2020-2021高二数学人教版5学案：1.2 第2课时高度、角度问题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：1.2第2课时高度、角度问题含解析第2课时高度、角度问题[目标]1.巩固正、余弦定理等基本知识点；2。能够运用正、余弦定理等知识和方法求解高度和角度问题．[重点］在三角形中利用正、余弦定理解决高度、角度问题．[难点]把实际问题中的条件和所求转化为三角形中的已知和未知的边角,建立数学模型求解．知识点一测量中的有关概念、名词、术语[填一填]1．俯角和仰角：如下图所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．2．方向角和方位角：①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×"多少度来表示，这里第一个“×”是“北”或“南"，第二个“×”是“东”或“西”．如图所示，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60°、北偏西30°、西南方向、南偏东20°.②方位角：从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角叫方位角．3．坡度和坡比：坡面与水平面所成的二面角的度数叫坡度，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡比eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(i＝\f（h,l）)）。如图所示．［答一答]1．“视角”是“仰角”吗?提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角度．如图所示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．2．方向角和方位角有何区别？提示:方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角．3．坡度和坡比有什么区别?提示：坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比．知识点二高度与角度问题[填一填］1．高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．角度问题测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函数值，然后求角,再根据需要求所求的角．[答一答］4．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面之间有什么关系？提示:为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面垂直．5．解三角形应用问题常见的几种情况是什么?提示：解三角形实际应用问题经抽象概括为解三角形问题时，常见情况有以下几种:（1)已知量与未知量全都集中在一个三角形中，可直接用正弦定理或余弦定理求解；(2）已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形．这时可先解条件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形;有时需要设出未知量，从几个三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程组，解方程或方程组得到答案．类型一底面不可达到的高度问题［例1］如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD＝________m。［分析]将实际问题转化为解三角形问题．在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝600m．已知两角及其夹边，可考虑用正弦定理求解．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，求CD。[解析]由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°,∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600，sin45°）＝eq\f（BC,sin30°），解得BC＝300eq\在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3）,3）＝100eq\r（6)(m）．[答案]100eq\r(6）对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形.其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托,从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可.[变式训练1]如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°。已知山高BC＝100m，则山高MN＝150m解析：根据图示,AC＝100eq\在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理,得eq\f（AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°）⇒AM＝100eq\r（3）m.在△AMN中,eq\f（MN,AM）＝sin60°,∴MN＝100eq\r(3)×eq\f（\r(3)，2)＝150（m)．类型二顶部不可达到的高度问题［例2]如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD。[分析］根据已知条件,应该先设法计算出AB的长,再在Rt△ABD中解得BD，最后求出CD.［解］在△ABC中,∠BCA＝90°＋β,∠ABC＝90°－α,∠BAC＝α－β,∠BAD＝α，则eq\f(BC，sinα－β)＝eq\f(AB，sin90°＋β），∴AB＝eq\f（BCsin90°＋β,sinα－β)。在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝eq\f（BCsin90°＋βsinα，sinα－β）＝eq\f（hsin90°＋βsinα,sinα－β），∴CD＝BD－BC＝eq\f(sin90°＋βsinα－sinα－β，sinα－β)h。对于顶部不能到达的建筑物高度的测量,我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁,然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可。［变式训练2]如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝32米解析:ED＝AB＝24米，在△ACD中，∠CAD＝α＋β＝30°＋60°＝90°,AE⊥CD，DE＝24米，则AD＝eq\f(DE，sinβ)＝eq\f(24，sin60°）＝16eq\r（3）（米),则CD＝eq\f（AD,cos∠ADC）＝eq\f(AD，cos30°）＝eq\f（16\r(3),\f(\r(3)，2))＝32(米）．类型三角度问题［例3]某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号,海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离为10km的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10km/h的速度向小岛靠拢,海军舰艇立即以10eq\r(3）km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．[分析]由题意知,要求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间,可设靠近的位置为B处．因此只要确定∠BAC及AB的值即可．故先设出舰艇与渔船靠近的时间t,然后在△ABC中利用余弦定理建立关于t的方程，即可求解．［解]如图所示，设t小时后，舰艇与渔船在B处靠近,则AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC可得（10eq\r(3）t）2＝102＋（10t）2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以舰艇需1小时靠近渔船．此时AB＝10eq\r（3)，BC＝10。在△ABC中，由正弦定理,得eq\f（BC，sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f（BCsin120°，AB)＝eq\f（10×\f（\r（3)，2）,10\r（3）)＝eq\f(1,2）。又因为∠CAB为锐角,所以∠CAB＝30°。所以舰艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.答：舰艇航行的方位角为75°，航行的时间为1小时．测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量。通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形,得到所求的量，从而得到实际问题的解.解题时应认真审题,结合图形去选择定理,这是最关键、最重要的一步。［变式训练3］某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°且相距20(eq\r（3)＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里,正以每小时10eq\r(2）海里的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(eq\r(3)＋1）小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．解：如图所示,设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上,且AD＝20，AC＝20。由题意AB＝20(eq\r(3)＋1）,DC＝20eq\r(2）,BC＝（eq\r(3）＋1）×10eq\r(2)。在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2,∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°。在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2，2AC·AB）＝eq\f（\r(3)，2).∴∠BAC＝30°,又∵B位于A南偏东60°,60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量eq\o（CD，\s\up6(→))的方向．即北偏西45°方向．答：台风向北偏西45°方向移动．1。若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，如图,则点A在点B的（B）A．北偏东15°方向上B．北偏西15°方向上C．北偏东10°方向上D．北偏西10°方向上解析：如图，∵AC＝BC，由图可知，∠CAB＝∠CBA＝45°，利用内错角相等可知,A位于B北偏西15°,故选B.2．如图，D,C，B三点在地面同一直线上，DC＝100m，从C,D两点测得A点仰角分别是60°,30°，则A点离地面的高度AB等于(A）A．50eq\r（3)m B．100eq\r(3）mC．50m D．100m解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形．所以AC＝DC＝100m，在Rt△ABC中,AB＝ACsin60°＝50eq\3．如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,并在原地等待营救．在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通知后立即前往B处救助，则sin∠ACB＝eq\f（\r（21)，7）.解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r（7).由正弦定理，得sin∠ACB＝eq\f（AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f（\r（21）,7).4。如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°,CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝15eq\解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理,得eq\f（BC,sin∠BDC）＝eq\f（CD,sin∠CBD）,所以BC＝eq\f（30sin30°，sin135°)＝15eq\r（2）。在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r（2）tan60°＝15eq\r（6)（米）．5．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿东偏南15°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12eq\r（3）海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船,并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意:AC＝12eq\r（3）t,BC＝12t，如图,∠ABC＝120°，在△ABC中，eq\f(12\r(3）t，sin120°)＝eq\f(12t，sin∠BAC)，所以sin∠BAC＝eq\f（1，2)，∠BAC＝30°，所以∠BCA＝180°－30°－120°＝30°，所以AB＝BC＝8＝12t，解得t＝eq\f(2，3)，航行的方向为:东偏北15°。答:最少经过eq\f（2，3）小时可追到走私船，沿东偏北15°的方向航行．——本课须掌握的三大问题1．数学建模思想：解三角形应用题时，通常都要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到实际问题的解，这就是数学建模思想．2．解三角形应用题的具体操作程序：(1)在弄清题意的基础上作出示意图；(2）在图形上分析已知三角形中哪些元素,