中考数学复习题精华人教新课标版

中考数学总复习题

1,三角形：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角

形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几

何题是这部分知识常用的方法。

2,全等三角形：掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三

角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。

3,等腰三角形：灵活运用等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、

中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。

4,直角三角形、勾股定理、面积了解直角三角形的判定与性质，理解直角角形的边角关系，

掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分

关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。

5,角平分线、垂直平分线了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实

际问题。

6.平行四边形理解并掌握平行四边形的判定和性质

7.矩形、菱形理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。

8.正方形理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。

9.梯形掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。

10.三角形、梯形的中位线掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和

计算。

11.锐角三角函数本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函

数的意义，即运用sina、cosa>tana>cota准确表示出直角三角形中两边的比（a为锐

角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值

12.解直角三角形本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直

角三角形的有关问题。

13.三角函数的综合运用本课时主要是解直角三角形的应用,涉及到的内容包括航空、航海、

工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉

仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学

模型。

14.比例线段本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例

定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，•些中考题又以此为背景设计分类求解题。

15.相似三角形（一）本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这

是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。

16.相似三角形（二）本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用

17.相似形的综合运用（一）会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。另夕卜，

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考

的热点题型。

18.相似形的综合运用（二）本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中

考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。

19.圆的有关概念和性质1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；

2、理解弦弧、半圆优弧、同心圆等圆、等弧弓形、圆心角圆周角等与圆有关的概念；

3、掌握圆心角弧、弦弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算

题。

20.垂径定理1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这

1

条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另

三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。

2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。

21.切线的判定与性质1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连

结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

22.与圆有关的角1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；

2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；

3、掌握圆周角定理及其推论；

4、掌握弦切角定理及其推论；

5、掌握各角之间的转化及其综合运用。

23.圆中成比例的线段1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的

结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。

2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。

24.圆与圆（一）

1、掌握圆与圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的关系，掌握圆与圆的位置关

系的三种判定方法。

2、掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，相切两圆的连心线必过切点等性质。

25.圆与圆（二）

1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。

2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结

合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。

26.正多边形和圆

1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；

2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；

3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；

4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。

1.三角形

考点：

理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角

和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这

部分知识常用的方法。

精典例题：

［例1］已知一个三角形中两条边的长分别是4、且。〉匕，那么这个三角形的周

长L的取值范围是（）

A、3a>L>3bB、2（a+b）>L>2a

C、2a6+b>L>2b+aD^3a-b>L>a+2b

分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两

边之和。

答案：B

2

变式与思考：在△ABC中，AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是()

A、1<AB<29B、4<AB<24C、5<AB<19D、9<AB<19

评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借

助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例2】如图，已知AABC中，ZABC=45°,ZACB=61°,延长BC至E,使CE=AC,延

长CB至D,使DB=AB,求/DAE的度数。

分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出ND+NE的度数，即

可求得NDAE的度数。

略解：VAB=DB,AC=CE

AZD=-ZABC,ZE=-ZACB

22

AZD+ZE=-(ZABC+ZACB)=53°

2

.".ZDAE=180°-(ZD+ZE)=127°

探索与创新：

【问题一】如图，已知点A在直线/外，点B、C在直线/上。

(1)点P是AABC内任一点，求证：ZP>ZA；

(2)试判断在aABC外，又和点A在直线/的同侧，是否存在一点Q,使/BQO/A,

并证明你的结论。

分析与结论：

(1)连结AP,易证明NP>/A；

(2)存在，怎样的角与/A相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造aABC的

外接易知弦BC所对旦顶点在弧AMB,和弧A〃C上的圆周角都与NA相等，因此点Q

应在弓形A"?B和A〃C内，利用圆的有关性质易证明(证明略)。

【问题二】如图，已知P是等边aABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂

线PE、PD,垂足为E、Do问：4AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？

分析与结论：

(1)DE是4AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD+AE=BE+BC+CD

(2)既有等边三角形的条件，就有60°的角可以利用；又有垂线，可造成含30°角的直

角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。

略解:在等边△ABC中,ZB=ZC=60"

又：PE_LAB于E,PD_LAC于D

.,.ZBPE=ZCPD=3O0

不妨设等边aABC的边长为1,BE=x,CD=y,那么:

BP=2x,PC=2y,x+y=—,而AE=1-x,AD=1-y

3

AE+AD=2—(x+y)=—

3

错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。

略解：不正确，错在第一步。

正确证法为：

VBE=CE

.".ZEBC=ZECB

又；Nl=/2

.,.ZABC=ZACB,AB=AC

.二△ABE四△ACE（SAS）

.-.Z3=Z4

又；AB=AC

.'.AP±BC

评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的

是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的

新题型，应引起重视。

【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办

法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？

请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。

解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两

边中的大边，则这两个三角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方

案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。

评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，

则这两个三角形全等。（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全

等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设

条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况

不成立，而特殊情况下成立的思路。

跟踪训练：

一、填空题：

1,若△ABCgZXEFG,且NB=60°,ZFGE-ZE=56°,则/A=度。

2、如图，AB〃EF〃DC,NABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形对。

3、如图，在AABC中，NC=90",BC=40,AD是/BAC的平分线交BC于D,且DC：DB=3：

5,则点D到AB的距离是。

4、如图，在aABC中，AD±BC,CE±AB,垂足分别为D、E,AD>CE交于点II,请你添加一

个适当的条件：,使△AEHZ/\CEB。

5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点0,写出一

组相等的线段（不包括AB=CD和AD=BC）。

6,如图，NE=NF=90",ZB=ZC,AE=AF。给出下列结论：①N1=N2；②BE=CF；③

△ACN也△ABM；®CD=DNo其中正确的结论是（填序号）。

7

为什么？

4、如图，已知NMON的边0M上有两点A、B,边ON上有两点C、D,且AB=CD,P为/

MON的平分线上一点。问：

(1)AABP与4PCD是否全等？请说明理由。

(2)ZXABP与4PCD的面积是否相等？请说明理由。

解答题第5题图

5、如图，已知CE_LAB,DFJ_AB,点E、F分别为垂足，且AC:〃BD。

(1)根据所给条件，指出4ACE和ABDE具有什么关系？请你对结论予以证明。

(2)若4ACE和ABDE不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证

明。

参考答案

一、填空题：

1、32；2、3；3、15；4、AH=BC或EA=EC或EH=EB等；

5、DC=DE或BC=BE或OA=OE等；6、①②③

二、选择题：BBDA

三、解答题：

1、%

2、(1)略；(2)AF_LBE,AF平分BE等；

3、(1)略；(2)不成立，举一反例即能说明；

4、(1)不一定全等，因4ABP与4PCD中，只有AB=CD,而其它角和边都有可能不相

等，故两三角形不一定全等。(2)面积相等，因为0P为NM0N平分线上一点，故P到边AB、

CD上的距离相等，即△ABP中AB边上的高与4PCD中CD边上的高相等，又根据AB=CD(即

底边也相等)从而AABP与4PCD的面积相等。

5、(1)4ACE和aBDF的对应角相等；(2)略

3.等腰三角形

知识考点：

9

灵活运用等腰(等边)三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的

平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。

精典例题：

［例1］等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2,则等腰三角形的顶角为()

A、30°B、60°C、150°D、30°或150°

分析：如图所示,在等腰△ABC中,CD为腰AB上的高,CD：AB=1：2,VAC=AB,/.

CD：AC=1:2,...在RtZXABC中有答案1)。

【例2】如图，在aABC中，AC=BC,NACB=90",D是AC上•点，AE_LBD的延长线于

E,又AE=，B1),求证：BD是NABC的角平分线。

2

分析：ZABC的角平分线与AE边上的高重合，故可作辅助线补全图形，构造出全等三

角形(证明略)。

探索与创新：

【问题一】如图，在等腰直角aABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂

直的射线与两腰分别相交于E、F点，连结EF与AD相交于G,试问：你能确定/AED和/AGF

的大小关系吗？

分析与结论：依题意有4ADE丝△FDC,ZiEDF为等腰直角三角形，又；/AED=/AEF+

ZDEG,ZAGF=ZAEF+ZEAG,事实上NEAG与/DEG都等于45°,故NAED=NAGF。

评注：加强对图形的分析、发现、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代

数式表示/AED、ZAGF,从而比较其大小是本题的解题关键。

问题二图

【问题二】在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离

有且只有两种长度。例如正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA,AC=BD。请你画出具有这种独

特性质的四种不同的图形，并标注相等的线段。

略解：(1)AB=AD=DB=DC=BD,AC

(2)AB=AC=AD=BC,BD=DC

(3)AB=AC,AO=BO=CO=DO

(4)AB=BC=AC,A0=B0=C0

(5)AB=AD=CD,AC=BC=BD

10

c

(1)

评注：本例突破了常规作图题的思维形式，是一道很好的开放型试题，要求学生既要善

于动脑，又要善于动手。

跟踪训练：

一、填空题：

1、等腰三角形的两外角之比为5：2,则该等腰三角形的底角为。

2、在AABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC于D,DE垂直平分AB,E为垂足，则NC

3、等腰三角形的两边长为4和8,则它腰上的高为o

4、在aABC中，AB=AC,点D在AB边上，且BD=BC=AD,则/A的度数为

5、如图，AB=BC=CD,AD=AE,DE=BE,则NC的度数为。

6、如图，D为等边aABC内一点，DB=DA,BP=AB,ZDBP=ZDBC,则/BPD=.

7,如图，在aABC中，AD平分/BAC,EGLAD分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、

F、G,已知下列四个式子:

①/1=工(Z2+Z3)②Nl=2(Z3-Z2)

2

③N4」(Z3-Z2)@Z4=-Z1

22

其中有两个式子是正确的，它们是和。

二、选择题：

1、等腰三角形中一内角的度数为50°,那么它的底角的度数为()

A、50°B、65"C、130°D、50"或65"

2、如图，D为等边aABC的AC边上一点，且NACE=NABD,CE=BD,则4ADE是()

A、等腰三角形B、直角三角形C、不等边三角形D、等边三角形

11

第2题图第3题图

3、如图，在aABC中，ZABC=60°,ZACB=45°,AD、CF都是高，相交于P,角平分线BE

分别交AD、CF于Q、S,那么图中的等腰三角形的个数是（）

A、2B、3C、4D、5

4,如图，已知B0平分NCBA,CO平分NACB,且MN〃BC,设AB=12,BC=24,AC=18,则

△AMN的周长是（）

A、30B、33C、36D、39

第4题图

5、如图，在五边形ABCDE中，ZA=ZB=120°,EA=AB=BC=-DC=-DE,则/D=（）

22

A、30°B、45°C、60°D、67.5°

三、解答题：

1、如图，在aABC中，AB=AC,D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BD=CE,ZDEF

=ZBo求证：ZXDEF是等腰三角形。

2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角

形绿地。请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

3、如图，在锐角△ABM」，ZABC=2ZC,/ABC的平分线与AD垂直，垂足为D,求证：

AC=2BD0

第3题图

4、在等边AABC的边BC上任取一点D,作NDAE=60°,AE交NC的外角平分线于E,那

么4ADE是什么三角形？证明你的结论。

参考答案

12

一、填空题：

1,30°；2、72°；3、V15；4、36°；5、36°；6,30°；7、①③

二、选择题：DDDAC

三、解答题：

1、证4DBE丝ZXECF

2、提示：分两种情况讨论。不妨设AB=10米，作CDJ_AB于D,贝iJCD=6米。

(1)当AB为底边时，AC=BC=M米；

(2)当AB为腰且三角形为锐角三角形时，AB=AC=10米，BC=2&U米；

(3)当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB=BC=10米，AC=6ji6米：

3、提示：延长AD交BC于点M。

4、4ADE为等边三角形。

4.直角三角形、勾股定理、面积

知识考点：

了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简

单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系

及与面积有关的问题等方面。

精典例题：

【例1】如图，在四边形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,则AB=?

分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是

向外补形。

答案：-V3

3

13

例1图例2图

【例2】如图，P为aABC边BC上一点，PC=2PB,已知NABC=45°,ZAPC=60°,求/

ACB的度数。

分析：本题不能简单地由角的关系推出/ACB的度数，而应综合运用条件PC=2PB及/

APC=60°来构造出含30°角的直角三角形。这是解本题的关键。

答案：ZACB=75°（提示：过C作CQLIP于Q,连结BQ,则AQ=BQ=CQ）

探索与创新：

【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=30°,点A处有一所中学，

AP=160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上

沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米/

小时，那么学校受影响的时间为多少秒？

分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD=80米）入手，在距A点方圆

100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。

略解：作ADLMN于D,在Rt^ADP中，易知AD=80。所以这所学校会受到噪声的影响。

以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F,连结AE、AF,则AE=AF=100,根据勾股定

理和垂径定理知：ED=FD=60,EF=120,从而学校受噪声影响的时间为：

120

=—（小时）=24（秒）

18000150

评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。

：y..

B，

问题一图

【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋

风暴，有极强的破坏力.如图12,据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B

处有•台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，

该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变。

若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。

14

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

解（1）如图1,由点A作AD_LBC,垂足为D。

VAB=220,ZB=30°AAD=llO（千米）。

由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市

会受到这次台风的影响。

（2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AE=

AF=160。当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：

DE=ylAE2-AD2=V1602-1102=^270x50=30715».•.EF=60岳（千米）。

•.•该台风中心以15千米/时的速度移动。.•.这次台风影响该城市的持续时间为

如巫=4后（小时）。

15

（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12--=

20

6.5（级）。

评注：本题是一道儿何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形

中的儿何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台

风影响，若过A作AD_LBC于D,设E,F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心

的位置，则AE=AF=160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。

跟踪训练：

一、填空题：

1、如果直角三角形的边长分别是6、8、X,则x的取值范围是。

2、如图，1）为4ABC的边BC上的一点，已知AB=13,AD=12,,BD=5,AC=BC,则BC

3、如图，四边形ABCD中，已知AB：BC：CD:DA=2：2：3：1,且/B=90°,则NDAB

4、等腰AABC中，一腰上的高为3cm,这条高与底边的夹角为30",贝U。

5、如图，ZSABC中，ZBAC=90°,ZB=2ZC,D点在BC上，AD平分/BAC,若AB=1,则

BD的长为o

15

6、已知RtaABC中，ZC=90°,AB边上的中线长为2,且AC+BC=6,则S^BC=

7、如图，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,腰长为8cm,AC、BD相交于0点，且ZA0D=60°,设

E、F分别为CO、AB的中点，则EF=。

8、如图，点D、E是等边aABC的BC、AC上的点，且CD=AE,AD、BE相交于P点，BQ±AD»

已知PE=1,PQ=3,贝ijAD=“

9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方

形的边长为7cm,则正方形A、B、C、D的面积的和是。

二、选择题：

1、如图，已知AABC中，AQ=PQ,PR=PS,PR_LAB于R,PSLAC于S,则三个结论：①AS

=AR；②QP〃AR；③△BRP畛Z\QSP中（）

A、全部正确B、仅①和②正确C、仅①正确D、仅①和③正确

2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是30°,那么这个三

角形的形状是（）

A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定

3、在四边形ABCD中，AD±CD,AB=13,BC=12,CD=4,AD=3,则NACB的度数是（）

A、大于90°B、小于90°C、等于90°D、不能确定

BPC

第1题图第4题图

4、如图，已知aABC由/8=90",人8=3,8，=有，0人=0。=后，贝江0人8的度数为（）

A、10°B、15°C、20°D、25°

三、解答题：

1、阅读下面的解题过程：已知。、b、c为aABC的三边，且满足a2c2—2c2="4

-b4,试判断△ABC的形状。

IW：•：a2c2-b2c2=a4-b4……①

/.c2(a2一/)=(a2+b2)(a2-b2)......②

16

Aa2+h2=c2........(3)

...△ABC是直角三角形。

问(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号

(2)错误的原因是；

(3)本题的正确结论是。

2、已知aABC中，ZBAC=75°,NC=60",BC=3+g,求AB、AC的长。

3、如图，z\ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE,DG_LCE于G。

(1)求证：G是CE的中点；

(2)ZB=2ZBCEo

60米，ZA=36°o

(1)若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路

线，并求最短路线CE的长(保留整数)；

(2)若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元/米，水渠路

线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。

参考数据：sin36°=0.5878,sin54°=0.8090

5、已知AABC的两边AB、AC的长是方程(2女+3"+女2+3々+2=0的两个实数

根，第三边BC=5。

(1)人为何值时，AABC是以BC为斜边的直角三角形；

(2)女为何值时，AABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

参考答案

一、填空题：

1、10或2"；2、16.9；3、135°；4、373cm2；5、75-1；6、5；7、4

8、7；9、49

二、选择题：BDCB

三、解答题：

1、(1)③；(2)略；(3)直角三角形或等腰三角形

2、提示：过A作ADLBC于D,则AB=3痣，AC=273

3＞提示:连结ED

4、(1)51米(2)若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。

5、(1)2；(2)%=4或3,当氏=4时，面积为12。

17

5.角平分线、垂直平分线

知识考点：

了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：

【例题】如图，已知在aABC中，AB=AC,ZB=3O0,AB的垂直平分线EF交AB于点E,

交BC于点F,求证：CF=2BF«

分析一：要证明CF=2BF,由于BF与CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根

据其性质可连结AF,则BF=AF。问题转化为证CF=2AF,又NB=/C=30°,这就等价于要

证/CAF=90",则根据含30°角的直角三角形的性质可得CF=2AF=2BF。

分析二：要证明CF=2BF,联想NB=30°,EF是AB的中垂线，可过点A作AG〃EF交FC

于G后，得到含30°角的Rt^ABG,且EF是Rt^ABG的中位线，因此BG=2BF=2AG,再设

法证明AG=GC,即有BF=FG=GC。

例题图2

分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作ADLBC于D,则BD=CD,考虑

到/B=30°,不妨设EF=1,再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

，’，E

探索与创新：

【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：

三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两

18

边对应成比例。如图，^ABC中，AD是角平分线。求证：殷=”

DCAC

分析：要证空■=组，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角

DCAC

形相似，现在B、D、C在同一条直线匕4ABD与aADC不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式些=4与中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C

DCAC

作CE〃AD交BA的延长线于E,从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE,这样，证明丝•=必

DCAC

就可以转化为证AE=AC。

证明：过C作CE〃AD交BA的延长线于E

N1=N2

CE〃AD=<N2=N31=>/E=N3nAE=AC

Z1=NE

BDAB

CE〃AD=>——

DCAE

.BD_AB

"~DC~~AC

(1)上述证明过程中，用了哪些定理(写出两个定理即可)；

(2)在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后

面的括号内()

①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想

答案：②转化思想

(3)用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中NBAC的角平分线，

AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长。

35

答案：—cm

9

评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。

跟踪训练：

—＞填空题：

1、如图，ZA=52°,0是AB、AC的垂直平分线的交点，那么/OCB=。

2、如图，已知AB=AC,NA=44°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则NDBC=.

第1题图

3,如图,在ZkABC中,NC=90°,ZB=15°,AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD

=8,贝ljAC=。

19

4、如图，在aABC中，AB=AC,DE是AB的垂直平分线，4BCE的周长为24,BC=10,则

AB=<>

5、如图，EG、FG分别是NMEF和/NFE的角平分线，交点是G,BP、CP分别是/MBC和NNCB

的角平分线，交点是P,F、C在AN上，B、E在AM上，若/G=68°,那么NP=。

ABEM

填空第5题图选择第2题图

二、选择题：

1、如图，AABC的角平分线CD、BE相交于点F,且NA=60°,则NBFC等于（）

A、80°B、100°C、120°D、140°

2、如图，4ABC中，/1=/2,N3=N4,若/1）=36°,则/C的度数为（）

A、82°B、72°C、62°D、52"

3、某三角形有•个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为

2：3两部分，若这个三角形的周长为30cm,则此三角形三边长分别是（）

AN8cm、8cm、14cmB、12cm、12cm、6cm

CN8cm、8cm>14cm或12cm、12cm、6cmD、以上答案都不对

4、如图，Rt^ABC中，ZC=90（）,CD是AB边上的高，CE是中

线，CF是NACB的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有

（）

A、0组B、2组

C、3组D、4组

5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这

个三角形是（）

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定

三、解答题：

1、如图,RtAABC的/A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D,求证：MA=MDo

第1题图

2、在ZXABC中，AB/AC,D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF〃BA交AE于点F,DF

=AC,求证：AE平分/BAC。

3、如图,在△ABC由ZB=22.5°,ZC=60°,AB的垂直平分线交BC于点D,BD=672,

AEJ_BC于点E,求EC的长。

20

4、如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,D为BC的中点，CE±AD,垂足为E,

BF〃AC交CE的延长线于点F,求证AB垂直平分DF。

参考答案

一、填空题：

1、38°；2、24°；3、4；4、14；5、68°

二、选择题：CBCDB

三、解答题：

1、过A作ANJ_BC于N,证ND=/DAM；

2、延长FE到G,使EG=EF,连结CG,证4DEF丝ZXCEG

3、连结AD,DF为AB的垂直平分线，AD=BD=6后，ZB=ZDAB=22.5°

&拒

ZADE=45°,AE=---AD=---x6-72=6

22

又,.•/C=60°

4、证4ACD乡aCBF

6.平行四边形

知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质

精典例题：

【例1】已知如图：在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,点E、F分别在BC和AD边上,

AF=CE,EF和对角线BD相交于点0,求证：点0是BD的中点。

分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明B0=D0

略证：连结BF、DE

21

在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC

.•・四边形ABCD是平行四边形

；.AD〃BC,AD=BC

XVAF=CE

.♦.FD〃BE,FD=BE

四边形BEDF是平行四边形

.,.BO=DO,即点0是BD的中点。

【例2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中

点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上

着手分析，由E、F、G、H分别是各边上的中点，可联想到三角

形的中位线定理，连结AC后，EF和GH的关系就明确了，此题也

便得证。（证明略）

变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。

变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。

变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。

变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。

变式5：若AC=BD,AC1BD,则四边形EFGH是正方形。

变式6：在四边形ABCD中，若AB=CD,E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点,

求证：EFGH是菱形。

变式7：如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，4ADE和4BCE都是等边三角

形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。

探索与创新：

【问题】已知如图，在△ABC中，NC=90°,点M在BC上，且BM=AC,点N在AC上，

且AN=MC,AM和BN相交于P,求NBPM的度数。

分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直

角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。

略证：过M作ME〃AN,且ME=AN,连结NE、BE,则四边形AMEN是平行四边形，得NE

=AM,ME〃AN,AC±BC

AMEIBC

在ABEM和4AMC中，

ME=CM,ZEMB=ZMCA=90°,BM=AC

.,.△BEM^AAMC

；.BE=AM=NE,Nl=/2,N3=/4,Zl+Z3=90°

.,.N2+N4=90°,且BE=NE

.".△BEN是等腰宜角三角形

:.ZBNE=45°

22

：AM〃NE

.\ZBPM=ZBNE=45°

跟踪训练：

一、填空题：

1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7,则它的一条边长a的取值范围

是»

2、2BCD的周长是30,AC、BD相交于点0,AOAB的周长比△0BC的周长大3,贝ijAB

3、已知二7ABeD中，AB=2AD,对角线BDLAD,则/BCD的度数是。

4、如图：在C7ABCD中，AEJ_BD于E,NEAD=60°,AE=2,AC+BD=16,则aBOC的

周长为。

5、如图：ZZ7ABeD的对角线AC、BD相交于0,EF过点0,且EF_LBC于F,Zl=30°,

N2=45°,0D=2后，则AC的长为.

6、如图：过CABCD的顶点B作高BE、BF,已知BF=°BE,BC=16,ZEBF=3O0,则

4

AB=o

7、如图所示，OABCD的周长为30,AE_LBC于点E,AF±CD于点F,且AE：AF=2:3,

ZC=120",则平行四边形ABCD的面积为。