d1-6两个重要极限17无穷小的比较

1纠正作业2则有(B≠0)推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)温故知新：31)直接用四则法则；2)恒等变形后用四则法则3)利用无穷小的性质;无限项:约去零因式通分分子分母有理化3.

求极限的基本方法抓大头4)无穷小与无穷大的关系法;5)复合函数的极限运算法则(变量代换法);化无限为有限法6)利用极限存在的充要条件求极限(如分段函数);7)利用夹逼准则和单调有界准则.性质2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.4第六节极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则夹逼准则；单调有界准则51.夹逼准则一、极限存在准则6证：则使得由条件(1)准则Ⅰ:7例1.

证明证:

利用夹逼准则.且由于(P57题4(2))8准则Ⅱ

：单调有界数列必有极限(P52)

(证明略)2.单调有界准则9证：(舍去)的极限存在.例2.证明数列10二、两个重要极限设单位圆O，圆心角作单位圆的切线11注意：

2)作用：12解：解：1.=1例1.求例2.例3.解：13例4.解：思考：14我们从三方面来认识这个极限：1)函数：第二项与指数互为倒数.2)极限过程是：指数3)极限值=e(e=2.718281828459045…)括号内第一项是1，中间是“+”号，该极限的证明省略如:15例5.解:16补例.解:解:经验：含幂指函数型极限常用第二个重要极限.17思考与练习18两个重要极限:19第一章都是无穷小,第七节引例.但无穷小的比较可见无穷小趋于0的速度是多样的.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.201.定义:注：判断无穷小的阶,实际上就是求极限.21注意：1.无穷小的比较是无穷小与无穷小比较的；2.零是阶最高的,一般是比较非零无穷小的;3.无穷小的阶的高低是相对的;并依赖于极限过程的;4.无穷小的比较是型极限的另外一种说法；5.有两个重要的符号例如22证:例1.则23证:即有等价关系:1)上述证明过程也给出了关系:例2.

证明:2)常用等价无穷小:说明:24证:必要性充分性意义:由等价无穷小可给出函数的近似表达式．2.等价无穷小的性质25例如：(自反性)(对称性)(传递性)P60T526定理2

(等价无穷小代换定理)证：说明：即定理条件满足时,可以只代换无穷小的分子或分母.即定理条件满足时,可以代换积中因式的无穷小.27

3.由此知:若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,这是求极限的又一种好方法,注意适用条件.则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限.例3.求解:28只可对函数的乘积因子作等价无穷小代换,对于代数和中各无穷小不能分别等价代换.切记:补例4.解:错解:29内容小结1.两个重要极限：代表相同的表达式2.无穷小的比较：设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小303.等价无穷小代换定理：4.常用的等价无穷小：5.注意事项：1)并不是所有的无穷小都可进行比较.不可比.2)只可对函数的乘积因子作等价无穷小代换,对于代数和中各无穷小不能随意等价代换.31新增求极限的方法：8.重要极限法9.等价无穷小代换法注意各种求极限方法的理论依