数学苏教版选修2-2学案第二章推理与证明2-1-3-

/11/11/2.1.3推理案例赏析学习目标1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系，利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.2.掌握两种推理形式的具体格式．知识点合情推理与演绎推理思考1合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理？答案合情推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．思考2“演绎推理是由一般到特殊的推理，因此演绎推理所得结论一定正确”，这种说法对吗？答案不对，演绎推理只有在大、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的才结论才一定正确．梳理合情推理与演绎推理的比较合情推理演绎推理归纳推理类比推理推理形式由部分到整体，由特殊到一般由特殊到特殊一般到特殊结论不一定正确，有待证明在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确作用猜测和发现结论，探索和提供证明思路证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程联系合情推理的的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的类型一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)a2＝________，a3＝________，a4＝________，a5＝________；(3)an＋1＝an＋________.答案(1)6162525166(2)24711(3)n反思与感悟对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．跟踪训练1下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．答案an＝3n－1(n∈N*，n≥1)解析a1＝1＝30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，a4＝27＝33，…，由此猜想an＝3n－1(n∈N*，n≥1)．类型二类比推理的应用例2通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…；(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n＋1)3－13＝3×(12＋22＋…＋n2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．解∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…；(n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1.将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n，∴13＋23＋…＋n3＝eq\f(1,4)[(n＋1)4－14－6×eq\f(1,6)n(n＋1)·(2n＋1)－4×eq\f(n?n＋1?,2)－n]＝eq\f(1,4)n2(n＋1)2.反思与感悟(1)解答本题关键在于弄清原题解题的方法，将所要求值的式子与原题的条件相类比，从而产生解题方法上的迁移．(2)解答此类问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别，然后进行推测或证明．跟踪训练2在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．答案Seq\o\al(2,4)＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)解析由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为Seq\o\al(2,4)＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).类型三合情推理、演绎推理的综合应用例3已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试对双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．解类似性质：若M，N是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则点N的坐标为(－m，－n)．因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2，同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2.则kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．故kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．反思与感悟合情推理是提出猜想、提供解题的思路，而演绎推理则是证明猜想、判断猜想的正确性，通过合情推理得到的猜想缺少证明过程是不完整的，平时解题都是二者的结合．跟踪训练3已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列bn＝neq\r(a1a2…an)(n∈N*)也是等比数列．”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)也是等差数列．证明：设等差数列{an}的公差为d，则bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)＝eq\f(na1＋\f(n?n－1?d,2),n)＝a1＋eq\f(d,2)(n－1)，所以数列{bn}是以a1为首项，eq\f(d,2)为公差的等差数列．1．如图所示的三角形数组是我国古代数学家扬辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是________．答案6解析由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a＝3＋3＝6.2．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415…按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．答案eq\f(n2－n＋6,2)解析前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即eq\f(n2－n,2)个，因此第n行第3个数是全体正整数中第eq\f(n2－n,2)＋3个，即为eq\f(n2－n＋6,2).3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是________．(填序号)答案②③解析根据空间直线、平面的平行与垂直的判定与性质定理知，②③正确，①④错误．4．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))时，其离心率为eq\f(\r(5)－1,2)，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝________.答案eq\f(\r(5)＋1,2)解析根据“黄金椭圆”的性质是eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．在“黄金双曲线”中，∵eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.又eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac.等号两边同除以a2求得e＝eq\f(\r(5)＋1,2).1．归纳推理和类比推理的是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理形式和所得结论的正确性讲，演绎推理与合情推理存在差异．从数学发现与认识事物的过程发挥的作用看，合情推理与演绎推理是相辅相成、相互为用的，合情推理提出猜想、发现结论，为演绎推理确定了目标和方向．演绎推理不仅为合情推理提供了前提，而且对合情推理的结果进行“判决”和证明．两者的综合运用才能推动人们对事物的认识不断向前发展．课时作业一、填空题1．给出下列推理：①由A，B为两个不同的定点，动点P满足|PA－PB|＝2a＜AB，得点P的轨迹为双曲线；②由a1＝1，an＝3n－1(n≥2)，求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式；③科学利用鱼的沉浮原理制造潜艇．其中是归纳推理的是________．(填序号)答案②解析①是演绎推理，②是归纳推理，③类比推理．2．设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋________.答案k－1解析当k棱柱增加一条侧棱时，这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而当增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.3．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________；f(n)＝________.(答案用数字或含n的式子表示)答案eq\f(n2＋n,2)12eq\f(n?n－1??n－2?,2)解析所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n＋n＋eq\f(n?n－3?,2)＝eq\f(n2＋n,2)，f(4)＝4×2＋eq\f(4×1,2)×2＝12，f(n)＝n(n－2)＋eq\f(n?n－3?,2)×(n－2)＝eq\f(n?n－1??n－2?,2).4．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________________________________________________________.答案夹在两个平行平面间的平行线段相等解析平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立，在四边形ABCD中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立，在五边形ABCDE中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，猜想在n边形A1A2…An中的不等式为________．答案eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,?n－2?π)(n≥3，n∈N*)解析不等式左边和式个数分别为3,4,5，…时，不等式右边的数依次为eq\f(9,π)，eq\f(16,2π)，eq\f(25,3π)，…，其分子依次为32,42,52，…，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，….故当不等式左边和式个数为n时，归纳猜想右边应为eq\f(n2,?n－2?π)(n≥3，n∈N*)，故所求为eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,?n－2?)π(n≥3，n∈N*)．6．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图①所示的六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图②所示的六边形，第四件首饰由28颗珠宝构成如图③所示的六边形，第五件首饰由45颗珠宝构成如图④所示的六边形，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝．使其构成更大的六边形，依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝(结果用n表示)．答案662n2－n解析设第n件首饰上所用珠宝数为an颗，据题意可知，a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45，即a2＝2×3，a3＝3×5，a4＝4×7，a5＝5×9，a6＝6×11，由此猜测，an＝n(2n－1)＝2n2－n.7．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，,5，))33＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7，,9，,11，))43＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13，,15，,17，,19，))…仿此，若m3的“分裂数”中有一个数是2015，则m＝________.答案45解析根据分裂特点，设最小数为a1，则ma1＋eq\f(m?m－1?,2)×2＝m3，∴a1＝m2－m＋1.∵a1为奇数，又452＝2025，∴猜想m＝45.验证453＝91125＝eq\f(?1981＋2069?×45,2)，故a1＝1981，满足a1＝m2－m＋1.8．“1<a<2”是“对任意的正数x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析∵1<a<2，∴2x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(2x·\f(a,x))＝2eq\r(2a)>2eq\r(2)>1，∴1<a<2?2x＋eq\f(a,x)≥1，而当a＝2时，2x＋eq\f(a,x)＝2x＋eq\f(2,x)≥2eq\r(2x·\f(2,x))＝4>1，∴对任意的正数x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1，∴“1<a<2”是“对任意的正数x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”的充分不必要条件．9．观察以下等式：sin230°＋cos290°＋eq\r(3)sin30°·cos90°＝eq\f(1,4)；sin225°＋cos285°＋eq\r(3)sin25°·cos85°＝eq\f(1,4)；sin210°＋cos270°＋eq\r(3)sin10°·cos70°＝eq\f(1,4).推测出反映一般规律的等式：_______________________________________________.答案sin2α＋cos2(60°＋α)＋eq\r(3)sinα·cos(60°＋α)＝eq\f(1,4)解析∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°，∴其一般规律为sin2α＋cos2(60°＋α)＋eq\r(3)sinα·cos(60°＋α)＝eq\f(1,4).10．四个小动物换座位，开始是鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号位子，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么2012次互换座位后，小兔的座位对应的是编号________．答案3解析通过第1次、第2次、第3次、第4次互换后得到的结果与开始时一样，所以周期为4，又2012能被4整除，所以经过第2012次互换座位后，应为开始时的结果，即小兔的座位对应的是编号3.二、解答题11．定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.求证：f(x)是偶函数．解令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，因此，f(x)是偶函数．12．阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知m1，m2∈R，m1＋m2＝1，求证：meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).证明：构造函数f(x)＝(x－m1)2＋(x－m2)2，则f(x)＝2x2－2(m1＋m2)x＋meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2)＝2x2－2x＋(meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2))．因为对一切x∈R恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2))≤0，从而得meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).(1)若m1，m2，…，mn∈R，m1＋m2＋…＋mn＝1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．(1)解已知m1，m2，…，mn∈R，且m1＋m2＋…＋mn＝1，则meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2)＋…＋meq\o\al(2,n)≥eq\f(1,n).(2)证明构造函数f(x)＝(x－m1)2＋(x－m2)2＋…＋(x－mn)2，则f(x)＝nx2－2(m1＋m2＋…＋mn)x＋(meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2)＋…＋meq\o\al(2,n))＝nx2－2x＋(meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2)＋…＋meq\o\al(2,n))．因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2)＋…＋meq\o\al(2,n))≤0，从而得meq\o\al(2,1)＋meq\o\al(2,2)＋…＋meq\o\al(2,n)≥eq\f(1,n).13．设a＞0，且a≠1，f(x)＝eq\f(1,ax＋\r(a)).(1)求值：f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．解(1)f(0)＋f(1)＝eq\f(1,1＋\r(a))＋eq\f(1,a＋\r(a))＝eq\f(1,\r(a))＝eq\f(\r(a),a)，f(－1)＋f(2)＝eq\f(1,a－1＋\r(a))＋eq\f(1,a2＋\r(a))＝eq\f(1,\r(a))＝eq\f(\r(a),a).(2)由(1)归纳得对一切实数x，有f(x)＋f(1－x)＝eq\f(\r(a),a).证明：f(x)＋f(1－x)＝eq\f(1,ax＋\r(a))＋eq\f(1,a1－x＋\r(a))＝eq\f(1,ax＋\r(a))＋eq\f(ax,\r(a)?\r(a)＋ax?)＝eq\f(\r(a)＋ax