2021届数学大总复习课时作业54直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021届高考数学人教B版大一轮总复习课时作业54直线与圆、圆与圆的位置关系含解析课时作业54直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．直线y＝eq\f(3,4)x－eq\f（5,2)和圆x2＋y2－4x＋2y－20＝0（A）A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心C．相离 D．相切解析：将圆的方程配方，得(x－2）2＋(y＋1）2＝25，圆心为（2，－1),半径r＝5，将（2，－1)代入y＝eq\f（3,4)x－eq\f(5，2）中，得eq\f（3，4）×2－eq\f(5,2)＝－1，故直线过圆心,与圆相交,故选A.2．圆x2＋y2＝4与圆(x－3）2＋(y－4）2＝49的位置关系为(A)A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析:圆x2＋y2＝4的圆心为（0,0)，半径为2,圆(x－3）2＋（y－4）2＝49的圆心为(3，4）,半径为7，圆心距为eq\r（32＋42)＝5＝7－2（等于两圆半径的差）,∴圆x2＋y2＝4与圆（x－3）2＋（y－4）2＝49的位置关系是内切，故选A。3．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2＋（y－2)2＝4所截得的弦长为(D）A．1B.eq\r(2)C。eq\r（3) D．2解析：由题意得直线方程为y＝eq\f（\r(3）,3）x，即x－eq\r(3)y＝0。圆心（0，2)到直线x－eq\r（3）y＝0的距离d＝eq\f（｜－\r（3)×2｜,\r(1＋3）)＝eq\r(3)，∴弦长为2eq\r(4－\r(3)2）＝2，故选D。4．（2020·佛山调研）已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为（x＋a)2＋y2＝4,如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是（A)A．｛1，－1，3，－3} B．｛5，－5，3，－3｝C．｛1，－1} D．｛3，－3｝解析：由题意得两圆的圆心距d＝｜a|＝2＋1＝3或d＝｜a|＝2－1＝1,解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合是｛1,－1，3，－3｝．5．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r（2）的点共有(C）A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：圆的方程化为(x＋1）2＋(y＋2)2＝8,圆心（－1，－2）到直线距离d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r（2））＝eq\r(2)，半径是2eq\r(2），结合图形可知有3个符合条件的点．6．已知直线x－2y＋a＝0与圆O:x2＋y2＝2相交于A,B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为（B）A。eq\r(6）或－eq\r(6）B.eq\r（5）或－eq\r（5）C。eq\r(6）D。eq\r（5)解析：因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得eq\f（|a｜，\r(12＋－22))＝1，所以a＝±eq\r(5）。7．(2020·重庆市七校联考)两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为(D）A.eq\f（3\r（5）,5） B．4C.eq\f（6\r(5）,5） D。eq\f(12\r(5）,5)解析：两圆方程相减,得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准形式为（x＋1）2＋y2＝9,所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0），半径为3,圆心(－1,0)到直线MN的距离d＝eq\f（3，\r（5)）,所以线段MN的长为2eq\r（32－\f(3,\r(5））2）＝eq\f（12\r(5）,5)。故选D.8．（2020·合肥市第二次教学质量检测）在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3）,且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k〉0）关于y轴对称，则k的最小值为（D）A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\r（3）C．2eq\r(3） D．4eq\r（3）解析：由圆C过点（0，1),(0，3)知，圆心的纵坐标为eq\f(1＋3,2)＝2，又圆C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为2，则圆心的横坐标x＝eq\r（22－\f（3－1，2）2)＝eq\r（3),即圆心为(eq\r（3)，2)，所以圆C的方程为(x－eq\r(3）)2＋(y－2)2＝4。因为k>0，所以k取最小值时，直线y＝－kx与圆相切,可得2＝eq\f（|\r（3）k＋2|，\r（k2＋1）)，即k2－4eq\r（3）k＝0，解得k＝4eq\r（3）(k＝0舍去),故选D。二、填空题9．已知圆(x－2)2＋(y＋1）2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为2x＋y－3＝0。解析：由题意知,已知圆的圆心坐标为（2,－1)．∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直，且直线x－2y＋3＝0的斜率为eq\f(1，2)，∴该直径所在直线的斜率为－2，∴所求直线方程为y＋1＝－2(x－2），即2x＋y－3＝0.10．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆（x－2)2＋（y－3）2＝8相外切，则圆C的方程为(x＋1）2＋y2＝2。解析：由题意知圆心C（－1，0），其到已知圆圆心(2,3）的距离d＝3eq\r（2),由两圆相外切可得R＋2eq\r（2）＝d＝3eq\r(2)，即圆C的半径R＝eq\r（2），故圆C的标准方程为(x＋1）2＋y2＝2.11．已知两圆相交于两点A(1，3)，B（m，－1)，若两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是3.解析：由题意，直线x－y＋c＝0垂直平分线段AB,则kAB＝eq\f（－1－3，m－1）＝－1，得m＝5，所以线段AB的中点为（3,1)，所以3－1＋c＝0，则c＝－2，所以m＋c＝3.12．已知直线l：x＋y＝3与圆C：（x－a)2＋(y－5)2＝10交于A，B两点，圆C在点A，B处的切线l1，l2相交于点Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2）,\f（5,2）)），则四边形ACBP的面积为5。解析：由平面几何知识得点P与圆心C的连线PC与直线l垂直，则eq\f（5－\f(5,2)，a＋\f(1，2））＝1，解得a＝2，则｜PC｜＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f（1,2）））2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（5－\f（5,2))）2）＝eq\f（5\r(2)，2）.因为圆心C(2，5)到直线l：x＋y－3＝0的距离d＝eq\f(｜2＋5－3｜，\r(2))＝eq\f(4,\r（2))＝2eq\r(2)，所以｜AB｜＝2eq\r(10－2\r(2）2）＝2eq\r(2)，则四边形ACBP的面积为S四边形ACBP＝eq\f(1,2)×2eq\r(2）×eq\f（5\r(2)，2）＝5。三、解答题13．已知圆C经过点A（2，－1）,和直线x＋y＝1相切,且圆心在直线y＝－2x上．（1）求圆C的方程；（2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程．解:(1)设圆心的坐标为C(a，－2a则eq\r(a－22＋－2a＋12)＝eq\f（|a－2a－1|,\r(2））.化简，得a2－2a＋1＝0，解得a∴C（1，－2)，半径r＝|AC｜＝eq\r（1－22＋－2＋12)＝eq\r(2）.∴圆C的方程为（x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx,由题意得eq\f(|k＋2|，\r（1＋k2)）＝1，解得k＝－eq\f（3,4）,∴直线l的方程为y＝－eq\f（3，4）x,即3x＋4y＝0.综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0。14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0），B（1，2）．(1）若直线l平行于AB,与圆C相交于M，N两点，|MN｜＝｜AB|,求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB｜2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．解：(1)圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝4，所以圆心C（2,0），半径为2。因为l∥AB，A（－1,0），B（1,2），所以直线l的斜率为eq\f（2－0,1－－1）＝1.设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝eq\f(|2－0＋m|，\r(2）)＝eq\f(｜2＋m｜，\r(2)).因为|MN|＝｜AB｜＝eq\r（22＋22)＝2eq\r（2)，而|CM|2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（｜MN｜,2）））2，所以4＝eq\f（2＋m2,2）＋2，解得m＝0或m＝－4,故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.（2）假设圆C上存在点P，设P（x,y)，则（x－2)2＋y2＝4,|PA|2＋｜PB|2＝（x＋1)2＋（y－0）2＋（x－1)2＋(y－2）2＝12，化简得x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋（y－1）2＝4.因为｜2－2|〈eq\r(2－02＋0－12)〈2＋2，所以圆（x－2)2＋y2＝4与圆x2＋（y－1)2＝4相交，所以存在点P，点P的个数为2.15．（2020·豫西南五校联考)已知圆C：（x－2)2＋y2＝4,直线l1：y＝eq\r(3）x，l2：y＝kx－1,若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为12，则k的值为(C）A。eq\r(3） B．1C。eq\f(1,2） D.eq\f（\r（3),3)解析：圆C：（x－2）2＋y2＝4的圆心为C(2,0),半径为2，圆心到直线l1：y＝eq\r(3）x的距离d1＝eq\f（2\r（3）,2）＝eq\r(3)，所以l1被圆C所截得的弦长为2eq\r（4－3）＝2.圆心到直线l2的距离d2＝eq\f(｜2k－1|,\r（k2＋1)），所以l2被圆C所截得的弦长为4＝2eq\r（4－d\o\al（2，2)），所以d2＝0。所以2k－1＝0，解得k＝eq\f（1，2），故选C.16．（2020·安徽皖南八校联考）圆C与直线2x＋y－11＝0相切，且圆心C的坐标为（2，2），设点P的坐标为（－1,y0）．若在圆C上存在一点Q，使得∠CPQ＝30°，则y0的取值范围是(C）A。eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2），\f(9，2））) B．［－1,5]C．[2－eq\r(11),2＋eq\r(11）］ D．[2－2eq\r（3)，2＋2eq\r(3）]解析：本题考查直线与圆的综合应用．由点C（2，2）到直线2x＋y－11＝0的距离为eq\f（｜4＋2－11｜，\r（5）)＝eq\r(5），可得圆C的方程为(x－2）2＋（y－2）2＝5。若存在这样的点Q，当PQ与圆C相切时，∠CPQ≥30°，可得sin∠CPQ＝eq\f(CQ，CP）＝eq\f（\r（5),CP)≥sin30°,即CP≤2eq\r(5），则eq\r（9＋y0－22）≤2eq\r(5），解得2－eq\r(11)≤y0≤2＋eq\r(11).故选C.17．已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且⊙H截x轴所得线段的长为2.(1）求⊙H的方程；(2)若存在过点P(a，0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且｜PM｜＝|MN｜，求实数a的取值范围．解：（1）设⊙H的方程为（x－m）2＋（y－n)2＝r2（r>0),因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为（2,1)，所以m＝2，n＝1。又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2。所以⊙H的方程为(x－2）2＋(y－1)2＝2。（2)设N(x0,y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x0＋a，2）,\f（y0，2）））。因为M,N两点均在⊙H上,所以(x0－2)2＋（y0－1)2＝2①，eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x0＋a，2）－2））2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(y0，2）－1))2＝2,即（x0＋a－4)2＋(y0－2）2＝8②，设⊙I：（x＋a－4）2＋(y－2）2＝8，由①②