

0，所以B

.（）为

π，所A3

.2sin2Acos(cosA

)332Asin2cosA2223sin(2A

.因为

πππ，3

，所以

π

，

所以

2sin

A

,1

．（）△中即得

所对的边分别为.又易得

，即

即直通高考1．【答案】【解析】由题意A)sinAcos)

得sinAcosCAsinsinCAC

，

即

sinC(sinA)

πsinCsin(，以A4

．由正弦定理

acA

得

23sin4

，即

sinC

，因为c<，所以C<A所以

，故选B．【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到．2．【答案】【解析】由题可知，以，余弦定理，得

，因为，以，故选C.3．【答案】75°【解析】由正弦定理

bsinB

，得

sinB

C

，结合可得B，则AB.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化