新教材高中数学第五章三角函数.1任意角和弧度制（4）教案新人教A版必修第一册

/06/6/5.1.2弧度制前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本172-174页，思考并完成以下问题1．1弧度的含义是？2．角度值与弧度制如何互化？3．扇形的弧长公式与面积公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360(2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算零负数正数零负数正数3.角度制与弧度制的转算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0ππeq\f(π,3)eq\f(π,2)2π3π5ππeq\f(3π,2)2π5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝αr．(2)扇形面积公式：S＝12lr＝1四、典例分析、举一反三题型一角度制与弧度制的互化例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)eq\f(π,10)；(3)－eq\f(4π,3)；(4)112°30′.【答案】（1）－eq\f(5π,2)rad；(2)18°；(3)－240°；(4)eq\f(5π,8)rad.【解析】(1)－450°＝－450×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,2)rad；(2)eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°；(3)－eq\f(4π,3)rad＝－eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）跟踪训练一1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11π,5).【答案】（1）eq\f(π,9)rad；（2）－eq\f(π,12)rad；（3）105°；（4）－396°.【解析】(1)20°＝eq\f(20π,180)rad＝eq\f(π,9)rad.(2)－15°＝－eq\f(15π,180)rad＝－eq\f(π,12)rad.(3)eq\f(7π,12)rad＝eq\f(7,12)×180°＝105°.(4)－eq\f(11π,5)rad＝－eq\f(11,5)×180°＝－396°.题型二用弧度制表示角的集合例2用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．【答案】（1）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z))))；（2）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))；（3）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z)))).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))).(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).解题技巧：(表示角的集合注意事项)1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用.跟踪训练二1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．①②【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)如题图②，以OA为终边的角为eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)＋2kπ，))k∈Z))，M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).题型三扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝eq\f(20－2r,r).由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)·eq\f(20－2r,r)·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq\f(1,2)|α|r2和S＝eq\f(1,2)lr.(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6cm,则该圆心角对应的弧长为()A.480cm B.240cm C.【答案】C【解析】:80°=π180×80=4π又r=6cm,故弧长l=αr=4π9×6=8π32、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB