考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

ni1n12knni1n12knrxb第一章概

率

论

的

基

本

概

念定义：

随试E的个结果样本组样空，的集为E的机事件，单个样本点基本件1．，发生必导致B发．

2．AB和件A，B至少个发生，B发．3．B记AB积件，A，同时发生AB发生4．A－差件A发，不生A－B发生事件关系：

5．B=，A与B不容互斥，A与B不

6B=AB=与B互逆事件或对事，能同时发生，基本事件两两互不相容．

A与B中必有且仅有一个发生，记B=

AA

．事件运算：交律、结合律、分配率略．概率：概就是n向无穷时的频率P(A)．

德摩根律：

ABB

，

ABB

．概率性质

1．Ø)=02．(有可加性P(AA…A)=(A)+PA)+…+P(A)，互相容．3．若，(B－A)=()－P．．对任意事件A，有P(A)(A)．．(AB)=(A)+()－(AB)．古典概型：即可能概型，满足S含有限个元素．．每个基本事件发生的可能性相同．等概公式：

A中样本点数(A)nS中本点总数

．

超几何分布：

中

r

．条件概率：

PA)

PP(A)

．

乘法定理：

(AB)(BP(A)(ABC)A)(A)

．全概率公式：

(A)P(AB)P(B)(AB)P)(AB)(B)122n

，其中B为S的划．i贝叶斯公式：

(BA)i

(AB))ii(A)

，

()P(A)P(B)jjj

或

(BA

(A)()(A)()(A)(B)

．独立性：

满足P(AB)=(A)B)，A，相互立简称A，独立定理一：A，B独，则．()

定理二：A，B独，则A与

，

A

与

，

A

与

也相互独立．第二章随变量及其分布(0—1)分布：{X}p

k

(1)

，=01（0<<1

伯努利实验：

实验只有两个可能的结果A及

A

．二项式分布：记（，

{}

k

k

．重努利实验：

独立且每次试验概率保持不变．其中A发生k，即二项式分布．泊松分布：

记π（

P{}

ek!

，

k

．泊松定理：

Cn

n

p

(1p)

e!

，其中

np

．当

n20

，

0.05

应用泊松定理近似效果颇佳．随机变量分布函数：

F(P{X}

．

P{x}F(x)1

．连续型随机变量：

Fx)

(td

，X连续型机量

f()

为X的概密函，称概率度概率密度性1．()(x)dx{X}F(x)121质：f(x)在点续．P{X=}=0．

xx

(xd

Ff(x)

，均匀分布：记X~U(，)；

x，axf()；(x)ax，其它

．

性质：对accl≤，lP{c}b2YXYp2YXYp()p．(x)f(,)du，，ijijij指数分布：

xf(x)

；

xF(x)0，其

．

无忆：{}{X}

．正态分布：

记

~(

)；(x

(exp[]；(x)2

x

texp[]dt2

．性质：1．(x)关于μ对，且{-h<X≤μ}=P{≤+h}2有最大值(μ)=(

)

-1

．标准正态分布：

x)]2

x)

t]dt2

即=1时．的态分布X~N(0，

性质：

)

．正态分布的线性转化：

对

~(

有

~

；且有

F(x)P{}{

Xx})

．正态分布概率转化：

P{}12

x2)1

)

；

P{t)t)

．3σ法：=(1)－(-1)=68.26%=－(-2)=95.44%；Φ－，P落在μ-，+)．上ɑ分点：对X~N(0，，满条件Pz}=，<1，称点为准正态分布上α分位点αα常用上ɑ分点：

0.0013.090

0.0052.576

0.012.326

0.0251.960

0.051.645

0.101.282设X密函数f(，

，若Y=X，则

若设X~N(0，1)，则有Y服自由度为1的χ分布：

f(y)0，

[f()(yy

1y2e2，f(y)设X密函数f(x)，设g()处可导且恒有′()>0(或g()<0)，Y=是连续型随机变量，且有h(是g(x)的函数若=min{g(∞)，定理：

[h()]，f()其他

(+)}=max{()，g(+)}；②若f)在a，外等于零x)在a]上单调α(a(b)}g(a，(b)}．应用：

Y=aX~N(μ+b(|a|))

，第三章多随机变量及其分布二维随机

分布函数联合分布函数)：

F(x,y){()(y)}

，记作：

{y}

．变量的分布函数：

P{}F(xy)(x)(xy)x,y)212111

．1（，y）是和的减函数，即>x时（y）（，>时（（yF（，）2．（x，）1且F（，）=0，（，），（∞，−∞）=0，（+，+）=1．性质：3．（+0，）F（，（，+0）=（x，F（，）关于x右连，关于y也右续．4．对于任意的x，)，，)y，P{x<X，<Yy}．离散X，Yf(，)性

连续型xjxy（，f,y)ddy(1．(，y)02．

．

．质：

3．

P{(Y)}

G

f(x)

．

4．若(，y在点，y连续，则有

2

F(x)

fx)

．n维：维机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似．边缘分布：F(，()依次称为二维随机变量，）关于X和的缘布数(F(x，，F(yF∞，yY2YijijijY2222YijijijY222y．离散型：

i

和

分别X和的边缘布

pp{Xx}iijij

p

{Yy}．ijji连续型：

f()

，()

X和Y的边密函

)X

(,y)y

，(y)

(y

．二维正态

f(x,y

2

1

(exp{[1

(xy)()2

]}

．

记X，)~N(，，12σσρ)1分布：

1(xf(x)exp[2

]

，

．

1(yf(y)exp[22

]

，

．离散型条件分布律：

P{Xx,Y}P{XxYy}P{y}pj

．

PX}ji

P{,Yy}ijP{}i

iji

．连续型条件分布：

条件概率密度：

ff

Y

(xy(|x)

f(x,)f(yf(x)f(x)X

条件分布函数：

XYF|X

(xy{x|y}(y|){yX}

xy

f(x)f(yf(,y)f)

d含义：当

0时，{X|

}

x

f

X

)xFX

|y

．均匀分布：若

(x,y)Gf(,y)其他

，则称X，Y)在G上从均匀布若{xYy}=PX}{≤y，F(，)=Fx))，称随机变量X和是相互立．独立定义：独立条件或可等价为：连续型(，)=f()(；离散型P{=Y=y}=P{=xy}．yijij正态独立：对二维正态随机变量，Y互对立的充要条件是：参数ρ．n维延：上概念可推广至n维机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多(1~-1元)的．定理：

设（X，，，）（，，，）互立，则和相互独立．又若h，是续函数，则ni（，，…，）Y，，…，）相互独立．mnZ=X+Y分布：

若连续型XY)率密度为fxy，则为续型且其概率密度为

f)X

f()dy

或

f

X

)

f(z)d

．f和f的记f*ff()f()()yXYX卷公：相互独立，边缘密度分别为f()(．Y

f()(z)x

，其中除继上述条件，且X和正态卷积：

若X和Y相独立且X~(μ，)记YN(μ，)，则对Z=X+Y有~(+，+)．12111．上述结论可推广至n个立正态随机变量2有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．伽马分布：

记

~，．

x，xf()其

，其中

t

dt

．若X和Y独且X~(，)记~(，)，则有X+Y~Γ(+，)．可推广到个立分布变量之和．

：

f

YX

z)

f(x,xz)x，若X和Y相独立，则有f(zYX

xf()()XY

．ZXY分布：

f()

1fx,)dx

，若X和Y相独立，则有

f()XY

1zf()f(d

．大小分布：若X和相独立，且有=max{XY}及=min{Y，则的布函数()=()()N的分函T数：F()=1[1－(z)][1－F()]，以上结果可推广到n个立随机变量的情况．第四章随变量的数字特征数学期望：简称期或均值记为E)；离散型：

(X

．连续型：

E(X)

xf()x

．设是机变量X的数：=gX)(是连续函)．定理：1．若X是散型，且分布律为PX=x}=p，则：

)(x)

．

2．若是续，概率密度为fx，则：

()

g()f(xdx

．设是机变量X，的数：g(X，)(g是连续函数)．定理推广：1．离散型：分布律P{X==y}=p：j

()ji

(,)pijij

．2．连续型：

()

g(x,)(y)xy期望性质：

设C是数，和Y1．()=．．(CX)=()．．E(+Y)=E()+(．是随机变量，则：4．若Y互独立的，则E()=E()()．方差：

记()Var()，D()=Var()={[－E)]}．

标准(均差：

记为()(X)=

)

．通式：

(X)E()(X)]

．

D(

[(X)]2，(X)

[(x)]

f)dx

．标准化变x记X*量：

其

()，(X)

，X*为X的标准变．(X

*

)0，D(

*

)

．设C是常，1．()=0．D)=C(，DX+)=D(．方差性质：X和Y是机3．D(X+)=DX)+D()+2{(－))(－(Y))}若X，相独立(+)=(X)+DY)．变量，则：

4．()=0的要条件是{=E()}=1正态线性变换：

若

XN(i

i

)i

，

C

i

是不全为的常，则

XX12

X~Nn

iiii

Cii

)

．切比雪夫不等式：

P{X

}或{

}，中

()

，

2

D(X)

，为任意正数．协方差：

记Cov(X){[()][Y)]}D(X+)=()+DY)+2Cov(X，)，Cov(，Y)=(XY)－()E)．

X与Y的相关系数：

Cov(,)()(Y

．性质：1．Cov(，bYabCov(，)，a，是数．2．Cov(+，)=Cov(X，)+Cov(，)．令=[(－(bX))]，则e取小值时有eE[(aX))]))0

，

其中

E()(，b0

Cov(,()

．系数性质：

1．ρ|．．ρ|=的要条件是：存在常数a，b使P{=abX．XYXY||大越线性关系越明显，ρ|=1时Y+bX；反之亦然，当ρ=0时X和Y不关XYXYX和相互立，则X和Y不关；但和不相X和Y不一相互独立．k阶(阶点)：()．kl混合矩EX)．定义：中矩{[－E(X．kl混合中矩E{[X－(X)][Y－)]}

n维随变量的协差矩：

C

c11c21cn1

cc12cc222cncnn

，

c)ijij={[－)][－(ij)]}．n维正分布：

f(,,1

,xn

)

1n2

1exp{()detC2

T

C

(X)}

，

Xxx,,x)2nμ,,)Tn

．性质：

1．维正随变量X，，，的每一个分量(i=1，…，)是正态随机变量，反之，亦成ni立．2维机变量服从n维正态分的充要条件是X的任意性合l+l…nn+服一维正态分(其中l，，，不全为零．k~2k2nn1n{||}0B~(02．，若存在使→∞2kkk~2k2nn1n{||}0B~(02．，若存在使→∞2kk时，niiiiin2222223．若X，，…，)服从n维正态分布，且Y，，，是(j=1，，，的线性函数，则(，jY…Y)也服从多维正态分．4．若X，，…，)服从n维态分布，则“互独立”与“两不相关”等价．ni第五章大定律及中心极限定理弱大数定理：

若，X，是相互独立并服从同一分布的随机变量序列，且(μ，对任意ε>0有

limPX

或X

1n，Xn

．定义：

Y，，…Y，…是一个随机变量序n列，a是一个常数．若对任意，有

P{|

}

则称序列Y，…依率敛a

YPan伯努利大数定理：

f对任意ε>0有limPApn

lim

其中f是n次立重复实验中事件A．发的次数p是件A每次试验中发生的概率．中心极限定理

定理一：定理二：定理三：定义：定义：

设XX,…,X,…互独立n近的X并服从同一分布E()=，(nN(01)或~(01)X~(μ)knD()=>0则n时有设XX,…,X,相互独立且X)=，DX)=(X)kk2k2BBnn设~b(n,)，则→∞时，))~N，1)，X．nkk第六章样及抽样分布总：全部值；个：一个值；量个体数有限体容量有限；无总：容量无限．样：,X…,X相独立并服从同一分布F随机变量，称从F得的容量为n简单机本频率直方图：

图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形．

横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距Δ大小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位纵坐标：频率/组（总长度：；小区间长度：频距

图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线．定义：

样p分位：记x，1．样本中有np值．．本中有n(1p)个值．ippx选：记

，当np][，当()()

．

分位数x，记为Q，称为样中位．分位数x，记为，为一四位．分位数x，记为，为三四位．箱线图：抽样分布：

图形特点为据中心，区[QM[]，图形：[，max]据个数各占，区间越短数据密集．minmax四位间：记IQR=；数据X<Q－1.5或X>Q+1.5IQR，就认为X是疑异常．111n样本平均值：X样本方差：)(XnX)niii样本阶n样k阶n样本标准差：S21XX)，(原点)矩：i中矩：i经验分布函数：

1F(x)(x)x)n

表示的个样本,,中大于的机变量的个数．n自由度为χ分布：

记~（X，其中X,X,…是来自总体，的样本．E(χ)=，(χ)=2n．χ+~χ（n+11

f()

n

x2，，其

．2()222t(n)2222222S2222()222t(n)2222222S2222ˆˆˆlilii2L((;L(x;ˆi1,2,,k或（）求得．ˆˆχ分布的分位点：

对于0<<1满足{)}(y)y称为()的上α分点1当n充分时n>40)，2n)(z2，其中z是标准正态分布的上α分位点．自由度为分布：

记t

t~/

，

()，

其中(0，Y~(，XY相互独立．

t)

n2]t2)n

2

h()图形关于t=0对；当充大时分近似于(0，分布．t分布分位点：

对于0<<1满足{)}hd则称t((n)的α分点由()称性可知()=－n)．当>45时()，是准正态分布的上分位点．ααααα自由度为(，的F分布

Un记FF(n，)1，其中χ(n，V~()，，相互独立1/F~(，

(y)

n)2](nn)2y2)12y]()222

F分布分位点：

对于0<<1满足{n,n)}12重要性质：(，)=1/(n，．αα

y)dy称(n为F(nn)(,)

的上α分点定理一：

设X,X,X是自N，σ)的样本，则有

~(

n)

，其中

X

是样本均值．定理二：

设X,X,…是自N(，)的样本样本均值和样本方差分别为

X

，

，则有1．

(n

~

(n

；．

X

与

相互独立．定理三：

设X,X,…是自N(，)的样本样本均值和样本方差分别为

X

，

，则有

XS

~(n

．定理四：

设,,…,X与Y,Y…,分别是来自N()和(μ的本相互独立设122这两个样本的样本均值和样本方差分别记为

X

，Y

，2，则1．111

(n12

．2σ=1

2

=

())时，1w2

t(2)2

中

S

(nS2122

SSww

．第七章参估计定义：

估量

(X,)，计：(,x)1n1

，统称估．矩估计法：

1令(l=Xl(l,k)(k为未数个数联立方程组，求估计．ni设总体X均值μ及A，2X2X)．差都存在，则有nini似函：离散：

n或连续：iiii

，L(

)

化简可去掉与θ无关的因式项．最大似然估计法：

为(dL或d

最大值，可由方程dlnL(得．d

当多个未知参数，，，时可由方程组1kddLdii最大似然估计的不性若=()有单反函数θ=()，则有

(

)

，其中

为最大似然估计．截尾样本取样：

定截样：抽样件品，固定时间段t内记产品个体失效时(t≤…≤)失效产品数m量．定截样：抽样n件产，固定失效产品数量数量m记录产品个体失效时(≤…t)．mˆ12ˆˆˆˆˆ(XX)(,X,mˆ12ˆˆˆˆˆ(XX)(,X,)与ˆˆˆˆˆˆ2P2样本容量n>50时22n2结尾样本最大似然估计：

定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布X~（即品平均寿命．产时失概率Pt=ftit，命超过t的概率{m}m则L)(F{m})(i)，简得ids()Lt)，lnL(：，中sttt+…t+(－m)t，为实总dm时．定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有(t)=tt+…+(n－)，(0120

(t)

，

(t)

无偏性：

估计量

,X,)1

的E

)

存在且

，则称

是

的无估量有效性：

ˆ12n

都是

的无偏估计量，若()

，则较1

有．相合性：

设

,X,)1

的估计量若对于任意

有

limP{|

}

则

是

的相估量置信区间：

P{,X)X)}和别置信下和置上，则2n

是

的一个置信水平为1信区，置信平

．设XX…X是来枢量WW分a不等式置信水平置区间n正态样本自体~(，σ)的X置信区间：样，则有的信~N(0,1)(Xz)区间：nnθ置区1．枢轴：即函数=(X，…，；)且函数分布不依赖未知参数．

其中α/2为上分位点如上讨论标间的求解：2．对于给定置信水1定出两常数a，P{<}=从得到置信区间．注(nX)np(1p~NP()(1p)(0－1)分布的间估计：

(n

2

)

2

nX2

2

)nX

2

若a

2

，

nX2

2

)

，

c

，则有置信区间(

ac2

，

bac)2a

单侧置信

若

P{(，)或)是θ的信水平为1单侧信区间：

间正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平1

）待估

其他

枢轴量W的布

置信区间

单侧置信限一

μ

σ

已知

Z

N(0,1)

(X

n

z2

)

Xz

，

Xz个正态

μσ未知

t(nSn

St

St，t总体

σ

μ未

(S

2

~

(

(21

(nS1

2

，

(

22222SFF22222222σ≤σ≥σ=σσ2222SFF22222222σ≤σ≥σ=σσ>σ<σσ222222222222222222μ－μ12

σ1已知

)ZnnN

1n12

XX

两个正态总体

μ－μ12

σ=1=未知

2

(X)tSw1~t(n2)1(S2S12

S1SSww

XS2X2

2