4-7抛物线切线与阿基米德三角形

学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线专题7抛物线切线与阿基米德三角形秒杀秘籍：第一讲抛物线切线方程及性质设在抛物线上任意一点的切线方程为：证明：点在抛物线上；又求导得；在点的切线方程为：即同理，在抛物线上任意一点的切线方程为：证明：点在抛物线上；又对y求导得；在点的切线方程为：即定理：在抛物线上任意一点的切线与x轴的交点为B，则．（图左）在抛物线上任意一点的切线与y轴的交点为B，则．（图右）证明：将代入点A处的切线方程得：；故B为AC中点，又，故为等腰三角形，故．同理可证，在图右中为等腰三角形，【例1】点M是抛物线上的点，则以点M为切点的抛物线的切线方程为．【解析】将点M代入抛物线得：p=2，故以点M为切点的切线方程为，即【例2】过点A且和抛物线C：相切的直线l方程为．【解析】设直线与抛物线切于点，故有代入点A得：，与抛物线方程联立得：或．故切线方程为或．【例3】直线l经过点且与抛物线只有一个公共点，满足这样条件的直线l有条．【解析】设直线与抛物线切于点，故有代入点得：，与抛物线方程联立得：或，故存在两条切线，还有一条直线与抛物线只有一个公共点，故答案为3条．达标训练11．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为．2．过抛物线C：的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段（）A． B． C． D．3．抛物线在点处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．4．设曲线在点(1,)处的切线与直线平行，则（）A． B． C． D．5．函数在点P（2,1）处的切线方程为_____．6．抛物线的准线l与y轴交于点P，若直线l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则．7．过点引直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有条．8．过点P（3，4）作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的斜率为．9．（2014•辽宁）已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A． B． C． D．10．已知点A为抛物线C：上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF（）A．一定是直角 B．一定是锐角 C．一定是钝角 D．上述三种情况都可能11．抛物线在第一象限内图象上一点处的切线与x轴交点的横坐标记为，其中，若，则等于（）A． B． C． D．12．抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连线交于第一象限内的点M．若在点M处的切线平行于的一条渐近线，则（）A． B． C． D．秒杀秘籍：第二讲阿基米德三角形与焦点弦抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．下面来逐一介绍阿基米德三角形．如图，已知Q是抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的切线QA、QB分别交抛物线于A、B两点，M（）为AB中点，则：（1）；（2）AB过抛物线的焦点；（3）证明：（1）点在抛物线上求导得；（求导）所以点的切线方程为：即 （切线）得：， （作差）即 （求点）（2）将点Q代入切线方程得： （代入）令AB方程为，代入得：（联立），所以直线AB过定点即抛物线焦点．（过定点）同理，此性质在抛物线依然成立．由于极点极线的方法是不能出现在高考解答题中的，所以在抛物线的切线问题中，上述证明过程即解答题思路，即：导→差→代→联【例4】已知点P在抛物线C：的准线上，过点P的直线与抛物线C相切于A，B两点，则直线AB的斜率为（）A． B． C． D．【解析】P（﹣3，2）在抛物线C：的准线上，故p=6，抛物线C：y2=12x，根据秘籍中的性质（1）可知，AB中点的纵坐标与P点纵坐标相等（如图），即，且AB过抛物线的焦点；设AB方程为，代入抛物线方程得：，，故直线AB的斜率为3．【例5】已知抛物线．若抛物线上点到焦点F的距离为3，求抛物线的方程；（2）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线,求此切线方程;【解析】（1），故抛物线的方程为；（2）E点坐标为，设抛物线的切点为Q，求导得，故切线方程为将点E代入切线方程得：，故，由此可得切线方程为或．达标训练21．过抛物线准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M、N，则直线MN过定点（）A． B． C． D．2．已知A、B为抛物线上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①；②存在实数使得（点O为坐标原点）；③若线段AB的中点P在准线上的射影为T，有；④抛物线在A点的切线和在B点切线一定相交，并且相互垂直．其中说法正确的个数为（）A． B． C． D．3．若过抛物线的准线上一动点P作此抛物线的两条切线，切点分别为A、B；点O为坐标原点．则以下命题（1）直线AB过定点；（2）∠AOB为钝角；（3）∠APB可取60°；（4）若△ABO的面积为，则点P坐标为或．其中正确的个数是（）A． B． C． D．4．已知抛物线的焦点为，关于原点的对称点为．过作轴的垂线交抛物线于两点．有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是．5．F为抛物线的焦点，过点F的直线与该抛物线交于A、B两点，分别是该抛物线在两点处的切线，相交于点C，设|，，则（）A． B． C． D．6．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两个不同的点，过分别作抛物线的切线，且二者相交于点，则△ABC的面积的最小值为．7．已知直线与抛物线相交于两点，且该抛物线过两点的切线交于C，点C的轨迹记为是上不同的两点，直线都与轴平行，则．8．过做抛物线切线交抛物线于两点，求直线AB斜率．9．已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于两点，抛物线在两点处的切线交于点．（1）求证:三点的横坐标成等差数列;（2）设直线交该抛物线于两点，求四边形面积的最小值．10．过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，．求点P的轨迹方程；（2）已知点，是否存在实数使得？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．11．抛物线的顶点在原点，焦点在射线上，求抛物线的标准方程；（2）过（1）中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程．12．已知抛物线C：，直线：，点是直线上任意一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，直线斜率分别，如图所示．若，求证：；（2）若MN过抛物线的焦点，求点的坐标．13．设直线与抛物线相交于两点，M是线段AB的中点，过点M作轴的垂线交抛物线于点N．（1）证明：抛物线在N点处的切线与AB平行；（2）是否存在实数a，使得NA⊥NB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．秒杀秘籍：第三讲阿基米德三角形的极点极线性质定理1：设过点P与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M，交切点弦于点Q，则Q点平分切点弦AB．（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）．且M处的切线平行于抛物线的切点弦．（图1,3）定理2：直线上一动点Q引抛物线两切线QA，QB，则过两切点的直线AB必过定点G（图2,4）可以理解为极点和极线相互牵连；如图1，点为抛物线外任意一点，过点作抛物线两条切线分别切于A、B两点，AB的中点为Q，直线PQ交抛物线于点M求证：（1）（m为直线AB在轴上的截距）；且直线AB方程为；（2）设点M处的切线，求证//．【证明】（1）点在抛物线上求导得；（求导）在点的切线方程为：即（写切线方程）得：，即（作差）将点Q代入切线方程得：（代入）令AB方程为，代入得：所以直线AB过定点（0，）；故AB方程为（联立），M点坐标为，以M点为切点的切线斜率为，故//．注意：抛物线的切线解题模式为：导→差→代→联，即求导写切线方程，切线方程进行作差，将求出来的点坐标代入切线方程，联立直线与抛物线得到直线过定点．如图2，点为直线上一动点，过点Q引抛物线两条切线QA，QB，则过两切点的直线AB必过定点G．【证明】由定理1结论可知AB：，又Q在直线上，故，将两式联立得：，由于为任意数，故（图4也可以推导，过直线AB定点G【例6】过点作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的斜率为．【解析】根据定理1的公式得，AB直线方程为：，故斜率为3．【例7】在平面直角坐标系中，动点P到定点的距离比点P到轴的距离大，设动点P的轨迹为曲线C，直线交曲线C于A,B两点，M是线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N．（1）求曲线C的方程；（2）证明:曲线C在点N处的切线与AB平行；（3）若曲线C上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．【解析】（1）（2）此问明显是定理1的结论，话不多说直接上套路：点在抛物线上求导得；在点的切线方程为：，即，得：，即令AB方程为，代入得：，N点坐标为，以N点为切点的切线斜率为，故的切线；（3）若存在两点PQ关于直线对称，则，令PQ中点，令PQ方程为，由于E在直线上，固有，根据(2)结论可知，即，故，将直线PQ：与抛物线联立得：或．【例8】过x轴上的动点A引抛物线的两切线，为切点．（1）求PQ的方程；（2）求证直线PQ过定点．【解析】（1）将坐标系向上移一个单位，得过的动点引抛物线两切线，切点为,根据定理1，可得：方程为，易知方程为；再将坐标系向下平移一个单位，得PQ的方程为；（2）定点（0,2）（具体步骤导差代联，参考定理1证明）达标训练31．过点作直线交抛物线于A、B且M为A、B中点，过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，若N在直线上，则．2．过点P引抛物线的两条切线，切点分别为A、B，F是抛物线的焦点，则直线PF与直线AB的斜率之和为．3．已知抛物线C：，直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行．4．如图，设抛物线，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列．5．过x轴上动点A，引抛物线的两条切线AP、AQ，切点分别为P、Q．（1）若，求直线PQ的方程；（2）探究直线PQ是否经过定点，若有，请求出定点的坐标；否则，请说明理由．6．（深圳一模）在四边形中，已知，点B在轴上，，且对角线．（1）求点的轨迹的方程；（2）若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线，为切点，M为的中点．求证：轴或与轴重合；（3）在（2）的条件下，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．7．已知抛物线C：，直线交于两点，M是线段AB的中点，过M作轴的垂线交于点．写出抛物线的焦点坐标及准线方程；证明：抛物线在点处的切线与直线平行；（3）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．8．已知抛物线：上的点到直线：的最小距离为．点在直线上，过点作直线与抛物线相切，切点分别为．（1）求抛物线方程；（2）当原点到直线的距离最大时，求三角形的面积．9．已知抛物线C：和直线l：．（1）求抛物线C上一点到直线l的最短距离；（2）设M为l上任意一点，过M作两条不平行于轴的直线．若这两条直线与抛物线C都只有一个公共点，这两个公共点分别记为，证明：直线AB过定点．10．过点和抛物线焦点的直线与抛物线相交于点，且．（1）求抛物线的方程；（2）为抛物线上两点，O为原点，，过分别作抛物线的两条切线，相交于点，求△PMN面积的最小值．11．已知直线l的方程是和抛物线C：，自l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A、B；（1）求证：直线AB恒过定点．（2）求△PAB面积的最小值．12．已知椭圆C1：的离心率为，且过点．抛物线C2：的焦点坐标为．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）若点M是直线：上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C1于两点．求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．13．已知是抛物线W：上的两个点，点A的坐标为，直线AB的斜率为．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．（1）求k的取值范围；（2）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B、C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D．判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．14．如图所示，已知抛物线的动弦AB所在直线与圆相切，分别过点A、B的抛物线的两条切线相交于点M，求点M的轨迹方程．秒杀秘籍：第四讲阿基米德三角形的面积问题在阿基米德三角形中，根据之前所叙述的观点可知：点的坐标为；底边所在的直线方程为；那么一定有的面积．【证明】点到直线的距离为，，故得的面积．推论1：如图，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与分别交于点,则有．证明：由定理1．1知点的横坐标分别为,所以，，所以,同理,故得．推论2若为抛物线上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德的边分别交于点，则有．证明：设,记作则，即同理.因为,于是所以所以．【例9】（2019•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．【解析】（1）证明：的导数为，设切点，，，，即有，，切线的方程为，即为，切线的方程为，联立两切线方程可得，可得，即，直线的方程为，即为，可化为，可得恒过定点；（2）设直线的方程为，由（1）可得，，中点，由为切点可得到直线的距离即为，可得，解得或，即有直线的方程为或，由可得，四边形的面积为；由，可得，此时到直线的距离为；到直线的距离为，则四边形的面积为；综上可得四边形的面积为3或8．【例10】（2012•江西卷）已知三点，曲线C上任意一点M满足．（1）求曲线的方程；（2）动点在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线是否存在定点，使得与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．【解析】（1）由，可得，，，，．由题意可得，化简可得．（2）法一：假设存在点，，满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，①当时，，存在，使得，当时，不符合题意；②当时，，，与直线，一定相交，分别联立方程组，，解得，的横坐标分别是，，与的面积之比是常数，解得，与的面积之比是2．法二：参考推论2的书写，不再详述．达标训练41．（2019•黄山三模）已知是圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则直线斜率的最大值为（）A． B． C． D．2．（2019•长沙月考）过抛物线上两点，分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点，则直线的方程为（）A． B． C． D．3．（2019•博望月考）已知抛物线，过点，作直线、与抛物线