新教材高中数学第八章立体几何初步.2空间点直线平面之间的位置关系课件2新人教A版必修第二册

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

【情境探究】1.空间中,没有公共点的两条直线一定平行吗提示:不一定,在平面内没有公共点的两条直线平行,在空间没有公共点的两条直线可能平行,也可能异面.必备知识生成2.如图长方体,观察图中的直线,你能得出哪些位置关系

提示:①平行关系:图中AD与BC,BC与B1C1等所在直线是平行关系.②相交关系:图中AB与BC,A1B与BC等所在直线是相交关系.③异面关系:图中AA1与BC所在直线,它们既不相交也不平行,是异面关系.3.观察如下图的长方体ABCD-A′B′C′D′,答复下面问题.(1)①直线D′C与平面DCC′D′有多少个公共点提示:直线D′C与平面DCC′D′有无数个公共点.②直线D′C与平面BCC′B′有多少个公共点提示:直线D′C与平面BCC′B′有一个公共点.③直线D′C与平面ABB′A′有多少个公共点提示:直线D′C与平面ABB′A′没有公共点.(2)直线D′C与平面DCC′D′,平面BCC′B′,平面ABB′A′存在怎样的位置关系提示:直线D′C在平面DCC′D′内,与平面BCC′B′相交,与平面ABB′A′平行.4.观察如图长方体ABCDA′B′C′D′,在长方体的6个面中,两两之间的位置关系有几种提示:有两种位置关系:平行与相交,如平面AA′B′B∥平面DD′C′C,平面AA′B′B与平面BB′C′C相交于直线BB′.【知识生成】1.点、直线、平面位置关系的符号表示一般用符号“∈〞“∩〞“⊂〞等描述点、直线、平面之间的位置关系.假设A是点,l,m是直线,α,β是平面,那么有:图形语言文字语言符号语言

点A在直线l上____

点A在直线l外___

点A在平面α内______

点A在平面α外_____

直线l在平面α内_____A∈lA∉lA∈αA∉αl⊂α图形语言文字语言符号语言

直线l在平面α外____

直线l,m相交于点A______

直线l与平面α相交于点A_______

平面α,β相交于直线l________l⊄αl∩m=Al∩α=Aα∩β=l2.异面直线的定义及画法(1)异面直线:不同在_________平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(平面衬托法):如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.任何一个3.空间直线的位置关系(1)从是否有公共点的角度来分:(2)从是否共面的角度来分:4.直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点个数_______________符号语言描述___________________图形语言描述直线与平面相交或平行的情况统称为_____________.无数个1个0个a⊂αa∩α=Aa∥α直线在平面外5.平面与平面的位置关系位置关系图形语言描述符号语言描述公共直线两平面平行

_______无两平面相交

________________________α∥βα∩β=a有一条公共直线关键能力探究探究点一用图形和符号语言表示点、线、面之间的位置关系【典例1】如下图,写出图形中的点、直线和平面之间的关系.(1)图(1)可以用几何符号表示为:________;

(2)图(2)可以用几何符号表示为:________.

【思维导引】解答此题关键是找出图中根本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系,最后再用符号语言写出.【解析】(1)图(1)可以用几何符号表示为:α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB,a∥b,即平面α与平面β相交于直线AB,直线a在平面α内,直线b在平面β内,直线a平行于直线AB,直线b平行于直线AB.(2)图(2)可以用几何符号表示为:α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B∉MN,C∉MN.即平面α与平面β相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上,点B在α内但不在直线MN上,点C在平面β内但不在直线MN上.答案:(1)α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB,a∥b(2)α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B∉MN,C∉MN【类题通法】用符号语言表示点、线、面位置关系(1)关键是正确理解点、线、面表示的含义,点表示元素,线、面都是点的集合.(2)符号语言是数学中常用的一种语言,熟练掌握它与自然语言、图形语言之间的转化,是解决几何问题的根底.【定向训练】用符号语言表示以下语句,并画出图形.(1)三个平面α、β、γ相交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC;(2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.【解析】(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示:如图1所示.(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.图形表示:如图2所示.【补偿训练】1.假设点M在直线a上,a在平面α内,那么M、a、α间的关系可记为________.

答案:M∈a,a⊂α,M∈α2.根据图形,填入相应的符号:A______平面ABC,A______平面BCD,BD______平面ABC,平面ABC∩平面ACD=______.

答案:∈

∉

⊄

AC探究点二空间点、线、面的位置关系【典例2】长方体ABCD-A1B1C1D1,如下图,AC与BD相交于点M,那么以下说法正确的选项是()①点M在直线AC上,点B在直线A1B1外;②直线AC与A1D1相交;③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行;④直线AC与平面A1B1C1D1异面;⑤直线BC与A1B1异面.A.①③④ B.①②⑤C.①③⑤ D.②③④⑤【思维导引】根据图形直接作出判断.【解析】选C.①中,点M是直线AC与BD的交点,点M在直线AC上,点B显然在直线A1B1外,正确;②中,直线AC与A1D1异面,错误;③中,两平面没有公共点,互相平行,正确;④中,直线与平面的位置关系中没有“异面〞,直线AC与平面A1B1C1D1平行,错误;⑤正确.【类题通法】此题主要考查长方体模型中点、线、面之间的位置关系,做题时,不要主观臆断,要认真观察模型,体会其空间关系.【定向训练】两平面α,β平行,且a⊂α,以下四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选B.①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行,有一些是异面直线;②正确;③根据定义a与β无公共点,正确.探究点三空间两直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定【典例3】a、b、c是空间三条直线,下面给出三个说法:①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②如果a、b是相交直线,b、c是相交直线,那么a、c也是相交直线;③如果a、b共面,b、c共面,那么a、c也共面.在上述说法中,正确说法的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【思维导引】从是否有公共点和是否共面考虑.【解析】选A.①a与c可能相交,可能平行也可能异面;②a与c可能异面,可能相交,也可能平行;③a与c可能不在一个平面内.故①②③均不正确.【类题通法】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.2.直线与平面位置关系的判定方法(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据根本领实2知直线在平面内.(2)判断直线与平面相交,根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.3.面面位置关系的两种判定方法(1)定义法:仔细分析题目条件,将自然语言转化为图形语言,通过图形借助定义确定两平面的位置关系.(2)借助几何模型判断:线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能表达,所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.【定向训练】1.给出以下结论:(1)直线a∥平面α,直线b⊂α,那么a∥b;(2)假设a⊂α,b⊄α,那么a,b无公共点;(3)假设a⊄α,那么a∥α或a与α相交;(4)假设a∩α=A,那么a⊄α.正确的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.结合直线与平面的位置关系可知,(1)(2)错误,(3)(4)正确.2.以下说法:①假设两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,那么a∥b;②假设两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,那么a与b是异面直线;③假设两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,那么a与b一定不相交;④假设两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,那么a与b平行或异面;⑤假设两个平面α∩β=b,a⊂α,那么a与β一定相交.其中正确的序号是__________(将你认为正确的序号都填上).

【解析】①错,a与b也可能异面;②错,a与b也可能平行;③对,因为α∥β,所以α与β无公共点,又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点,即a与b平行或异面,即a与b一定不相交;由③知④对;⑤错,直线a可能平行于平面β,如图.

答案:③④【课堂小结】课堂素养达标1.圆柱的两个底面的位置关系是()A.相交 B.平行C.平行或异面 D.相交或异面【解析】选B.圆柱的两个底面无公共点,那么它们平行.2.异面直线是(

)A.空间不相交的两条直线B.分别位于两个平面内的直线C.平面内的一条直线与这个平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内