新教材北师大版必修第二册6.3.2刻画空间点线面位置关系的公理(基本事实4定理)学案

3．2刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、定理)课程标准核心素养1．了解基本事实4和等角定理．2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行、异面的位置关系．3．会求异面直线所成的角.通过本节的学习，培养学生利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的素养.必备知识·探新知基础知识知识点1基本事实4平行于同一条直线的两条直线互相平行．用符号表示为eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.知识点2异面直线(1)异面直线的定义和理解①定义：不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线．②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内．(2)异面直线的表示为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托．如图：(3)空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一,个公共点.,平行直线：在同一平面内，没有公共点.)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))思考1：没有公共点的两条直线一定是平行直线吗？提示：没有公共点的两条直线也可能是异面直线．思考2：异面直线就是在两个不同平面里的两条直线，这种说法正确吗？提示：不能把异面直线误认为是分别在不同平面内的两条直线，如图，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．所以，这种说法是不正确的．知识点3等角定理定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．思考3：当两个角的两边分别对应平行，这两个角什么时候相等，什么时候互补呢？提示：如图：①两个角的两条边分别平行，并且方向相同(如图1)时，两个角相等；②两个角的两条边分别平行，并且方向相反(如图2)时，两个角相等；③两个角的两条边分别平行，其中一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反(如图3)时，两个角互补．知识点4异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角)．若两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条直线互相垂直，记作a⊥b.基础自测1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行．(×)(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行．(×)(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．(√)(4)两条异面直线一定在两个不同的平面内．(√)(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．(×)[解析](1)垂直于同一直线的两条直线可能互相平行、相交或异面．(2)分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面．(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c可能是异面直线，也可能共面．2．直线a与平面α平行，直线b?α，则a与b的位置关系是(D)A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面[解析]∵a∥α，∴a与α无公共点，又∵b?α，∴a与b无公共点，∴a∥b或a与b异面．3．已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是45°.[解析]连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AEEB＝AFFC，则EF与B1C1的位置关系是平行[解析]在△ABC中，因为AEEB＝AFFC，所以EF∥BC．又在三棱柱ABC－A1B1C1中BC∥B1C1，所以EF∥B关键能力·攻重难题型探究题型一直线与直线位置关系的判断例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是平行(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是异面(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是相交(4)直线AB与直线B1C的位置关系是异面[解析](1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内(3)直线D1D与直线D1C相交于点D(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内[归纳提升]判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l?α，Aeq\o(∈,/)α，B∈α，Beq\o(∈,/)l?AB与l是异面直线(如图)．【对点练习】?正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(CA．4 B．5C．6 D．7[解析]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，题型二基本事实4的应用例2如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF[解析]如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1．因为E是AA1的中点，所以EQ綊A1D1．因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1所以四边形DQC1F所以C1Q綊FD．又B1E綊C1Q，所以B1E綊FD，故四边形B1EDF为平行四边形．[归纳提升]证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.【对点练习】?如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形[解析]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.因为E，G分别为棱AA1，BB所以EG綊A1B1．又A1B1綊C1D1，所以EG綊C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，所以D1E綊C1G因为F，G分别为棱CC1，BB1的中点，所以C1F綊BG，从而四边形BGC1F为平行四边形，所以BF綊C1G，又D1E綊C1G，所以D1E綊BF，从而四边形不妨设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，易知BE＝BF＝eq\f(\r(5),2)a，故平行四边形EBFD1是菱形．题型三等角定理的应用例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点．求证(1)EF綊E1F1(2)∠EA1F＝∠E1CF[分析](1)eq\x(EF綊\f(1,2)BD，E1F1綊\f(1,2)B1D1)→eq\x(BD綊B1D1)→eq\x(EF綊E1F1)(2)eq\x(CF1∥A1E，A1F∥CE1)→eq\x(∠EA1F＝∠E1CF1)[解析](1)如图，连接BD、B1D1，在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EF綊eq\f(1,2)BD．同理，E1F1綊eq\f(1,2)B1D1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綊DD1所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD綊B1D1，又EF綊eq\f(1,2)BD，E1F1綊eq\f(1,2)B1D1，所以EF綊E1F(2)取A1B1的中点M，连接F1M、BM，则MF1綊B1又B1C1綊BC，所以MF1綊BC所以四边形BMF1C所以BM∥CF1．因为A1M＝eq\f(1,2)A1B1，BE＝eq\f(1,2)AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.同理可证A1F∥CE因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1[归纳提升]求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．【对点练习】?在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E[证明]因为F为BB1的中点，所以BF＝eq\f(1,2)BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝eq\f(1,2)DD1．又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1所以四边形D1GBF为平行四边形．所以D1F∥GB，同理D1E∥G所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.题型四异面直线所成的角例4在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．[解析]如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝eq\f(1,2)AB，GF∥CD且GF＝eq\f(1,2)CD．由AB＝CD知EG＝FG从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．因为AB与CD所成角为30°，所以∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.[归纳提升]求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．(2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．【对点练习】?已知正方体ABCD－A1B1C1D1中E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和EF所成的角[解析]连接BC1，A1C1，A1B根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角)．因为BC1＝A1C1＝A1B，所以△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B＝60°，即异面直线课堂检测·固双基1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b(D)A．共面 B．平行C．异面 D．平行或异面[解析]直线a、b没有公共点时，a、b可能平行，也可能异面．2．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(B)A．3条 B．4条C．5条 D．6条[解析]EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D3．若直线aeq\o(?,/)平面α，则下列结论中成立的个数是(A)①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线．A．0 B．1C．2 D．3[解析]∵直线aeq\o(?,/)平面α，∴直线a与平面α可能相交或平行．若a与α平行，则α内与a平行的直线有无数条；若a与α相交，则α内的直线可以与a相交，也可以与a异面．故①②③④都不正确．4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为(A)A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(14),4)C．eq\f(\r(7),7) D