2021年全国统一考试数学文试题（湖南卷含解析）

2021年全国统一考试数学文试题（湖南卷，含解析）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

（1*

1、已知------=l+i（i为虚数单位），则复数Z=（）

Z

A、1+iB、1-iC、-1+iD、-1-i

【答案】D

【解析】

试题分析：.由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z的代数式：

（l-z）2_（1-02且—2i（l—i）

由题---------1+i,.'.z=-------===—1—z,故选D.

z1+/1+i2

考点：一复数的运算

2、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示；

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若将运动员按成绩由好到差编为1、35号、再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间［139,151］

上的运动员人数为（）

A、3B、4C、5D、6

【答案】B

【解析】

试题分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论；

根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间［139,1E：上的运动员人数是20,用系统抽样方法从二人中抽取？

人，成绩在区间［139,上的运动员应抽取7>三*>0=41人，故选3.

考点：茎叶图

3、设XGR,则“X>1”是“云>设的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

试题分析：.由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；由题易知"x〉l”可以推得“产>1”，

可以得到“X>1"，所以“X〉l”是“产〉1”的充要条件，故选C.

考点：命题与条件

^x+y>1

4、若变量x、y满足约束条件〈y-%<1，则z=2x-y的最小值为()

[%<1

A、-IB、OC、ID、2

【答案】A

【解析】

试题分析：由约束条件作出可行域，然后根据所得图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案.

fx+1>1,

由约束条」i-工41作出可行域如图，由图可知，最忧解为A,联立《；',/.<二aio/i,

v-x=lV=1

I、X<1LI"

「.z=2x-y在点A处取得最小值为二X0-l=-l.故选：A.

考点：简单的线性规划

5、执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3,中输入的S=()

r=l,S=O

亘

【答案】B

【解析】

试题分析一由题根据所给程序框图不难得到所求S值即是求递推数列的连续前3项的和；

由题一1匚+二1---1--匚3=二，故选?

1x33x55x77

考点：程序框图

x2y2

6、若双曲线丁丁1的一条渐近线经过点（3,-4）,则此双曲线的离心率为

ab

J7545

A、"B、-C、一D、一

3433

【答案】D

【解析】

试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可.

22222c5

xv

因为双曲线f--7=1的一条渐近线经过点（3,-4）,4a：,9=6"，金，—=—

ab~a3

故选D.

考点：双曲线的简单性质

7、若实数a,b满足)1+f2=J一甚，则ab的最小值为()

ab

A、/B、2C、20'【)、4

【答案】C

【解析】

试题分析：由题根据石可得a»,b>：j,然后利用基础不等式工：三空口,三求解ab的最

ababNab

小值即可；

AO,5〉0,:疝=工+；22产三=:后二。522石，(当且仅当b=2a时取等

号)，所以ab的最小值为:0,故选C.

考点：基本不等式

8、设函数f(x)=ln(1+x)-In(1-x),则f(x)是()

A、奇函数，且在(0,1)上是增函数B、奇函数，且在(0,1)上是减函数C、

偶函数，且在(0,1)上是增函数D、偶函数,且在(0,1)上是减函数

【答案】A

【解析】

试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可.

函数f(x)=ln(1+x)-In(1-x),函数的定义域为(-1,1),函数f(-x)=ln(1-x)-In(1+x)=-[ln

(1+x)-In(1-x)]=-f(x),所以函数是奇函数.

.r(x)=」一+—1=」一己知在(0,1〉上尸(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.

1+x1—X1—

考点：利用导数研究函数的性质

9、已知点A,B,C在圆/+=1上运动，且AB_LBC,若点P的坐标为(2,0),则|ft4+~PB+~ptf的最

大值为

A、6B、7C、8D、9

【答案】B

【解析】

试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆f+y2=l是一人。位直往的圆，然后根据所给条件结合向量的

几何关系不难得至“而+可+国=|2而++叫，易知当B为（1,0）时取得最大值.

由题意，AC为直径，所以忸斗+质+西=|2而+的=k+招，已知B为（-1,0）时，卜+而|取得

最大值7,故选B.

考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使

新工件的一个面落在原工作的一.个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的

体积）

A、配B、C、24（0D、851）2

927»71冗

俯视图

【答案】A

【解析】

试题分析：由题可得，问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如图所示，则有三==二5=2-2上

12

、、飞"十Y一?—

所以长方体体积为丫〃=|天门2=……J--=三，当且仅当x=2-2x:

32

216

即工=二时，等号成立，故利用率为L——=—,故选A

31_1：、9,丁

考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11、已知集合U={1,2,3,4},Am{1,3}1={1,3,4},则叼（诙8）=.

【答案】{1,2,3}.

【解析】

试题分析：由题根据所给集合首先求出集合3的补集，然后求与集合A的并集即可；

由题所以A—2»；；.

考点：集合的运算

12、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为

p=2si〃。，则曲线C的直角坐标方程为.

【答案】f+（y—i）2=i

【解析】

试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可.

曲线C的极坐标方程为夕=2s〃夕.•."uZps",它的直角坐标方程为f+y2=2y,

X2+（y-l）2=1故答案为：d+（y—1）2=

1.考点：圆的极坐标方程

13.若直线3x-4y+5=0与圆/+丁2=产卜>0）相交于A,B两点，且N4OB=120"（0为坐标原点），则

r=.

【答案】

【解析】

试题分析：直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=/（r>o）交于卜、B两点，ZA0B=120°,则^AOB为顶角为120°

的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x-4y+5=0的距离为.1r,代入点到直线距离公式，可构造关于r的方

2

程，解方程可得答案.

如图直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=/（r>o）交于A>B两点，。为坐标原点，且/A0B=120°,则圆心（0,

0）到直线3x-4y+5=0的距离为，5=二尸2.故答案为2.

22

14、若函数f（x）=|2v-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是.

【答案】0<b<2

【解析】

试题分析：.由函数f（x）=2;;-2-b有两个零点，可得二二4有两个零点，从而可得函数一二-二函数v=b

的图冢有两个交点，结合函数的图象可求b的范围.

由函数f（x）=丁-二七有两个零点，可得:-二=1、有两个零点，从而可得函数”1-二磁产b的图冢有两

个交点，结合函数的图象可得，口<匕<二时符合条件，故答案为：：

考点：函数零点

15、已知。>0,在函数y=2sinO）x与y=2cos/x的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2点，则。

【答案】（£>=-

2

【解析】

试题分析：由题根据三角函数的周期性求得两个函数的交点坐标，根据距离最短的两个交点一定在同一个

周期，结合勾股定理不难得到0=三；

由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

（工（岳了+三」），（10/+工，一。，即k.eZ-距离最短的两个交点一定在同一个周期内，

考点：三角函数图像与性质

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

B（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：

从装有2个红球4,4和1个白球8的甲箱与装有2个红球勾,火和2个白球仇，2的乙箱中，各随机摸出1

个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（T）用球的标号列出所有可能的摸出结果；

（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说

明理由。

【答案】（1）｛4，«｝,｛4，/｝，｛4舌｝，｛4,匕2｝，｛4，。1｝,｛4，七｝,

｛瓯仇｝,出力2卜｛氏4｝,｛8,七｝,｛民仇｝,｛B/2）⑴）说法不正确;

【解析】

试题分析：（I）利用列举法列出所有可能的结果即可；（11）在（I）中摸出的2个球都是红球的结果数，然

后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，什么镇江概率大于不中奖概率是错误的；

试题解析：（I）所有可能的摸出结果是：{A，q},{A，2},{4，乙}，{4也},{4，0}，{4。}，

{A2,bi},{A2,b2},{B,ax},{B,a2},{B,bx},{B,b2},

（II）不正确，理由如下：

由（I）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为

{A,a},{A,a},{A,a},{A,a},共4种，所以中奖的概率包,二］，不中奖的概率为1二1J1［，故

11122122123333

这种说法不iE确。

考点：概率统计

口（本小题满分12分）设A4BC的内角4,8,。的对边分别为“力,，,。=从2114。

（I）证明：sinB=cosA；

3

若sinC—sinAcosB=_,且B为锐角，求A,。

4

【答案】（I）略；（11）A=30,8=120,。=30.

【解析】

win/Aciti

试题分析：（1）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得='，所以sin8=cosA；（II）根据

cosAsinB

33

两角和公式化简所给条件可得sinC—sinAcos3=cosAsin8=:，可得sin"=」结合所给角B的范

44

围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.

eit-»AzyqinA

试题解析：（I）由。=/?tanA及正弦定理，得:=_=',所以sin3=cosA。

cosAbsin8

（II）因为sinC-sinAcosB=sin［180-（A+B）］-sinAcosB

=sin(A+8)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=cosAsinB

3

/.cosAsinB=_

4。

有(I)知|sinB=cosA,因此sin28=_,又B为钝角，所以sin8=式，

42

故8=120°,由854=5沿8=式知4=30,从而C=180。_(4+为=30,

2

综上所述，A=30,B=120,C=30,

考点：正弦定理及其运用

B(本小题满分12分)如图4,直三棱柱ABC-4瓦G的底面是边长为2的正三角形，瓦尸分别是

BC,CC,的中点。

(1)证明：平面AEF_L平面B/CG；

(II)若直线与平面所成的角为45°,求三棱锥F-AEC的体积。

__________________________C1

【答案】(I)略；(II理.

12

【解析】

试题分析：(I)首先证明AE工BB「AE1BC,得到AE1平面B.BCC,,利用面面垂直的判定与性质

定理可得平面AEVJ.平面8BCG；(ID设AB的中点为D,证明直线NC4Q直线AQ与平面AAB片所

成的角，由题设知NC4Q=45。，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.

试题解析：(I)如图，因为三棱柱ABC-AB£是直三棱柱，

所以又E是正三角形ABC的边的中点，

所以因此平面8QCG，而AEu平面AM,

所以平面AEF1平面B.BCC,。

(II)设A3的中点为。，雌因为A4BC是正三角形，所以COJ.A8,又三棱柱ABC—AUG

是直三.棱柱，所以CDJ_A41,因此CDJ■平面尸是NCAQ直线AQ与平面AiABb］所成的角,

由题设知NC%D=45,

所以4。=。。=变A8=/，

3

在及AAAD中，”=小亚二AD?=g=必，所以FC=：A41=

故三棱锥尸―AEC的体积V=|sXFC=「X/X£=E

考点：柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质

B（本小题满分13分）设数列｛%｝的前〃项和为S”,已知q=1,%=2,且％+1=35,

一5向+3,(〃eM),

(D证明：an+2=3a„；

(11)求S.。

[3(5x3匹-1),(〃=2%+1,%eM)

【答案】⑴略；(II)5“=在“

l^32-l),(n=2k,kwN")

12

【解析】

试题分析：(I)当〃eN*,〃22EI寸，山题可得a,.=3S„-5„+]+3,(neN*),an+l=3S„_,-5„+3,(〃GM),

两式子相减可得4+2—。向=3a“-a”+—即a“+2=3凡,（〃22）,然后验证当n=l时，命题成立即可；（II）

通过求解数列｛4｝的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.

试题解析：(I)由条件，对任意〃wN*,有a”+2=3S„-Sll+i+3,(〃eM),

因而对任意〃eM,o>2,有a“+i=3S,T-S“+3,(〃wM),

两式相减,得a.-a“+i=3a“一a“+i,BPan+2=3an,(〃>2),

=

又。1=1,«22，所以°3=3S］—S2+3=3。］—Q+生)+3=34,

故对一切an+2.,—3ano

(11)由(1)知，awO,所以上=3,于是数列｛a｝是首项a=l,公比为3的等比数列，数列｛a｝

n2n—\12n

是首项a=2,公比为3的等比数列，所以a=3"工。=2x3"7,

102w-l2n

于是S2n=。］+。2+••,+&2n=(a+/+・・•+生”-1)+(。2+。4+','+)

(l+3+..3"~i)+2(l+3+...3"T)=3(l+3+...3"T)='丁)

3(3"-1),I3n_2

从而S2,I=S〃—生〃=「一一2x3=-(5x3-1),

f3g

6(5x32—l),(n=2k+l,kwM)

综上所述，q=§“。

1-(32二1),(〃=2左,左GM)

12

考点：数列递推关系、数列求和

、yJC

2)(本小题满分13分)已知抛物线C：I_r=4>的焦点F也是椭圆C,:一+丁=1

ab-

(a>8〉0)的一个焦点，G与G的公共弦长为2诟，过点F的直线/与G相交于A,8两点，与。2相交

于C,。两点，且NC与R同向。

(I)求G的方程；

(II)若|4。|=取。|,求直线/的斜率。

【答案】(I)二+二=1；(II)士之

984

【解析】

试题分析；(I)由题通过F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C的一个焦点，可得/—〃=[,根据C与。

2I2

96

的公共弦长为2#。与C都关于y轴对称可得二二:三1,然后得到对应曲线方程即可:(11)设

124?V

A(M,y।),B(X2,y2),C(x3,y3),£)(x4,y4)，根据AC=BD,可得

(x+X)2-4XX=(X+X)2_4XX,设直线/的斜率为左，则/的方程为y=fcr+l,联立直线与抛物线

343412I2”

方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.

试题解析：(I)由C:%2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C的一个焦点，所以足―〃=1

12

①；又q与q的公共弦长为2诟，q与q都关于丁轴对称，且q的方程为0：寸=4＞，由此易知q

c(±396

与2的公共点的坐标为一庶二)，，丁+不=1②，

24a2b'

2上

联立①②得＞=9力2=8,故。2的方程为5v"+8=1。

(II)如图,设A(x”%)，B(X2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

因~AC与FD同向，平Af十叫),

所以Nt三瓦)，从而当—再=*4一々，即Xj-X4=Xt-x2,于是

(x+x)2-4xx=(x+x)2-4x%③

3434I212

设直线/的斜率为左,则/的方程为y=依+1,

\y-kx+\.

由,得*2-4依一4=0,由是这个方程的两根，+x=4k,xx=-4④

]24121212

[y=Ax+1

由W2、,2得(9+8炉)f+16依—64=0而电，％是这个方程的两根，

v+1-1

189

IQ64

x+x=-10k,xx=_,⑤

349+8/349+8公

2162r4X642162x9(42+1)

将④、⑤代入③，得16(4+1)=------y产-----门即16(左+1)=........-

(9+8公)29+8公(9+81)2

所以(9+8A：2)2=16X9,解得斤=±拿，即直线/的斜率为土式

44

考点：直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质

2(本小题满分13分)函数f(x)=aecosx(xe[0,+oo),记x为/(x)的从小到大的第〃(〃eN")个极

值点。

(I)证明：数列｛,"%)｝是等比数列；

(II)若对一切neN",/W/(X")|恒成立，求a的取值范围。

【答案】(I)略；(TT)龙^/,+oo)

4

【解析】

试题分析：(I)由题_f(x)=JZae'cos(x+*)，令/'(©=()，求出函数的极值点，根据等比数列

“乃一越

定义即可得到结果；(口)由题问题等价于也W一~"恒成立问题，设g(f)=£«>0),然后运用导数

an7r-—t

4

7157V714五4-

01

知识得到[80“)焉=诃801)送(工)]=111呵8(/送(7]=8(/=£62，所以求得

^2,得到a的取值范围;

4

rr工/—\

斤：(I)ff(x)=aexcosx-aexsinx=%paecos(x+4)