新教材北师大版必修第二册6.6.1柱锥台的侧面展开与面积学案

§6简单几何体的再认识6．1柱、锥、台的侧面展开与面积课程标准核心素养1．借助生活中的实物进行演示，理解柱、锥、台的侧面展开，理解面积的求法．2．掌握柱、锥、台的表面积的求法.通过本节的学习，培养学生借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.必备知识·探新知基础知识知识点1侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积．知识点2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧＝c·l＝2πrlr—底面半径l—圆柱母线长c—底面圆周长圆锥S圆锥侧＝eq\f(1,2)c·l＝πrlr—底面半径l—圆柱母线长c—底面圆周长圆台S圆台侧＝eq\f(1,2)(c1＋c2)l＝π(r1＋r2)lr1、r2—上、下底面半径c1、c2—上、下底面圆周长l—侧面母线长思考1：从运动的角度看，圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间存在怎样的联系？提示：S圆柱侧＝2πrleq\o(→,\s\up7(r1＝r2＝r))S圆台侧＝π(r1＋r2)leq\o(→,\s\up7(r1＝0))S圆锥侧＝πrl.知识点3直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝c·hc—底面周长h—高正棱锥S正棱锥侧＝eq\f(1,2)c·h′c—底面周长h′—斜高正棱台S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)·h′c、c′—上、下底面周长h′—斜高思考2：正棱锥、正棱台的斜高和高有什么区别？提示：正棱锥、正棱台的斜高是正棱锥和正棱台侧面图形的高，而正棱锥的高是指顶点到底面的距离，正棱台的高是上下两个底面之间的距离．基础自测1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．(√)(2)三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．(×)(3)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(4)将圆心角为eq\f(2π,3)，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)[解析](2)只有直棱柱才可以用cl来进行求解．(3)令圆柱的底面半径为R，母线为l，则S＝πR2，∴R2＝eq\f(S,π)，∵侧面展开图是一个正方形．∴l＝2R，∴圆柱侧面积S＝l2＝4R2＝4·eq\f(S,π)＝eq\f(4S,π).(4)设圆锥的母线长为l，底面半径为R，∵3π＝eq\f(π,3)×l2，∴l＝3，又2πR＝eq\f(2π,3)×3，∴R＝1，∴圆锥的表面积S＝πR2＋πRl＝4π.2．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为(A)A．22 B．20C．10 D．11[解析]所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.3．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为eq\r(2)，体对角线长为eq\r(6)，则这个棱柱的侧面积是(D)A．2 B．4C．6 D．8[解析]易知底面正方形的边长为1，棱柱的高为2，所以这个棱柱的侧面积是4×2＝8.4．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(C)A．12 B．1eq\r(3)C．1eq\r(5) D．eq\r(3)2[解析]设圆锥底面半径为r，高为h＝2r，∴其母线长l＝eq\r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2，S底S侧＝1eq\r(5).5．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面积是54π.[解析]因为圆台的上底面半径r′＝2，下底面半径r＝7，母线长l＝6，所以圆台的侧面积S侧＝π(r＋r′)l＝π×(7＋2)×6＝54π.关键能力·攻重难题型探究题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(B)A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的侧面积为2π.(3)圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为168π.[解析](1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq\r(2)，底面圆的直径为2eq\r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.(2)由题意，母线长l＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.(3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝eq\r(h2＋?R－r?2)＝eq\r(?4r?2＋?3r?2)＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.[归纳提升]求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程．【对点练习】?(1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为7.(2)一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为4πS.(3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是1.[解析](1)设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.(2)设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝eq\r(\f(S,π))，底面周长c＝2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·eq\f(S,π)＝4πS.(3)设圆锥底面半径为r，母线长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(π×r×l＝2π，,2×π×r＝\f(1,2)×2×π×l))，解得r＝1，l＝2.题型二棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积例2现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．[分析]利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长．[解析]如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.∴直四棱柱的底面积S底＝eq\f(1,2)AC·BD＝20eq\r(7).∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20eq\r(7)＝160＋40eq\r(7).[归纳提升]棱柱、棱锥、棱台的表面积求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和．【对点练习】?已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．[解析]∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形．设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×eq\f(1,2)AB×SE＝2×5×eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝25eq\r(3)，S表＝S侧＋S底＝25eq\r(3)＋25＝25(eq\r(3)＋1)．题型三柱、锥、台的侧面展开与表面积的实际应用例3有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．[解析]因为圆柱形铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示．其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2π，长为圆柱的高3π，则大矩形的对角线长即为铁丝的长度的最小值．此时铁丝的长度最小值为eq\r(9π2＋16π2)＝5π，即铁丝的最短长度为5π.[归纳提升]最短路线的求解思路求几何体侧面上两点间距离的最小值是一种常见的问题，常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题，求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股定理等知识，这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现．【对点练习】?用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．[解析]如图1为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图2所示，由图知正方形的边长为2eq\r(2)，其面积为8.课堂检测·固双基1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(A)A．2π B．πC．2 D．1[解析]本题考查了空间想象能力，圆柱侧面积公式．该圆柱侧面展开图是长宽分别为1,2π的矩形，面积为S＝2π.2．已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的全面积为(A)A．3eq\r(3)a2＋6ah B．eq\r(3)a2＋6ahC．4eq\r(3)a2＋6ah D．eq\f(3\r(3),2)a2＋6ah[解析]柱体的全面积是侧面积与底面积的和，由题意得S侧＝6ah，两个底面积2S底＝3eq\r(3)a2，则全面积为6ah＋3eq\r(3)a2.3．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是eq\r(3).[解析]此四面体的一个面的面积为eq\f(\r(3),4)，故它的表面积为4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).4．圆台的两底面半