1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（教师版）

1.1分类加法和分布乘法计数原理分类加法计数原理

【基础梳理】1m2n种不同的方法，那N＝m＋n种不同的方法．分步乘法计数原理1m2n种不同的方法，那么完成这件事共N＝m×n种不同的方法．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．【典型例题】题型一分类加法计数原理1-1（2020·全国高三专题练习）44A．8种 B．9种 C．10种 D．11种【答案】BA㴳㴳C㴳翿a㴳b㴳cdAb，则余下三人监考剩下的3A33＋3＋3＝9(种)不同的监考方法，故选B．22【例1-2】 设集合则方程A．6个 B．8个C．12个 D．16个【答案】 A

＋＝1表示焦点位于轴上的椭圆的有( )mn【解析】 因为椭圆的焦点在轴上，所以当时当时当时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．【举一反三】202庆二（王有70钱有值别为20和30的种IC话卡他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】AIC1张IC卡，买2张IC卡，买3张ICIC1IC220302IC3203020303IC220303202＋3＋2＝7(种)不同的买法．（200从321（ ）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法.故选：B.200国三题习甲到地三方可到.天有8汽车2火和2飞.一天一人从甲地去乙地，共有 种不同的方法.【答案】12（1）8228＋2＋2＝12（种）方法.故答案为：12.题型二分步乘法计数原理例2-1（201宁验学三考理高年的个去、、、四工参学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ）A．16种 B．18种 C．37种 D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4th4种情况，其中工厂33th7种方h4h7t37种，故选：C．2-2（2020·全国高三专题练习4）A．72种 B．48种 C．24种 D．12种【答案】AA4B3CABC2DCD34x3x2x3=72A。【举一反三】现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤如果一条长裤与一件上衣配成一套则不同的配法种数为( )A．7 B．12 C．64 D．81【答案】 B【解析】 要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件有4种不同的选法第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．2．已知∈{3,,6}∈{1,}∈{1,,9,6}，则方程2＋)22可表示的不同圆的个数是( )A．6 B．9 C．16 D．24【答案】 D【解析】 确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定有3种选法；第二步，确定有2种选法；第三步，确定有4种选法．由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×2×4＝24.3．某运动会上，81001,2,3,4,5,6,7,8奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有 种．【答案】 2880【解析】 分两步安排这8名运动员．第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24(种)方法；52,4,6,85×4×3×2×1＝120(种)．824×120＝2880(种)．【例3-1】 用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【答案】见解析(1)055×5×＝5＝125004可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．24×3＝12(种)02240332×3×3＝1812＋18＝3030【例3-2】(1)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有 种.【答案】 42【解析】分别用332(1abc22×2＝4(种)方法．(2aba第四块有b或c两种方法，①若第四块放c：abac第五块有2种方法；②若第四块放b：abab第五块只能种作物c，共1种方法．利用两个计数原理解决应用问题的一般思路弄清完成一件事是做什么．利用两个计数原理解决应用问题的一般思路弄清完成一件事是做什么．确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．【举一反三】（209）3413高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？1）32）144（3381.【解析】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，若选出的是高一学生，有13种情况，若选出的是高二学生，有12种情况，若选出的是高三学生，有9种情况，由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．1131121912×13×9＝1404根据题意，分三种情况讨论：12×13＝15613×9＝11712×9＝108156+117+108＝381【强化训练】（200江三题习空中共的4点若中3到面距相且第四个点到平面的2倍，这样的平面的个数为（ ）A．8 B．16 C．32 D．48【答案】C【解析】第一种情况，A，B，C，D点在平面的同侧.当平面∥平面BCD时，A与平面的距离是与平面BCD的距离的2倍.这种情况下有4个平面.中有3个点在平面的一侧，第4个点在平面的另一侧，这时又有两种情形：一种情形是平面与平面与平面的距离是平面24另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面）的距离是D到平面EFK距离的一半.∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，∴这种情形下的平面有3×4=12（个）.第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面两侧各种有两点.平面2就与分别位于平面两侧的情形来看，就有离平面离平面离平面离平面34×3=12（个）.综上分析，平面有4+4+12+12=32（个）.故选：C.（200江三题习从135，，9任两数从0，，468任取2数则组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A．2100 B．2200 C．2160 D．2400【答案】C5444C2C2A4时，组成没有重复数字的四位数的个数为C2C1A1A372054314407202160．故选C．202239这94A．60种 B．63种 C．65种 D．66种【答案】D44个偶数时，有C41种结果，4当取得4个奇数时，有C45种结果，当取得2奇2偶时有C2C261060种结果,共有5 4 5156066种结果.故答案为D.（200a，b5个点和813A．40 B．16 C．13 D．10【答案】C1ab882ba55根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面，故选C．202东三末国十生叫二相一人出年对了二动（、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ）1 1A． B．66

5 5C． D．11【答案】C【解析】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10231060种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有141040种.因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为60401005.故选：C.A123 1320 66A12201975本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.（200从集合{123，，…，1055个数中11，则这样的子集有A．32个 B．34个 C．36个 D．38个【答案】A【解析】由题意，将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.2从每一小组中取一个，有C1＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个．故选A.2（207421A．6种 B．12种 C．24种 D．30种【答案】C【解析】甲和乙选中同一课程的选法有C1种，甲和乙再各选一门有C1和C1种，根据乘法原理，甲和乙完4 3 2432成选修课程选择有C1C1C124种，选C.432202国三题习集{12，10任选三不的，这个成比数列，这样的等比数列的个数为（ ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D11，2，4；1，3，922，4，8；44，6，944∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个.故选：D.1200理A、B、C、D、E、F4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案.【答案】96【解析】要完成给出的图形中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法分为两类，第一类是仅用三种颜色染色，4AFBD4

43有A36种染法，共4624种染法；3AFBD、三组中有一组不同色，则有3（AFBD不4同色或不同色A2122种4染法，共有312272种染法.由分类加法原理可得总的染色方法种数为247296（种）.故答案为：96.1202·江三题习由字，234，，6成有复字三数偶共 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个．【答案】60 36【解析】根据题意，对于第一空：分2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数，其个位是2、4或6，有3种情况，5②在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，有A220种情况，5则有3×20=60个符合题意的三位偶数；对于第二空：分3种情况讨论：①，当其个位为2时，十位数字只能是1，百位数字有4种情况，此时有4个符合题意的三位数；41243×4=126123445×4=20则有4+12+20=36个符合题意的三位数；故答案为60，36．1200江三题习数字012345成有复字为数四数 .个.【答案】156【解析】由题意知，数字0不能在首位，又在末位时构成偶数，553A3种结果，2，4524从除0外的4个中放在首位,其他的四个数字在两个位置排列,共有A1A1A224根据分类加法得到共有A3A1A1A2156.故答案为：1565 2441（209川都中二中文4大生业到3用单应，每单至录其中一人，则不同的录用情况的种数是 【答案】60【解析】根据题意，分2种情况讨论：4①4名大学生中录用3人，有A343224种录取情况；4434C2A36636243660种录用种数；故答案为：60．431202火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有 种．【答案】7434＋3＝7(种)．1202·国三题习在号为12，，456六盒中入个同小，个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有 种．【答案】20A，BA16B4A2，3，4，5B34×2＋3×4＝201201·）464个球．若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？21451）52）195.（1）4红