新版【优化指导】2023高考数学总复习第11章-第7节-离散型随机变量及其分布列课时跟踪检测-理(含解析)新人教版

PAGEPAGE8【优化指导】2023高考数学总复习第11章第7节离散型随机变量及其分布列课时跟踪检测理〔含解析〕新人教版1．以下4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()eq\a\vs4\al(A.)X012P0.30.40.5eq\a\vs4\al(B.)X012P0.3－0.10.8eq\a\vs4\al(C.)X1234P0.20.50.30eq\a\vs4\al(D.)X012Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(3,7)解析：选C选项A中概率和大于1，故不正确；选项B中的概率为负值，故不正确；选项C中满足分布列的两个性质，正确；选项D中概率和不等于1.应选C.2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，假设取得黑球那么另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．假设抽取的次数为X，那么表示“放回5个红球〞事件的是()A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤5解析：选C事件“放回5个红球〞表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，此时X＝6.应选C.3．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))i，i＝1,2,3，那么a的值是()A.eq\f(64,111) B.eq\f(64,101)C.eq\f(27,64) D.eq\f(37,64)解析：选A1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3))，解得a＝eq\f(64,111)，选A.4．(2023·贵阳调研)随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，那么P(|X|＝1)＝()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选D因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，得b＝eq\f(1,3)，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).应选D.5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，那么取得次品数为1的概率是()A.eq\f(32,35) B.eq\f(12,35)C.eq\f(3,35) D.eq\f(2,35)解析：选B设随机变量X表示取出次品的个数，那么X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(12,35).选B.6．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，那么当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析：选D∵a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).选D.7．某射手射击所得环数X的分布列为()X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22那么此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________．解析：0.79P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，那么所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：eq\f(4,5)设所选女生人数为X，那么X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，那么P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).9．一个篮球运发动投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，且a、b、c∈(0,1)，他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，那么ab的最大值为________．解析：eq\f(1,24)由3a＋2b＋0×c＝1，∴3a＋2b＝1，∴ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)eq\f(3a＋2b2,4)＝eq\f(1,24)，当且仅当a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4)时等号成立．10．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并答复正确的得1分，抢到题但答复错误的扣1分(即得－1分)．假设X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，那么X的所有可能取值是________．解析：－1,0,1,2,3X＝－1，甲抢到一题但答错了．X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，X＝2时，甲抢到2题均答对．X＝3时，甲抢到3题均答对．11．(2023·江南十校联考)某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n＞8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，假设选出的2位校友是一男一女，那么称为“最正确组合〞．(1)假设随机选出的2位校友代表为“最正确组合〞的概率不小于eq\f(1,2)，求n的最大值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最正确组合〞的概率为eq\f(C\o\al(1,n－6)C\o\al(1,6),C\o\al(2,n))＝eq\f(12n－6,nn－1)，那么eq\f(12n－6,nn－1)≥eq\f(1,2)，整理得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，所以n的最大值为16.(2)由题意得ξ的可能取值为0,1,2，那么P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,12))＝eq\f(5,22)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,6),C\o\al(2,12))＝eq\f(6,11)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,12))＝eq\f(5,22)，所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(5,22)eq\f(6,11)eq\f(5,22)12．自“钓鱼岛事件〞以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动〞，某学校举办了一场“保钓知识大赛〞，共分两组．其中甲组得总分值的有1个女生和3个男生，乙组得总分值的有2个女生和4个男生．现从得总分值的同学中，每组各任选2个同学，作为“保钓行动代言人〞．(1)求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；(2)设X为选出的4个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“从甲组内选出的2个同学均是男生；从乙组内选出的2个同学中，1个是男生，1个是女生〞为事件A，“从乙组内选出的2个同学均是男生；从甲组内选出的2个同学中1个是男生，1个是女生〞为事件B，由于事件A，B互斥，且P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5).所以选出的4个同学中恰有1个女生的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(4,15)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,15).(2)由条件知X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(7,15)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(7,15)－eq\f(1,30)＝eq\f(3,10).所以X的分布列为X0123Peq\f(1,5)eq\f(7,15)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以X的数学期望为E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(7,6).1．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，那么Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))＝______.解析：eq\f(5,6)由分布列的性质知aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋\f(1,3×4)＋\f(1,4×5)))＝eq\f(4a,5)＝1，所以a＝eq\f(5,4)，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,6)))×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).2．随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，那么公差d的取值范围是________．解析：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，那么(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).故所求范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))).3．(2023·青岛调研)从3,4,5,6,7,8这6个数中任取3个不同的数，假设这3个数的乘积能被24整除，记X＝24；假设这3个数的乘积不能被24整除，记X＝－24，那么X的分布列为______．解析：X24－24Peq\f(1,2)eq\f(1,2)从3,4,5,6,7,8这6个数中任取3个不同的数，一共有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)取法，其中任取3个数的乘积能被24整除的取法有4＋4＋2＝10(种)，所以任取3个数的乘积能被24整除的概率等于eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，于是X的分布列如下：X24－24Peq\f(1,2)eq\f(1,2)4．如下图，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，那么P(ξ≥8)＝________.解析：eq\f(4,5)由题意知ξ的所有可能取值为7,8,9,10.P(ξ＝7)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝8)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,1)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(3,5))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝10)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,1),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).所以ξ的分布列为ξ78910Peq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)eq\f(1,10)所以P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).5．某学校为市运动会招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：男女8165898761723556742180121190假设身高在180cm以上(包括180cm)定义为“高个子〞，身高在180cm以下(不包括180cm)定义为“非高个子〞，且只有“女高个子〞才能担任“礼仪小组〞．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子〞和“非高个子〞中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子〞的概率是多少？(2)假设从所有“高个子〞中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪