2020-2021数学北师大版5第一章数列 单元综合测试含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学北师大版必修5第一章数列单元综合测试含解析单元综合测试一(第一章）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷（选择题，共50分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．已知实数－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于（C）A．－4 B．±4C．－2eq\r（2） D．±2eq\r(2)解析:因为y2＝xz＝（－1)×（－2）＝2,所以y＝－eq\r（2）（y＝eq\r（2)不合题意，舍去），所以xyz＝－2eq\r(2）。2．有穷数列1，23,26，29，…，23n＋6的项数是（C）A．3n＋7 B．3n＋6C．n＋3 D．n＋2解析：此数列的次数依次为0,3,6，9，…,3n＋6，为等差数列，且首项a1＝0,公差d＝3，设3n＋6是第x项，3n＋6＝0＋(x－1）×3,所以x＝n＋3。故选C。3．等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B）A．90 B．100C．145 D．190解析：设公差为d，所以(1＋d）2＝1×(1＋4d),因为d≠0，所以d＝2，从而S10＝100。4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1,S3＝7,则S5A.eq\f(15，2) B.eq\f(31,4)C。eq\f(33,4） D.eq\f(17，2）解析:a2a4＝aeq\o\al(2，3）＝1，∴a3＝1，∵S3＝7，∴q≠1，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a3＝a1q2,S3＝\f（a11－q3，1－q）)），∴两式相比eq\f(q2＋q＋1，q2)＝7，∴q＝eq\f（1,2）或q＝－eq\f（1,3）(舍去),即a1＝4.∴S5＝eq\f（a11－q5，1－q）＝eq\f(31，4），故选B.5．在正项数列{an｝中，a1＝2,点(eq\r（an），eq\r（an－1）)（n≥2)在直线x－eq\r（2）y＝0上，则数列{an｝的通项公式an为(C)A．2n－1 B．2n－1＋1C．2n D．2n＋1解析：据题意得eq\r（an）－eq\r(2an－1）＝0,即an＝2an－1，所以an＝2×2n－1＝2n.6．已知数列{an｝中，a1＝b(b>0），an＋1＝－eq\f（1，an＋1）（n∈N＋），能使an＝b的n可以等于(C)A．14 B．15C．16 D．17解析：由题可知，a1＝b，a2＝－eq\f(1，b＋1），a3＝－eq\f（1，－\f（1，b＋1）＋1)＝－eq\f(b＋1，b)，a4＝－eq\f(1，－\f（b＋1,b）＋1)＝b.所以数列{an}是以3为周期的周期数列，观察四个选项可知C正确．7．已知Sn是等差数列{an｝的前n项和，下列选项中不可能是｛Sn｝的图像的是(D)解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以设Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数y＝ax2＋bx的图像是过原点的一条曲线．当a＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C；当a≠0时，该曲线是过原点的抛物线,如选项A，B；选项D中的曲线不过原点,不符合题意．选D.8．数列{an}满足递推公式an＝3an－1＋3n－1（n≥2)，又a1＝5，则使得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（an＋λ,3n)))为等差数列的实数λ等于(C）A．2 B．5C．－eq\f（1,2） D.eq\f(1，2)解析：a1＝5,a2＝23，a3＝95，令bn＝eq\f(an＋λ，3n),则b1＝eq\f(5＋λ，3)，b2＝eq\f（23＋λ,9)，b3＝eq\f(95＋λ，27)，因为b1＋b3＝2b2，所以λ＝－eq\f（1,2)。9．数列{an}的通项公式为an＝eq\f（1,\r(n＋1)＋\r（n）），已知它的前n项和Sn＝6,则项数n等于（C)A．6 B．7C．48 D．49解析：将通项公式变形得an＝eq\f(1，\r（n＋1)＋\r(n））＝eq\f（\r(n＋1)－\r（n）,\r(n＋1)＋\r（n）\r（n＋1）－\r(n)）＝eq\r（n＋1)－eq\r（n)，则Sn＝(eq\r（2)－eq\r（1))＋(eq\r（3）－eq\r（2））＋（eq\r（4)－eq\r（3)）＋…＋(eq\r(n＋1）－eq\r(n)）＝eq\r(n＋1)－1，由Sn＝6，则有eq\r（n＋1）－1＝6，故n＝48。10．对于正项数列｛an}，定义Gn＝eq\f（a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，n)为数列{an}的“匀称”值．已知数列{an｝的“匀称”值为Gn＝n＋2，则该数列中的a10等于（D)A．2eq\r（3) B。eq\f（4，5）C．1 D。eq\f（21，10）解析：因为Gn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，n）,数列｛an}的“匀称”值为Gn＝n＋2，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n所以n≥2时,a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝（n－1）·(n①－②得nan＝2n＋1，所以an＝eq\f(2n＋1，n），n≥2，当n＝1时，a1＝G1＝3满足上式．所以an＝eq\f（2n＋1，n)，a10＝eq\f（21,10）.第Ⅱ卷(非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an（n∈N＋),则a5＝16；前8项的和S8＝255（用数字作答）．解析：由a1＝1，an＋1＝2an（n∈N＋)知{an}是以1为首项,以2为公比的等比数列,由通项公式及前n项和公式知a5＝a1q4＝16，S8＝eq\f（a11－q8,1－q）＝eq\f（1·1－28，1－2)＝255。12．设等差数列｛an}、｛bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有eq\f(Sn，Tn）＝eq\f（2n－3,4n－3），则eq\f（a9,b5＋b7)＋eq\f（a3，b8＋b4)的值为eq\f（19,41）.解析：eq\f（a9,b5＋b7）＋eq\f（a3，b8＋b4)＝eq\f（a9，2b6）＋eq\f(a3，2b6）＝eq\f(2a6,2b6）＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11）＝eq\f(S11,T11)＝eq\f(2×11－3，4×11－3)＝eq\f(19，41).13．已知{an｝为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝eq\f（1，2），S2＝a3，则a2＝1，Sn＝eq\f（1,4）（n2＋n)．解析：由a1＝eq\f（1,2),S2＝a3得，a1＋a2＝a3，即a3－a2＝eq\f（1，2），∴{an}是以a1＝eq\f(1,2)为首项，以eq\f(1，2）为公差的等差数列．∴an＝eq\f（1，2)＋(n－1）×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)n.∴a2＝1,Sn＝eq\f(n，2)（a1＋an）＝eq\f(1，4)n2＋eq\f(1，4）n＝eq\f（1，4)(n2＋n）．14．数列｛an｝满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2,则a1＝eq\f（1，2).解析：因为an＋1＝eq\f（1，1－an）,所以an＋1＝eq\f(1,1－an）＝eq\f(1，1－\f（1，1－an－1))＝eq\f(1－an－1,1－an－1－1）＝eq\f(1－an－1，－an－1）＝1－eq\f(1，an－1)＝1－eq\f（1，\f（1，1－an－2））＝1－（1－an－2）＝an－2，所以周期T＝(n＋1）－（n－2）＝3。所以a8＝a3×2＋2＝a2＝2。而a2＝eq\f（1，1－a1）,所以a1＝eq\f(1,2）。15．给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a55＝5,则表中所有数之和为405。a11a12…aa21a22…a…………a91a92…a解析：S＝（a11＋…＋a19)＋…＋（a91＋…＋a99）＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分)已知等差数列{an}(n∈N＋)满足a1＝2，a3＝6。（1）求该数列的公差d和通项公式an；(2)设Sn为数列{an｝的前n项和，若Sn≥2n＋12，求n的取值范围．解：(1）由题意得d＝eq\f(a3－a1,2）＝2，所以an＝a1＋(n－1）d＝2n，n∈N＋.（2）Sn＝eq\f(a1＋an,2)×n＝n2＋n，由Sn≥2n＋12,解得n≥4或n≤－3。所以n≥4且n∈N＋。17．（本小题满分12分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0。(1）求{an｝的通项公式；(2)若等比数列｛bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn｝的前n项和．解：(1)设等差数列｛an}的公差为d.因为a3＝－6,a6＝0，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＋2d＝－6,,a1＋5d＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－10，,d＝2。））所以an＝－10＋(n－1）×2＝2n－12。（2）设等比数列｛bn｝的公比为q。因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24,b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3。所以数列｛bn｝的前n项和为eq\f(b11－qn,1－q)＝4(1－3n）．18．（本小题满分12分）数列｛an｝中，a1＝eq\f(1,3）.前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝（eq\f（1,3））n＋1(n∈N＋）．（1）求数列｛an｝的通项公式an以及前n项和Sn；(2）若S1,t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．解：(1)由Sn＋1－Sn＝(eq\f（1，3）)n＋1得an＋1＝（eq\f(1，3)）n＋1(n∈N＋），又a1＝eq\f(1,3），故an＝(eq\f（1，3））n(n∈N＋)，从而Sn＝eq\f(\f（1，3)×［1－\f（1,3）n］，1－\f（1,3))＝eq\f(1，2）[1－（eq\f(1，3)）n］（n∈N＋)．（2）由（1）可得S1＝eq\f(1,3),S2＝eq\f(4,9），S3＝eq\f（13,27)，由S1，t(S1＋S2），3(S2＋S3)成等差数列可得，eq\f（1，3)＋3×（eq\f（4，9）＋eq\f(13,27）)＝2×(eq\f(1,3)＋eq\f(4,9））t，解得t＝2.19．（本小题满分12分）设数列{an｝的前n项和为Sn＝2n2，{bn｝为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1）＝b1.(1)求数列｛an}和｛bn}的通项公式．(2)设cn＝eq\f(an,bn)，求数列{cn｝的前n项和Tn。解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2;当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2n2－2（n－1)2＝4n－2，a1＝2符合上式，故{an}的通项公式为an＝4n－2，设｛bn｝的公比为q，则b1＝2，b2＝eq\f（1,2），∴q＝eq\f(1,4），∴bn＝b1qn－1＝2×eq\f（1，4n－1），即bn＝eq\f(2,4n－1）。(2)∵cn＝eq\f（an,bn）＝eq\f（4n－2,\f(2,4n－1)）＝(2n－1）4n－1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×41＋5×42＋…＋（2n－1)·4n－1,4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋（2n－1）·4n，两式相减，得3Tn＝－1－2（41＋42＋43＋…＋4n－1）＋(2n－1）4n＝eq\f（1，3）[(6n－5)4n＋5]，∴Tn＝eq\f(1,9）［(6n－5）4n＋5]．20．(本小题满分13分)某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降,若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元．今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造．预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年记为第一年)的利润为500eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,2n)))万元（n为正整数）．(1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式;（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：（1)依题意，设An＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n）＝490n－10n2；Bn＝500［（1＋eq\f(1,2)）＋(1＋eq\f(1,22））＋…(1＋eq\f（1，2n））]－600＝500n－eq\f(500，2n）－100.（2)Bn－An＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(500n－\f(500,2n）－100))－（490n－10n2）＝10n2＋10n－eq\f(500,2n）－100＝10eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（nn＋1－\f(50,2n）－10))。∵函数y＝x（x＋1）－eq\f(50，2x)－10在(0,＋∞)上为增函数，当1≤n≤3时，n(n＋1)－eq\f(50，2n）－10≤12－eq\f（50，8)－10〈0，即Bn〈An；当n≥4时，n(n＋1）－eq\f（50，2n)－10≥20－eq\f（50，16）－10〉0，即Bn〉An.∴当n≥4时,Bn>An.故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．21．（本小题满分14分)设等差数列{an｝的前n项和为Sn，且Sn＝eq\f（1,2）nan＋an－c（c是常数，n∈N＋)，a2＝6.（1)求c的值及数列｛an}的通项公式；(2）设bn＝eq\f（an－2,2n＋1），数列{bn｝的前n项和为Tn，若2Tn〉m－2对任意n∈N＋恒成立,求正整数m的最大值．解：(1）因为Sn＝eq\f（1,2）nan＋an－c,所以当n＝1时，S1＝eq\f（1,2)a1＋a1－c，解得a1＝2c