激光测试原理与技术（华中科技大学）

激光测试原理与技术

绪论

测量是科学的眼睛，可以说，没有测量就没有科学，就没有现代工业的

发展。测量方法的改进和测量精度的提高，代表当代科学发展的水平。

•长度——已测得到nm(10-9m)

15

•时间——fs(10'S)

•光刻对准——0.05口(10-5mm)

•光纤---儿个u〜10u

一、激光测量方法

激光的亮度，高相干性和高准直性，使光学检测方法产生革命性的变化,

并有可能对过去不能测量对象进行测量。提高了测量精度，已达nmCO^m)

量级，并使测量智能化。

国际上倾向性的看法是：激光测量是一门综合性实用技术，能记录、分

析激光与被研究对象相互作用而发生变化的光波场参数，以便测出被研究对

象的动力学参数，声学参数，重力场参数，热力学参数，电磁学参数，光学

参数和微观信息等。即可用激光检测的方法探测、声、光、热、电磁、力学

等物理参数，长度、角度、表面光洁度等几何参数以及化学参数。

(-)按所采用的光学测量原理分

1.干涉法：干涉测长

2.衍射法：测微小尺寸

3.光扫描法：扫描测径，扫描对准

4.准直法：准直仪

5.光脉冲法：激光脉冲测距——精度m

6.光调制法：激光相位测距——精度mm

7.多谱勒法：测流体速度

8.全息法：测变形

9.散斑法：测微位移

10.光谱法：测大气污染，测化学成分

11.数字图像法：（CCD成像）OCT

12.傅里叶频谱法：如下例（指纹检测）

13.莫尔条纹法：莫尔条纹法测量角度、莫尔偏析法测焦透镜焦距等、

等高莫尔法测三维物体。

附：傅里叶频谱法：

例：利用下面的4f'系统（双透镜相干系统）

图0-1

1.先将合格的掩膜板放在Fi面，并用平行激光束（如氮速激光）照射,

在L,的后焦点上（即FJ面）形成该掩膜的频谱，用化学胶片记录下该频谱

的照片（负片）。

2.将负片作为空间滤波器，放在FJ面上。

3.将被测掩膜板放在Fi面，并用平行激光照射，如无缺陷，则由于其

频谱和标准掩膜板的频谱面一样。所有信息被空间滤波器全部滤掉，在F2‘

面上（象面）无任何信息；若有缺陷，则该缺陷处的频谱通过空间滤波器,

并在F2‘面上成像，则可看到一个亮点。这样可迅速准确的检测掩膜板。

同样用此方法可以检验人的指纹、唇纹等。

（二）激光测试的特点

①非接触：无接触力，柔性

②高灵敏度

③高精度

④三维性

⑤相关性，高低温

⑥实时性

⑦抗干扰性（电磁干扰）

⑧通信保密性：光通信的定向性，光纤的保密性

二、激光测试方法的应用领域

（-）军事领域

1.跟踪：红外制导导弹

2.激光测距：测距机、激光雷达、激光探潜

3.激光预警

（-）工业领域

1.长度、角度、光洁度

2.声光、热电磁

（三）生物科学

1.OCT,探测组织对激光的吸收

2.血流（激光Doppler测量）

（四）环境科学

1.测大气污染

2.地形地貌测量

（五）公安系统

1.指纹测量

2.等高莫尔条纹（人体形测量）

参考书目

1.激光原理：清华大学周炳琨，国防工业出版社,1984.11第一版

2.近代光学测试技术，杨国光，机械工业出版社

3.激光在精密计量中的应用，天津大学，叶声华,机械工业出版社

4.激光测量学：金国藩，科学出版社，1998.8

第一章激光的特性

一、激光的产生

60年代以来，人们一直在寻找一种强的相干光源。

,50年代人们发现了maser原理：即MicrowaveAmplificationfor

StimulatedEmisszonofRadiation（即受激辐射微波放大器）。

•1958年，物理学家A.L.Schawlow和C.H.Townes首次提出可以将

maser原理从微波段延仰到光谱段，并给出了理论证明，几乎同时A.M.

Prokhorov也提出研制光波波段的maser建议。

•1960年，T.H.Mamain成功的研制了世界第一台光波maser即Light

AmplificationfbrStimulatedEmissionofRadiation（即受激幅射光波发大器，

缩写成Laser）,即红宝石激光器。

•1964年，钱学森建议将用于光波段的maser命为“激光”。

二、激光器的组成

激光器主要内以下三部分组成:

电源光源：提供泵气体、固通过受激两平行反通过选

辐射产生

如co2如红宝石浦能量体、液体、射面组膜：产用

He-NeYAG激半导体、确定模式成：光学同方向，

激光器光器（掠等离子的光子谐振腔同频率，

灯，氟灯）体、化学（波长、同位相的

物质位相相激光

yiJj匕出、制1.同）

具有很高的光子间并度；即具有相同模式（或波型、位相、波长）的光

子数目。其表现为光束具有很好的单色性，方向性，相干性和高亮度。

激光可通过调Q技术使之压缩成超短脉冲，脉宽可达飞秒量级（fs）4.6

X10-l5seco

光子简并度:

处于同一光子态的光子数称光子的简并度。

具有以下相同的含义：固态光子数，或同一模式内的光子数，或处于相

干体积内的光子数，或处于同一相格内的光子数。

时间单位换算：

1ms（毫秒）=10-3s1Us（微秒）=10-6s

1ns（毫微秒）=10-9sIps（微微秒）=10-l2s

Ifs（毫微微秒）=1015s

例：（1）对于脉冲能量为5mJ,脉宽为5ns的激光脉冲，其瞬时功率可达:

P-"I=1x106（W）-1兆瓦

5xl0。-9,s

（2）对脉冲能量为5mJ,脉宽为5fs的激光脉冲

若通过短焦距透镜聚焦的其一焦斑直径为0.001mm（1U）

则其瞬时功率可达：5xl0；J=]x可上卬（兆兆瓦）

5xl0-i5s

瞬时功率密度：——1*10¥——«1.27xlO20（W）/a/

三、激光的光束特性

（一）单色性

用谱线宽△人和其波长的比值来量度:

•谱线宽度：当光强下降到中心光强的1/2时的AX的宽度为谱线宽度。

一般光源（最好的为86kr-氟灯）M=4.7X103A:776X]0-7

206057A°

一台稳频He-Ne激光器4=6328A°：—=&3义10'^10-«

63284°

单色性高出4〜5个数量级。

Io）八

知

（-）方向性

用光束发散角来描述光束的方向性（29）

亦可用立体角△Q=n”来描述：

1.普通光源的方向性很差，光能量向4"球面度辐射、方向性差。

2.单模He-Ne激光，发散角为〜房“

J1Q4）

仅是普通光源的：0°~=8X10-5~8X10-6=-------1—-

8x（105~106）

激光发散角与（80万分之一到800万分之一）激光器出射孔径联（衍射极限）即

2^«2/J=0-6328x10mm（毛细管粗细确定d）

«2x104rad=0.2mrad

•气体激光器（介质增益好，均匀，腔长大）单模发散角，可达衍射极限

10-3~W6o

•固体激光器（介质均匀性差，腔长短，激励不均匀），一般达IO】「ad量级。

•半导体激光器方向性最差，一般为（5~10）XIO1「ad,且两个方向发散角

不一样。

（三）相干性

1.空间相干性：

研究在垂直于光波传播方向上的两个点，如果在任,书寸间（同一时刻），这两

点上的光波场有固定的位相关系，则从这两点“取样”的光波将产生干涉。

否则是不相干的。因为这种相干性是在同一时刻的两个不同空间点的条件下

产生的，故称其为空间相干性。

如双缝干涉:

•同一时间不同空间位置的光波位相差（P）是否恒定

图1-2

由于激光有极好的方向性（发散角小）可看成S。的宽度b接连零，所以

空间相干性能好：即

h

单缝愈大，干涉条缝

愈模糊，b大到一定程度

时，条缝消失（与最大光

源宽度有关）。

即：6=空，或

D

匕=&=4。

D/Re

2.时间相干性:

时间相干性：在辐射场的某一固定点上，考察光源在两个不同时刻发出

的光波在该点的干涉问题。

如迈克尔逊干涉仪

•同一空间点，不同时刻达的光波位相是否恒定M2,是M2的镜象，移

动M”h愈大，则条纹清晰度愈差，当h大到一定值时，则条纹消失。此即

相干长度。

例：1.对氟灯86kr,在低温时入o=6O57A°,相干时间约为Tc=2.5X10%

则相干长度为：Lc=2.5X10'9SX3X1Olocm/S=7.5X10^75cm

2.对6328A°He-Ne激光,相干时间Tc=1.3X10”

相干长度Lc=L3X1O"SX3Xl(/°cm/S=3.9X1()6cm"40km、

四、高亮度:（Bb）

B=-——-~~-

hA5-AQAv

P—辐射功率，一幅射面积，一立体角，△v一辐射线宽（对可见光）

因为激光：方向性好，则AS小，小

相干性好，则△丫小

所以，P-定时，Bb大

第二章高斯光束

§2-1基模高斯光束

一、均匀平面波

如图2-1示，沿Z轴方向传播的均匀平面波，其电矢量为：

E（x,y,z）=Aoexp[-zfe]（2-1）

其中：K=也为波数，n为介质折射率（在-----

X4

£

空气中n^l）----------

Ao-振幅X（?---------------------——►2

均匀平面波的特点：因为振幅Ao与（x,y,z）图2T

均无关（即为常数），且位相仅与Z有关：

1.在光束截面上（即与光传播方向垂直的x,y平面上）的光强是相等的;

2.在传播方向的任一点（即Z方向）光强度相等（不考虑空气损耗）；

3.距离Z相等，则其位相相等，即等相面为垂直于传播方向的平面。

但由激光产生的原理可知：激光束是由光于在谐振腔内进行多次反射后

所形成的。因此在腔镜边缘必产生衍射损耗，故在光束截面上，边缘部分的

光强必将比中心部分较弱，故激光束不是均匀平面波。

二、均匀球面波

考查由原点(x=y=z=O)向自由空间辐射的球面波矢量为：

£(x,y,z)=---少~-exp[-^(x2+y2+z2)12]=--exp[-^r](2-2)

(x+y+z)r

其中：r=(xV+z2)"2为点光源到光矢量传播方向上任一点p(x,y,z)的距

离—球面半径。

均匀球面波的特点:

1.振幅相等的面(即等幅面)为：厂=(/+/+z2)"2的球面

2.位相相等的面(即等相面)为：r=(/+〉2+〉2产2的球面

3.光矢量沿传播方向的光强与传播距离r成反比。

显然，这也不符合激光特性。那么是否是

位于无穷远处的点光源发出的光(如太阳

照射到地球上的光一样)？

特例：当z»x,y,即相距点光源很远的很

小球面内，ez

则E(x,y,z)«—•exp[T奴],与平面

z

波矢量E(x,y,z)=4-exp[-z/rz],有相似

的形式，故可将该小球面内光矢量近似看成平面波(太阳光)：

即在该平面内光强相等，位相相等，同样也不适用激光的特点。那么激光究

竟是一种什么光呢？

三、基模高斯球面波(变心球面波)矢量

沿Z轴方向传播的高斯光束(激光束)，不管是由何种稳定腔产生的,

均可用基尔霍夫公式表示为：

"x'y'Z)=^7^exp---exp^-zk(z+)-^(z)\(2-3)

W(z)W(z)J[|_2H(z)

其中，Ao一原点(Z=0)处的中心光振幅，k=三为波数(n=l)

2

(-)光束参数：W(z),R(z)：

在进行光学设计时(激光光学系统)，应已知两个光束的特征参数。

即，任一点处的光斑大小和该点的波阵面半径：

1/2

(1)在Z点处的光斑半径：卬⑶=卬01+(2-4)

I4乂>

特点：光斑半径非线性可变。

(2)在Z点处的波阵面半径：R(z)=z]l+誓

(2-5)

特点：波阵面半径非线性可变。

(-)膜参数Wo：

以上公式中，涉及一个很重要的参数Wo(束腰半径)一膜参数

对稳定球面腔：

通用公式：

卬4-丫/(/-/)(/?「-/)因+『)

图2-3

特例：若对平凹稳定腔(氮颊激光器多采用)，令R1=R,R2=8代入上式

「2T”

卬0=三(R/—/2)(2-6)

71

即，已知激光器腔参数R、/可求得膜参数Wo

例，设入=0.6328XIO^mm,R=500mm,/=250mm,

—11/4

则％=06328;°7(500*250-2502)«0.224/nm

*基模发散角(远场发散角)——半角

/=n对平凹稳定腔而言(2-7)

7T2(Rl-l2)

基膜发散角亦可表示为0o=F(Wo)(以后再讲)

结论：已知腔参数(R,/)可求光束的膜参数Wo，已知膜参数Wo,可

求光束参数W(z),R(z)o

下面，讨论光束参数w(z),R(z)在Z=0到Z=8间的变化规律。

§2-2高斯光束的特性

一、在束腰处(即z=o处)

1.波阵面半径R(z)

即R(z)=RO=8,(z=0处，Ro->00)=>在z=0处，波阵面为平面波。

2.初位相夕(z)

9(z)=arctg——-=0,即初位相为零

3.光斑半径：

r2~|1/2

W⑻工如%。1+［篇)=%

即：光斑半径等于束腰半径

4.横截面光强分布：

在束腰处(即z=0)基尔霍夫公式变为：

反x,y,0)=上exp［言:exp［—网0+0)+i•0］=texp［常

图2-4

推导：令r=0,则E(0,0,0)=且

唯

令r=Wo，则E(xo，yo，0)哈可尚啜勺。。。）

结论:

1.在z=0处，与x,y有关的位相部分消失，即该处的平面为一等相面

（与平面波波阵面一致）。

2.振幅部分为一指数函数（高斯函数）=>高斯光束的由来。

3.在光束横截面内，光斑无明显边缘，通常定义的光斑大小是：电矢量

幅度在光斑半径r方向减小到中心（r=0）振幅的1（或强度的二）时的r

ee"

值为高斯光束的半径。

二、高斯光束通过一孔径光栏时，能量的讨论

由基尔霍夫公式；在光束传播方向上任一点z处的电矢量振幅为:

2

E=•4_exp

卬⑶W\z)

而其光强08E?

计算高斯光束通过

某一孔径的能量，即计算

高斯光束通过某一半径

为0的光孔时，高斯能量

包的体积。

图2-5

其光强为:

2r2

P^kE2=k<4exp---z—

W(z)W\z)

在通孔半径为o的光强P（o）

A2

P(P)=k­27ir.dr

W2(z)

在r=8时，高斯光束的全部光强P（8）

2

A?并-2r

P(oc)=k--——fexp•2m.dr

W\z)1W2(z)

设(2-8)

当0(通光孔径)=W(z),1.5W(z),2W(z),2.5W(z),3W(z),℃时,

N(。)值如下表:

PW(z)1.5W(z)2W(z)2.5W(z)OC

N(0)0.8640.9880.9970.999991

即，当限制孔径为计算出的高斯光斑半径2.5倍时其通过的能量为全部能量

的99.999%0

例：若激光输出的单脉冲能量为5mw,脉宽=5ns则瞬时功率为IX1()6

瓦(兆瓦)，当O=W(z)时损失能量为1X1O6X(1-0.864%)=1630瓦。

*结论：激光束通过透镜变换时，为保证充分利用能量，则其透镜半径一

般取该理论计算光斑的2〜2.5倍。此结论在弱信号检测中尤为重要，在光盘

系统中，孔径还与焦深、光斑的大小有关。

三、Z=<-时的波阵面半径:

UnR(z)=Un1=OC

ZTOz->a

上式表明：离束腰为无穷远处的等相面为平面，且曲率中心在束腰处。

可以想象：既然高斯光束传播时，在z=0处和z=8处，R(z)的值均为

J(平面)，则在中间某位置必存在一最小R(z)

四、R(z)min：

7T-W2

令尸=空包(共焦参数)=>或称端利长度(Rayleigh)

A.

(2-9)

令”©=1一，=0,得：Z=±F

dzz

即在Z=±F时，存在R(Z)的极小值，其极小值为:

F2z二万时R(z)min=2/

R(z)min=z+——(2-10)

zz=一尸时R(z)min=-2F

2

即|/?(z)min|=|±2尸|=2F=/7TT售W,共焦参数的由来可由图2-6解释:

A,

共焦参数的物理意义：高斯光束传播过程中的两特殊点，在此点，波阵

面半径最小，具有两对称点(相对束腰)互为其波面球心。

(五)小结：高斯光束在自由空间传播时，R(z)随传播距离Z变化的

规律：

1.在Z=0(即束腰处)，R(z)=8,即波阵面为平面波

2.在0＜忖＜伫包=尸时，R(z)由8逐渐变小

1

3.在Z=±F=±rM牛/时，R(Z)有极小值：R(z)min=±与J

A/t

2

4.在目jf＞W粤=/时，R(z)逐渐变大。

A

5.Z-8时，R(z)f8,变为平面波。

图2-7

例：求W（）=0.5mm的短氮激光器输的光束的最小曲率Rmin和其所在位置

Z(X=0.6328XW3mm)

2叫）224x0.52

Rminx2482.3mm

20.6328x10-3

波阵面所在位置为z=土竺江

x±1241mm

图2-8

（六）远场发散角

-2-11/2

从W（z）=W0"（Zy可以看出，在Z=0处，光斑尺寸最小，其值

1郴0）

为Wo。随着Z增大，则W（z）非线性增大，所以，高斯光束是发散的，现

在讨论其特性。

定义：光束的半发散角为传输距离（Z）变化时，光斑半径的变化率

警喷村+Z”小

即"

讨论:

1.当Z=0时，。=0（即在束腰处，发散角为On平面波）

2.当2=笙（等于共焦参数）时

2

_2_V22

0(2-12)

一行叫,一2叫）

3.当z=8时：e=-^-

叫

_9-11/4

等效于4=—J-

°7T2（Rl-l2）

结论：1.高斯光束的发散角随传播距离的增大而非线性增大

2.在束腰处，发散角为0。在无穷远，发散角最大，其远场发散角为

3.通常将OWZW此区域定义为光束准直区

4.Wo越大，则远场发散角愈小。因此为了减小光束的远场发散角，

可采用光学变换的方法，使其束腰增大。

例：已知一氨颊激光器，腔长L=250mm,R|=500mm,R2=oc

求①其远场发散角及准直区范围，②离束腰1000mm处之发散角。

解：此腔型为平凹稳定腔，则其束腰在平面镜处，

--|1/4r,0-]i/4

（1）卬。=4（知-/2）=（0-6328^10）（500X250-2502）

7171

。0.224〃〃77（注意：此处定义的光斑半径是振幅为中心振幅的,

e

处）。

图2-9

(0.6328x10-3)21/4

=9xIO-4rad

兀2(Ri)^-2(500X250-2502)

=0.9xIO-3rad=0.9mrad

3

丑行甲八tc20.6328xl0-」

亦可用公式0=------=------------------=QA.9nmrad

7rW0nx0.224

准直区八jr警W2万x0.224?.1

-----------------=249.\mm

0.6328><10-3

z

⑵5太2422

7/rW0+Z2

_____________(0.6328x10-3)2x1000

7tx0.224xx0.2244+10002x(0.6328x10^3)2

=0.6x103rad=Q.6mrad

§2-3高斯光束的特征参数

一、用Wo和距束腰的位置Z表征高斯光束

若已知高斯光束的束腰Wo及传播方向上一点到束腰的距离Z,可以根

据以下公式求出光束传播(自由空间)方向任一点的波阵面半径R(z)及光

斑半径W(z)o

n用于高斯光束的正变换。(2-13)

二、用W(z)和R(z)表征

若已知W(z),R(z),则可求出高斯光束的束腰Wo及束腰位置Z。

图2-10

以上两组公式的特点：优点是直观，物理概念清晰，缺点是繁杂。那么

能否找到一种更简便的计算方法呢？

三、高斯光束的q参数

在高斯光束电矢量方程(基尔霍夫公式)中，将与横坐标(x,y)有关

的因子和W(z),R(z)放在一起，

F(x2+y2)lfLfi

即：E(x,y,z)=/^ex]

_W\z)J「[I2R⑶J*J

-

42222

exp2?iR/exp{t[kzo(z)]}

一卬⑶vv(z)2R(Z)_

-922

A厂+V..x

令：----———戊一

W\z)2/Kz)

ik(x2+y2)121

~2\_R

1?

(z);7?VV(2)

ik(x2+y2)12

~2R(z)i—W2(z)

2J

ik(x2+y2)f1A

-2\_R

(z)i7iW\z)

ik(x2+y2)'—

2[国z)17tW\z)_

人112

q⑺R(z)乃卬2仁)

引入一个新的参数q(z),其定义为：将高斯光束的两个重要光束参数R

(z),W(z)统一在一个q参数中。

即：如果我们知道了高斯光束在传播过程中任一点的q参数，则可令：

1

R.(2-16)

4(z)jR(z)

1____2

q(z)j郴2a)(2-17)

即可求出该位置的R(z)和W(z)o

*要解决的三个问题

1.qo和Wo的关系：(模参数的q参数表达式)

我们知道，在描述光束传播特性时，有一个重要的参数一一即模参数

“Wo”，(即已知Wo,可求光束传播任意位置的光束参数)。

因此在进行q参数变换时，也必须知道光束的膜参数w。用q参数

的表达式，即求出在束腰处，q。和W。之间的关系。

设qo=q(o)表示Z=0处的光束的q参数

且在Z=0处，R(0)=8,W(0)=W0

则用(2-16)可得:

11.2

q(z)R(z)TTW2(Z)

即.1」」」t.

q(z)4(0)q0R(0)乃兴⑼

_1.2

OC1乃％2

即：

叫

/.g°==华=3尸(定义尸=箜为共焦参数)

lAA,A

上式将qo和Wo联系起来。

2.任一位置Z处的q参数：

若已知束腰的qo参数，在距离束腰为Z处的q参数为多少？通过透镜

变换后的q参数为多少？

下面解决第二个问题：

Gw2Y2

将R(Z)=Z1+—5-,及W(z)2=W02代入公式(2-16),

々)

得：1=14

4(z)R(z)7iW\z)

/、.叫2

即：(i(z)=i—-+Z=q+Z(2-18)

A0

•物理意义：已知高斯光束束腰处的q参数qo,则可由式(2-18)求在

传播方向上z处高斯光束的q参数(线性相加)，因此，大大简化了运算过程,

这就是引q参数的意义所在。

图2-11

小结：高斯光束特征参数的两种表示方法：

第--种：变心球面波法：即已知Wo求高斯光束的特征参数W(z),R

(z)o

第二种：q参数法：即已知qo,求的W(z),R(z)。

下面用以上方法讨论透镜对高斯光束的变换规律。

第三章高斯光束的光学变换

§3-1光线变换矩阵

一、光线变换距阵(近轴光学系统)

对如图所示的光学成像系统

符号法则：

1.角度：①逆传输方向看：

锐角为“十”(光轴上方)

②顺传输方向看，锐角为

“一”(光轴上方)

图3-1

2.沿轴、，轴线段，同应用光学：

右为“十”，左为负；上为“正”，下为“•

由于光学系统是线性系统，x2

02可写成以下一般形式：

x2=Ax}+

02=CXj+oq

%）平,小、

写成矩阵形式:

0厂匕,。八电

其中：A、B、C、D为待定常数，ABCD矩阵为光线变换矩阵。于是，光线

通过某光学元件的光线变换矩阵可用一简单的2X2阶矩阵表示。

二、几种常用的光线变换矩阵

（-）光线在均匀介质中的传播

如图所示

x2=x]+d(+4)=玉+d3]

%=用

即

其中d为光线通过两平面的距离，计算时，d、xi、X,以“+”值代入,

Oi以“-”值代入。

AB1,+d

必]=(3-1)

CD0,1

（二）光线通过薄透镜时:

如

图

3-3

,光线通过薄透镜时，设入射和出射高度不变，即:

x2=玉；

又・.・2=4一%

:.%=*_0=6_餐,（-%=£_〃）

=仇—五

f,

（三）光线入射到球面镜发生反射:

'：-32=a+/7,即％=—a—夕,

又：._"a—。、,即4=_&+d

则为=~cc~P--a+（-a+川）=-2a+g

以a=五代入上式得:

R

%=-a+仇

》23

则有%=苧仇

々、'1,0、

_2_

1,0、

...=(3-3)

h1)

（四）光线入射到平面镜反射

（五）光线通过不同介质球面产生折

射

02=a+/32

(3-5)

由折射定律：〃4=〃2A(当0।很小时),

有功=区自（3-6）

~%

又,：仇=4-a

以以值代入式(3-6),以式(3-6)代入式(3-5)

nnn77

则有：O^-a^—=a^-—(0i-a)=a^--0l——-a

nn

n2%22

1-以a+及4(3-7)

勺)〃2

以a=±（近轴条件）代入式（3-7）

R

则有：&=（〃2-〃。西+为4

n2Rn2

=X]

n

e八,=—〃2——一〃1-x,+—\no,

n,R〃,

1,0

(3-8)

即M5=叼一〃i〃1

n2R'n2

（六）光线通过不同介质的平面折射

球面的特例，

（3-8）中Rf

(1,0)

（七）光线通过厚L的平行平板

图3-8

◎广。,肾㈤=。，9。，"㈤

In37In37

r'M，c

：0,区［o,Jo,-

I«3JI〃

/

1心；

fi,LVI,oV、

〃2』(3-

=oc,—%co,—I=o,以⑻

I〃3八々J

\〃3)

’1,必、

...M7=〃2

0,上

In3)

特例：当〃।=%=I,%=〃时

fl,L/n>

M=

71。，1J

§3-2光学系统对高斯光束变换

一、光学系统对球面波的变换

当球面波通过焦距为f的薄透镜时，其波前曲率半径由高斯公式得:

11

一+一

ri

-&⑶与⑶f

即，=」__±(3-10)

&(Z)&⑵f

符号法则：从Z=+8处看

波阵面：

凸形(发散)R(z)为“+”，

凹形(会聚)R(z)为“一”。Jk-

囱Q-Q

二、高斯光束q参数的透镜（薄透镜）变换规律

1.高斯光束的q参数变换

设5（z）为透镜变换前的q参数，q?（z）为变换后的q参数。

1__.2

由q参数表达式：(3-11)

小）丽17TW2

可得:

11

以值代入式（3-11）得:

1--/U1Ai1

-----1=1

%（Z）〃W4（z）/（z）----------f

考虑薄透镜时，网々）。卬2口）

则上式变为

11

(3-12)

“2（力/（z）f

上式与一口=」——相似，称q参数为高斯光束的“复半径二

&（z）RC）f

*这样就得到了高斯光束通过薄透镜变换后的q参数表达式。

2.光学系统对q参数矩阵变换（A、B、C、D定律）

如图（3-11）所示:

=R](z).6],x2=[-R2(Z)]-[-02]=R2(Z)-02

小、[x=Ax=AR](z)4+Bq

代人〈2xn〈

+oq⑶-q+04

%=Cxxe2=CR}

解上述方程得:

c,、AR,+B

R，(z)=--------(3-13)

2

CR}+D

由于高斯光束的q参数可看成是高斯光束的“复半径”。

...此土巨，其中A、B、C、D为光线变换矩阵的四个元素。

2Cq,+D

上式称A、B、C、D定律，或称科格尔尼克定律。

三、小结（两种高斯光束变换法）

对图3-12示的高斯光束进行光学变换。

已知：入射高斯光束束腰半径为W。，束腰与透镜的距离d“透镜的焦距f'。

求：高斯束通过透镜后在与透镜相距4处高斯光束的参数Wc和Reo

第一种方法：变心球面波法：（首先需确定入射高斯光束束腰的位置）

1/2

W(z)=W°1+f当

[I叫d

步骤：（1）由公式:(3-14)

/?(z)=z1I(叫2]]

IJJ

求z=&时的R.(5)和%(dj

111

(2)由公式

求通过透镜后的Rz(z),

(3)

令：Wi(z)=WA=WB=W2(z)

2

^W2(z)2

Wo=W(z)1+

、然(z)

(4)由公式:(3-15)

2

z=H(z)1+

同⑶,

求通过透镜变换后的高斯光束的W。和束腰位置d20

(5)令z=4-4，由步骤(1)

求&处高斯束的参数％和R

第二种方法：高斯光束的q参数变换法

3.求紧挨透镜的右方的q参数q7.

111

(%

%q、ff'-q、

4.求C处的q参数:4c=%+1c

Q\f

%=

f'—q\

dI(2+4)/_d1(/+4)广［(4-4)+一］

CU'-d1)TF『［(/—4)+/•用

(叼'+4/)[(尸-4)+/][(尸-4)77'+，/町+d/(r—即+(-尸2尸)

0(f-dy+F2一(/-J,)2-F2,

Ff'+djC-djfJF*

’(尸―—尸

d+&(­,._Ff_

c(f,-dy-F2(r—4)2—尸

§3-3高斯光束的聚焦

现在我们运用前面所讲述的光学系统对高斯光束的变换规律，讨论激光

束的聚焦特性和规律。

一、薄透镜对束腰的变换

如图3-14所示，

符号法则：

1.入射光束束腰在透镜左边

d为“+”，右边d为“一”；

2.出射光束束腰在透镜右边

d为“+”，左边d为“一”；

3.正透镜焦距为“+”，负透镜焦距f为“一”；

光束通过透镜时的ABCD矩阵为：

(3-16)

jrW2

又•.•高斯光束在入射光束的束腰A处：q=i—^-=

0Aq（woi）

根据ABCD定律，则在B处的q参数％w02）

A/+BA/+B

%W02)(3-17)

Cq?+DCq0+D

1

C+D

1_%W01)

%W02)A+S_L_

%W01)

将A、B、C、D的值及q。值代入式（3T7）,并和式（3-11）进行比较,

然后令其实部和虚部分别相等，

得:(3-18)

卬2二%