一道几何题的多种证法和变式探究

第第页一道几何题的多种证法和变式探究一、问题的多种证法

题目：如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DHAE于H.

（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；

（2）求证：AH=CE+EH.

分析本题以三角形、四边形为背景，是一道综合性较强的试题，涉及到了初中阶段的很多重点知识，重点检测菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等相关知识，同时考查了学生的逻辑思维能力和推理论证能力以及数学的转化思想.这类题目学生感到并不陌生，但要求学生必须能灵活处理问题，并能根据具体的问题选择适当的方法加以解决.下面给出本题第二问的三种解法.

（1）解：四边形ABCD是菱形，

AD=AB=10.∠E=∠B，AE=AB=10.

在RtADH中，AD=10，DH=6，AH=8.

HE=AE-AH=2.

（2）证法一：过点A作AGBC于点G，

四边形ABCD是菱形，

AD∥BC，AB=BC.

∠DAE=∠E.

又∠E=∠B，

∠DAE=∠B，AE=AB=BC.

AGBC，DHAE，∠AGB=∠DHA=90°.

又AB=AD，AGB≌DHA.BG=AH.

又BC=AE，GC=HE.

AB=AE，AGBC，BG=GE（三线合一）.

AH=GE=GC+CE=HE+CE.

证法二：延长BE，过点D作DGBE于G点，连接DE.

四边形ABCD是菱形，

AD∥BC，AB∥CD，AD=CD.

∠B=∠DCE，∠DAH=∠AEC.

又∠B=∠AEC，∠DAH=∠DCE.

DGBE，DHAE，∠DHA=∠DGC=90°.

又AD=CD，AHD≌CGD.AH=CG，DH=DG

∠DHE=∠DGC=90°，DH=DG，DE=DE，

DHE≌DGE.HE=GE，

AH=CG=CE+EG=CE+HE.

证法三：延长BE到G点，使得GE=HE，连接DE.

四边形ABCD是菱形，

AD∥BC.∠ADE=∠DEG.

AE=AB，AB=AD，AE=AD.

∠AED=∠ADE.∠AED=∠DEG.

又HE=GE，DE=DE，DHE≌DGE.

DH=DG，∠DHE=∠DGE.

DHAE，∠DHA=∠DHE=∠DGC=90°.

又AD=CD，DH=DG，AHD≌CGD.

AH=CG=CE+EG=CE+HE.

二、问题的变式探究

本文从不同角度对上述试题做了探究，得到了以下几种变式.

变式1如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，E是BC延长线上一点，连接AE，使得AB=AE，AE交CD于点H.

（1）若AB=2，求HC的长；

（2）求证：AH=CE+EH.

（1）解：四边形ABCD是菱形，

AD=CD=AB=2，∠D=∠B=45°，AD∥BC.

AB=AE，∠E=∠B=45°.∠BAE=90°.

又AB∥CD，∠AHD=∠BAE=90°.

在RtAHD中，AD=2，∠D=45°，

（2）证明：在线段AH上取一点F，使得AF=CE，连接DF，DE.

∠ADC=45°，∠AHD=90°，∠EAD=45°.

AB∥CD，∠DCE=∠B=45°.

∠EAD=∠DCE.

又AD=CD，AF=CE，

DAF≌DCE.

DF=DE.

又DHAE，FH=HE.

AH=AF+FH=CE+HE.

变式2如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DHAE于H.

（2）求证：HE=AH+CE.

（1）解：四边形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD=6.

∠E=∠B，AE=AB=6.

HE=AE-AH=4.

（2）证明：在线段HE上取一点F，使得EF=CE，连接DF，DE.

AB=AE，AB=AD，AD=AE.∠AED=∠ADE.

四边形ABCD是菱形，

AD∥BC.∠ADE=∠DEC.

∠AED=∠DEC.

又EF=CE，DE=DE，

DEF≌DEC.DF=DC.