新版【备战2023】高考数学-热点题型和提分秘籍-专题10-对数函数-理(含解析)

PAGE1-专题十对数函数【高频考点解读】1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．【热点题型】题型一对数式的运算【例1】求值：(1)eq\f(log89,log23)；(2)(lg5)2＋lg50·lg2；(3)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245).【提分秘籍】1．化同底是对数式变形的首选方向，其中经常用到换底公式及其推论．2．结合对数定义，适时进行对数式与指数式的互化．3．利用对数运算法那么，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化．【举一反三】(1)假设2a＝5b＝10，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(2)假设xlog34＝1，求4x＋4－x的值．【热点题型】题型二对数函数图象及应用【例2】假设实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，那么以下关系中不可能成立的是()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b【提分秘籍】由对数函数的图象确定参数的方法对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【举一反三】函数假设a、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，那么abc的取值范围是()(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)【解析】作出f(x)的大致图象.不妨设a<b<c，因为a、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，由函数的图象可知10<c<12，且|lga|=|lgb|，因为a≠b，所以lga=-lgb，可得ab=1，所以abc=c∈(10,12)，应选C.【答案】C【热点题型】题型三对数函数性质及应用例3．函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，那么a的值为________．【提分秘籍】1．比拟对数式大小的方法(1)假设底数为同一常数，那么可由对数函数的单调性直接进行判断；假设底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．(2)假设底数不同，真数相同，那么可以先用换底公式化为同底后，再进行比拟．(3)假设底数与真数都不同，那么常借助1,0等中间量进行比拟．2．当对数函数底数大小不确定时要注意分a>1与0<a<1两种情况讨论．【举一反三】(1)(设a＝log32，b＝log52，c＝log23，那么()A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b(2)函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，假设f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，那么m，n的值分别为()A.eq\f(1,2)，2 B.eq\f(1,2)，4C.eq\f(\r(2),2)，eq\r(2) D.eq\f(1,4)，4【热点题型】题型四复合对数函数图象的应用【例4】函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如下图，那么a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1【提分秘籍】结合图象抓住内外层函数的单调性，可确定参数关系是解决此题的关键，对于复合型对数函数的单调性，注意内外层单调性一致，函数为增函数，内外层单调性相反，函数为减函数．【举一反三】函数f(x)＝－2lneq\f(1＋x,1－x)的图象可能是()【热点题型】题型五与对数函数有关的复合函数单调性应用例5、假设f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，那么a的取值范围为()A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)【提分秘籍】1．求与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤(1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些简单初等函数复合而成的，将复合函数分解成简单初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；2．复合函数单调性求参数范围时，要注意真数大于0这一条件．【举一反三】设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，那么使f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)【高考风向标】1．〔2023·山东卷〕实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，那么以下关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y32．〔2023·山东卷〕函数f(x)＝eq\f(1,\r(〔log2x〕2－1))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)【答案】C【解析】根据题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,〔log2〕2－1＞0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,x＞2或x＜\f(1,2).))应选C.3．〔2023·福建卷〕假设函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，那么以下函数图像正确的选项是()图1­1ABCD4．〔2023·广东卷〕假设等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，那么lna1＋lna2＋…＋lna205．〔2023·辽宁卷〕a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，那么()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a【答案】C【解析】因为0<a＝2－eq\f(1,3)<1，b＝log2eq\f(1,3)<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)>logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c>a>b.6．〔2023·天津卷〕函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)【答案】D【解析】要使f(x)单调递增，需有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4>0，,x<0，))解得x<－2.7．〔2023·浙江卷〕在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是()ABCD8．〔2023·重庆卷〕函数f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值为________．9．〔2023·安徽卷〕一元二次不等式f(x)<0的解集为xeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,)))x<－1或x>eq\f(1,2)，那么f(10x)>0的解集为()A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1<x<－lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}【答案】D【解析】根据可得不等式f(x)>0的解是－1<x<eq\f(1,2)，故－1<10x<eq\f(1,2)，解得x<－lg2.10．〔2023·山东卷〕定义“正对数〞：ln＋x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0<x<1，,lnx，x≥1.))现有四个命题：①假设a>0，b>0，那么ln＋(ab)＝bln＋a；②假设a>0，b>0，那么ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；③假设a>0，b>0，那么ln＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))≥ln＋a－ln＋b；④假设a>0，b>0，那么ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)11．〔2023·新课标全国卷Ⅱ]设a＝log36，b＝log510，c＝log714，那么()A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c12．〔2023·浙江卷〕x，y为正实数，那么()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lgx＋lgy，∴2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx2lgy，应选择D.【随堂稳固】1．函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，那么a的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C．2 D．4解析：由题意可知a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，∴a2＋a－6＝0，∴a＝－3或2，又a>0，∴a＝2.2．x＝lnπ，y＝log52，z＝e－eq\f(1,2)，那么()A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x3．假设f(x)＝logax在[2，＋∞)上恒有f(x)>1，那么实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1,2)C．(1,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)解析：f(x)＝logax在[2，＋∞)上恒有f(x)>1，也就是logax>1，x∈[2，＋∞)恒成立．∵x≥2，logax>1，∴a>1，∴1<a<2.答案：C4．函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，那么f(2＋log23)＝()A.eq\f(1,24) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,8) D.eq\f(3,8)5．设函数f(x)＝假设f(m)<f(－m)，那么实数m的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)6．|1＋lg0.001|＋eq\r(lg2\f(1,3)－4lg3＋4)＋lg6－lg0.02的值为________．解析：原式＝|1－3|＋|lg3－2|＋lg300＝2＋2－lg3＋lg3＋2＝6.答案：67．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1，x≤0,log2x，x>0))，那么使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是______________．8．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(2)的大小关系为________．(用“<〞表示)9．假设f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(2)由题意eq\b\lc\{\r