初中数学二次函数常考题（含答案）

专题01二次函数中的动点问题1、如图①，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）令y＝0，则有ax2﹣4amx+3am2＝0，解得：x1＝m，x2＝3m，∵m＞0，A在B的左边，∴B（3m，0）；（2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，由（1）可知B（3m，0），则△BOC为等腰直角三角形，∵OC＝OB＝3m，∴BC＝3m，又∵∠ABC＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝2m，∴m，CD＝2m，∴tan∠ACB＝；（3）∵由题意知x＝2为对称轴，∴2m＝2，即m＝1，∵在（2）的条件下有（0，3m），∴3m＝3am2，解得m＝，即a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，①当P在对称轴的左边，如图2，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝或，∴P的坐标为（，）或（）；②当P在对称轴的右边，如图3，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：x＝或；P的坐标为（）或（）；综上所述，点P的坐标是：（）或（）或（）或（）2、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x-ax-4a<0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）若D点坐标为32,25（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值；（3）直线y=2x+b与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D'，与直线的另一个交点为E，与x轴的交点为B'，在平移的过程中，求D'E'【解析】（1）依题意得：254=-32-a32-4,解得a=-1，∴（2）由题意可知Aa,0、B4,0、C0,-4①MN//BC，且MN则-3a=-a②当BC为对角线时，设Nx,y，根据平行四边形的对角线互相平分可得a则-5a=-4-a2-a（3）联立y=2x+134则DE=25，根据抛物线的平移规律，则平移后的线段D设平移后的D'm,2m则D'B'：y=-12抛物线y=-x-m2+2m∴B1'-1,0，B23、如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m²+4m|，∵PD∥AO，则当PD=OA=3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD=|m²+4m|=3，即可求解．【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；（2）存在，理由：同理直线AB的表达式为：y＝x﹣3，设点P（m，m2+m﹣3），点D（m，m﹣3）（m＜0），则PD＝|m2+4m|，∵PD∥AO，则当PD＝OA＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD＝|m2+4m|＝3，①当m2+4m＝3时，解得：m＝﹣2±（舍去正值），即m2+m﹣3＝1﹣，故点P（﹣2﹣，﹣1﹣），②当m2+4m＝﹣3时，解得：m＝﹣1或﹣3，同理可得：点P（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）；综上，点P（﹣2﹣，﹣1﹣）或(﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）．【小结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论思想的运用．4、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图1，设E（m，0）为x正半轴上的一个动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO，求点E的坐标；（3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．

（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．

（3）设M的坐标（e，3e＋3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．【解析】（1）将点A（-1，0），B（3，0），点C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得，，解得，∴，设直线AC的解析式为y=kx+n，将点A（-1，0），点C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3，∴直线AC的解析式为：y=3x+3（2）延长GC交x轴于点F，过点G作GH⊥x轴于点H，∵，∴G（1,4），GH=4，∴，若S△CGE=S△CGO，则S△CGE=S△CGO=，①若点E在x轴的正半轴，设直线CG为，将G（1,4）代入得，∴，∴直线CG的解析式为y=x+3，∴当y=0时，x=-3，即F(-3,0)，又∵E（m,0），∴EF=m-(-3)=m+3∴====∴，解得：m=1，∴E的坐标为（1,0）②若点E在x轴的负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1,0）到直线CG的距离相等，即点E到点F的距离等于点（1,0）到点F的距离，∴EF=-3-m=1-(-3)=4，∴m=-7，即E（-7,0）综上所述，点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e,3e+3），e＞-1，则，①如图2，若∠MPN=90°，PM=PN，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ＝NR＝3e＋3

∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°

∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3

∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3）

∵N在抛物线上，∴−（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3，解得：（舍去），∵AP＝t，OP＝t−1，OP＋OQ＝PQ，∴t−1−e＝3e＋3，∴t＝4e＋4＝，②如图3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，∴MN＝PM＝3e＋3

∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）

∴−（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3，解得：e1＝−1（舍去），e2＝，

∴t＝AP＝e−（−1）＝，③如图4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，

∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3），解得：e＝

∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【小结】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．

5、如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A(﹣1，0)和点B(2，3)两点．(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积S及点M的坐标．【解析】(1)由题意把点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；(2)如图，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝kx+b中，得，解得，∴yAB＝x+1，设点M(x，﹣x2+2x+3)，则K(x，x+1)，则MK＝﹣x2+2x+3﹣(x+1)＝﹣x2+x+2，∴S△MAB＝S△AMK+S△BMK＝MK•(xM﹣xA)+MK•(xB﹣xM)＝MK•(xB﹣xA)＝×(-x2+x+2)×3＝，∵，当x＝时，S△MAB最大=，此时，∴△MAB的面积最大值是，M(，)．6、如图，直线y＝34x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝34x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，（1）填空：点B的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．【解析】（1）把点A坐标代入直线表达式y＝34x+a，解得：a＝﹣3，则：直线表达式为：y═34令x＝0，则：y＝﹣3，则点B坐标为（0，﹣3），将点B的坐标代入二次函数表达式得：c＝﹣3，把点A的坐标代入二次函数表达式得：34×16+4b解得：b＝﹣94，故抛物线的解析式为：y＝34x2﹣9（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，∴点P（m，34m﹣3），N（m，34m2﹣9∴PN＝34m﹣3﹣（34m2﹣94m﹣3）＝﹣3∵a＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m＝2时，PN②当∠BNP＝90°时，点N的纵坐标为﹣3，把y＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝34m2﹣94m﹣3，解得：m＝3或0（舍去m＝0），∴当∠NBP＝90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为﹣1，设：直线BN的表达式为：y＝﹣43x+n把点B的坐标代入上式，解得：n＝﹣3，则：直线BN的表达式为：y＝﹣43x将上式与抛物线的表达式联立并解得：m＝119或0（舍去m＝0），当∠BPN故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或43（3）∵OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，tanα＝43，则：cosα＝35，sinα＝∵PM∥y轴，∴∠BPN＝∠ABO＝α，若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个．当过点N的直线与抛物线有一个交点N，点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），则：n＝34m2﹣94m﹣3，过点N作则点N所在的直线表达式为：y＝34x+b，将点N坐标代入，解得：过N点直线表达式为：y＝34x+（n﹣3将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，△＝144﹣3×4×（﹣12+3m﹣4n）＝0，将n＝34m2﹣94m﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，则点N的坐标为（2，﹣则：点P坐标为（2，﹣32），则：PN∵OB＝3，PN∥OB，∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，直线ON的表达式为：y＝34xx2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±22，则点N′、N″的横坐标分别为2+22，2﹣22，作NH⊥AB交直线AB于点H，则h＝NH＝NPsinα＝125作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON′＝OP'sinα＝S四边形OBPN＝BP•h＝52×125＝6，则：S四边形OBP′N′＝S△OP′N′+S△O同理：S四边形OBN″P″＝62﹣6，故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+62或627、在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与抛物线的对称轴交于点．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点，（点P在点Q的左侧）．若恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．【解析】（1）∵经过点，∴将点的坐标代入，即，得．∵直线与抛物线的对称轴交于点，∴将点代入，得．(2)∵抛物线的对称轴为，∴，即．∴∴抛物线的顶点坐标为．(3)当时，如图，若拋物线过点，则．结合函数图象可得．当时，不符合题意．综上所述，的取值范围是．

8、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标。【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-4）．将a=-代入可得到抛物线解析式，从而确定出b、c值；

（2）先求得点C的坐标，依据勾股定理可求得AC=5，则PC=5-t，AQ=3+t,再判断当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°，从而得出△AOC∽△APQ，得到比例式列方程求解即可；(3)根据点M在抛物线上，设出点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），再根据△AOM的面积与△AOC的面积相等，从而得出﹣m2+m+4=，解方程即可．【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a＝﹣代入得：y＝﹣x2+x+4，∴b＝，c＝4．（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°．将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4）．∵点A的坐标为（﹣3，0），∴在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，∵AP＝OQ＝t，∴AQ=3+t，∵∠OAC＝∠PAQ，∠APQ＝∠AOC∴△AOC∽△APQ，∴AP:AO=AQ:AC，∴=∴t=4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．(3)设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4）∵△AOM的面积与△AOC的面积相等，且底都为AO，C（0，4）．∴﹣m2+m+4=当﹣m2+m+4=-4时，解得：m=或,当﹣m2+m+4=4时，解得：m=1或0∵当m=0时，与C重合，∴m=或或1∴M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【小结】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，灵活运用相关的知识是解题的关键．9、如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【解析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处10、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数函数值相等．（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）在抛物线上，∴代入得c=∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，∴顶点横坐标,,又∵A（-3，0）在抛物线上，∴9a−3b+=0由以上二式得;（2）由（1）,∴B（1，0），连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：O1也为PB中点．设t秒后有,设P（x，y），B（1，0）∵O1为P、B的中点可得，即,∵A，C点坐标知AC：，P点也在直线AC上代入得t=,即；（3）假设成立；①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：，则△ACB不与△QNB相似．②若有△ACB∽△QBN，则有设，则，代入（1）得，或，当时有Q（-1，）则不满足相似舍去；当y=有Q（-1，）则，∴存在点Q（-1，）使△ACB∽△QBN．综上可得：Q（-1，）.

11、已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+3对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．【解析】（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，即点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），点A坐标代入y＝kx+3得：0＝﹣3k+3，解得：k=33,即直线同理可得直线AC的表达式为：y=3x+33.联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，23）；（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+3对称得AC2＝AB2，即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m=±23（舍去负值），点C（1，2将点C的坐标代入二次函数并解得：a=-故二次函数解析式为：y=-（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，作DF⊥x轴交于点F，DF＝ADsin∠DAF=43∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，∴ED＝FD＝23，则QD＝43，BD＝4，∴BQ=432+42=8.12、点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B与点C关于原点对称，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）求二次函数的表达式；（2）动点P从点A到点D，同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒．①当t为何值时，有PQ丄AC？②当t为何值时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？【解析】（1）当x＝0，y＝﹣x+3＝3，则点A（0，3），当y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，则点C（4，0），∵点B与点C关于原点对称，∴点B（﹣4，0），BC＝8，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥x轴，AD＝BC＝8，∴D（8，3），将点B（﹣4，0），点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c得，解得，∴二次函数表达式y＝x2﹣x﹣3；（2）①∵A（0，3），C（4，0），∴AC＝＝5，当点P运动了t秒时，则AP＝t，CQ②作QH⊥AD于H，如图，∵∠HAQ＝∠OCA，∴△AQH∽△CAO，∴，即，解得QH＝（5﹣t），∴S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP＝•3•8﹣t•（5﹣t）＝t2﹣t+12＝（t﹣）2+，∴当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为．13、如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．【解析】（1）由于直线y=﹣x+3经过B、C两点，令y=0得x=3；令x=0，得y=3，∴B（3，0），C（0，3），∵点B、C在抛物线y=﹣x2+bx+c上，于是得，解得b=2，c=3，∴所求函数关系式为y=﹣x2+2x+3；（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=﹣x2+2x+3上，且PN⊥x轴，∴设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），同理可设点N的坐标为（x，﹣x+3），又点P在第一象限，∴PN=PM﹣NM=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=-∴当时，线段PN的长度的最大值为．②由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，又由①知，OB=OC，∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，∴设点P的坐标为（a，a），又点P在抛物线y=﹣x2+2x+3上，于是有a=﹣a2+2a+3，∴a2﹣a﹣3=0，解得，，∴点P的坐标为：或，若点P的坐标为，此时点P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=，OB=OC=3，S△BPC=S四边形BOCP﹣S△BOC=2S△BOP﹣S△BOC=，若点P的坐标为，此时点P在第三象限，则S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC==14、如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值．【解析】（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，∴OB＝1，由AB＝4，得OA＝3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=，b=，∴抛物线解析式为y＝x2x+2；（2）在y＝x2x+2中，当y＝2时，x＝0或x＝﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，∵P（m，m2m+2），PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∴PG＝m2m+2﹣（﹣m）＝+∵∠PGH＝∠COE＝45°，∴l＝PG＝+∴当m＝时，l有最大值，最大值为

专题02二次函数中的线段长度问题1、如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4）即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，如图所示：设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（1，2），∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），∴AC＝，BC＝3，∴△PAC的周长是：AC+CP+PA＝AC+CB＝，即点P的坐标为（1，2），△PAC的周长是；（3）存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，∵S△PAM＝S△PAC，∴当以PA为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M和点C到PA的距离相等，当点M在点C的上方时，则CM∥PA时，点M和点C到PA的距离相等，设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，∴直线AP的解析式为y＝x+1，∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；当点M在点C的下方时，则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP之间的距离相等，∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，由得，，，∴M的坐标为（，）或（，）；由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）2、如图，抛物线y=ax2﹣x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（3）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意得c=-2，0=a×42-×4-2，解得a=，∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2.（2）作MN∥y轴交BC于点N，∵的面积==2MN=，∴当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，设直线BC的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴y=x-2，∴MN=x-2-(x2

-

x-2)=-x2+2x=-(x-2)2+2，∴当x=2时，MN有最大值2，∴M（2，-3）.∴当d取最大值时，M点的坐标是（2，-3）；（3）存在，理由如下：设点E的坐标为(n,−n),

以点A,点B,点P,点E为顶点的平行四边形分两种情况，如图，①以线段AB为边，点E在点P的左边时，∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(5+n,−n)，∵点P(5+n,−n)在抛物线y=x2

-

x-2上，∴−n=(5+n)2−(5+n)−2,，解得：n1=,n2=，此时点E的坐标为(,)或(,)；以线段AB为边，点E在点P的右边时，∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(n−5,−n)，∵点P(n−5,−n)在抛物线y=x2−x−2上，∴−n=(n−5)2−(n−5)−2,即n2−11n+36=0，此时△=(−11)2−4×36=−23<0，∴方程无解；②以线段AB为对角线时，∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(3−n,n)，∵点P(3−n,n)在抛物线y=x2−x−2上，∴n=(3−n)2−(3−n)−2,，解得：n3=,n4=，此时点E的坐标为（,)或(,).综上可知：存在点P、E,使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).

3、如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），A(-1,0)，B(3,0)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求抛物线的函数解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：a=1，b=﹣2，∴y=x2﹣2x﹣3．（2）将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1．设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．∵P点在E点的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，∴当x=12时，PE的最大值=9（3）存在．讨论如下：①如图，连接C与抛物线和y轴的交点．∵C（2，﹣3），G（0，﹣3），∴CG∥x轴，此时AF=CG=2，∴F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，设F（x，0）．∵ACFG是平行四边形，∴AF的中点与CG的中点重合．∵AF的中点的纵坐标为0，∴C，G两点的纵坐标互为相反数，∴G点的纵坐标为3，∴x2﹣2x﹣3=3，解得：x=1±7，∴G点的坐标为（1±7，3），∴AF的中点的横坐标=CG的中点的横坐标，∴2+1±72=-1+x2，解得：x=综上所述：存在4个符合条件的F点，分别为F（﹣3，0），（1，0），（4+7，0），（4﹣7，0）．

4、在如图的平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+1（a＜0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点是D，且∠DAB＝45°．（1）填空：点C的纵坐标是（用含a、m的式子表示）；（2）求a的值；（3）点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，当﹣12≤m≤52时，求【解析】（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2amx+am2+1＝am2+1，∴点C的纵坐标为am2+1．（2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，如图1所示．∵DA＝DB，∠DAB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝2DE．∵y＝ax2﹣2amx+am2+1＝a（x﹣m）2+1，∴点D的坐标为（m，1）．当y＝0时，ax2﹣2amx+am2+1＝0，即a（x﹣m）2＝﹣1，解得：x1＝m﹣-1a，x2＝m+∴AB＝2-1a＝2，解得：（3）由（1）（2）可知：点C的坐标为（0，1﹣m2），点B的坐标为（m+1，0）．∵点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，∴点C′的坐标为（m2﹣1，0），∴BC′＝|m+1﹣（m2﹣1）|＝|﹣m2+m+2|．∵﹣m2+m+2＝﹣（m﹣12）2+94，﹣12≤m∴当m＝52时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣7当m＝12时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为9∴当﹣12≤m≤52时，﹣74≤﹣m2+m∴当﹣12≤m≤52时，0≤BC′≤5、如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为3，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）y=-x+5，令x=0，则y=5，令y=0，则x=5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），利用待定系数法即可求解；

（2）由题意可得M点坐标为（m，﹣m2+4m+5），则则P点坐标为（m，﹣m+5），表示出PM的长度：PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-（m-）2+，利用二次函数的性质即可求解；

（3）过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设出Q点坐标Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），表示出QG的长度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由条件可得△BOD是等腰直角三角形，，可证得△QHG为等腰直角三角形，则当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH=HG=3，QG=×3=6，|-x2+5x|=6，即可求解．【解析】（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）设M点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5），∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-）2+，∴当m＝时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），∴QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，∴△QHG是等腰直角三角形，当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH＝HG＝3，∴QG＝×3＝6，∴|﹣x2+5x|＝6，当﹣x2+5x＝6时，解得x＝2或x＝3，∴Q（2，9）或（3，8），当﹣x2+5x＝﹣6时，解得x＝﹣1或x＝6，∴Q（﹣1，0）或（6，﹣7），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．【小结】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质及方程思想等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．在（1）中主要是待定系数法的考查，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．

6、如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．【解析】（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y=﹣x2+mx+n，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据S△AOM=2S△BOC列方程可得：•AO×|n|=2××OB×OC，∴×2×|﹣m2﹣m+2|=2，∴m2+m=0或m2+m﹣4=0，解得m=0或﹣1或，∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+2，设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），ND=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，∵﹣1＜0，∴x=﹣1时，ND有最大值1．∴ND的最大值为1．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x﹣b）﹣12与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．【解析】（1）∵点B与点C关于直线x＝1对称，y＝x（x﹣b）﹣12＝x2﹣bx﹣1∴﹣-b2＝1，解得：b（2）当x＝0时，y＝x2﹣bx﹣12＝﹣1∴点A的坐标为（0，﹣12又∵OB＝OA，∴点B的坐标为（﹣12将B（﹣12，0）代入y＝x2﹣bx﹣12，得：0＝14+12b﹣12∴抛物线的解析式为y＝x2﹣12x﹣1∵y＝x2﹣12x﹣12＝（x﹣14）2∴点P的坐标为（14，﹣9当y＝0时，x2﹣12x﹣12＝0，解得：x1＝﹣12，∴点C的坐标为（1，0）．∴S△BCP＝12×[1﹣（﹣12）]×|﹣916（3）y＝x2﹣bx﹣12＝（x﹣b2）2﹣12当b2≥1，即by最大＝b+12，y最小＝﹣b+1∴h＝2b；当0≤b2＜1，即0≤by最大＝b+12，y最小＝﹣12﹣∴h＝1+b+b24＝（1+b2当﹣1＜b2＜0，﹣2＜by最大＝12﹣b，y最小＝﹣12﹣∴h＝1﹣b+b24＝（1﹣b2当b2≤﹣1，即by最大＝﹣b+12，y最小＝b+1h＝﹣2b．综上所述：h＝2b(b⩾2)1+b28、如图，抛物线交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．【解析】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，故该抛物线的解析式为：；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得B（1，0），设P点坐标为（x，），∵，∴，整理，得或，解得x=﹣1或x=，则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4），，；（3）设直线AC的解析式为，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，即直线AC的解析式为．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，），QD===，∴当x=时，QD有最大值．9、如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．（1）求、的值；（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．【解析】（1）轴，，抛物线对称轴为直线，点的坐标为解得或（舍去），（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足为①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和

10、函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图像上，CD//x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．图①图②【解析】（1）∵CD∥x轴，CD=2，∴抛物线对称轴为x=1，∴-b∵OB=OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得：c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3；（2）设点F的坐标为（0，m）．∵对称轴为直线x=1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4）．∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6．∵点F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；（3）存在点Q满足题意．设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．作QR⊥PN，垂足为R．∵S△PQN=S△APM，∴12（n分两种情况讨论：①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴n=32时，NQ取最小值1．此时Q②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴n=12时，NQ取最小值1．此时Q综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（12，-11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．

（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；

（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；

（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．【解析】(1)由题意得，解得，∴抛物线y=−x2+2x+3，顶点D为(1,4)；(2)如图，连接OH，∵EF⊥y轴，HP⊥x轴，x轴⊥y轴，∴四边形HPOF是矩形，∴PF=OH，∴当OH最短时，PF最短，∴OH⊥BC时，PF最短，可得H的纵坐标为，把y=代入y=−x2+2x+3中，则=−x2+2x+3，得x1=,x2=(舍)，∴G点坐标(，)（3）如图，DB=2，yBD=-2x+6，即，点E坐标为（，）,Q(3，t)当BE=BQ时，2-t=tt=；当BE=EQ时(2-t)2=(+(,当BQ=EQ时t2=(+(,

所以存在3个t值：t=．，

12、如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A(4，0)、B(5，5)．（1）a＝，b＝，∠AOB＝°；（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标；（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）证明△HOB≌△AOB（AAS），得OA＝OH＝4，即点H（0，4），即可求解；（3）①则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，即可求解；②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，当A'、D、G三点共线时，A'D+DG＝A'G最短，即可求解．【解析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故二次函数表达式为：y＝x2+4x，∵点O，B在直线y=x上，∴OB平分∠xOy，∴∠AOB=45︒；（2）设直线BP交y轴于点H，∵∠HOB＝∠AOB＝45°，∠PBO＝∠OBA，BO＝BO，∴△HOB≌△AOB（AAS），∴OA＝OH＝4，即点H（0，4），则直线PB的表达式为：y＝kx+4，将点B坐标代入上式并解得：直线PB的表达式为：y＝x+4，将上式与二次函数表达式联立并解得：x＝5或﹣（舍去正值），则点P（﹣，）；（3）①由题意得：直线OB的表达式为：y＝x，设点C（m，m），CD＝2，直线OB的倾斜角为45度，则点D（m+2，m+2），则点F（m，m2﹣4m），点E[（m+2），（m+2）2﹣4（m+2）]，则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，∵﹣2＜0，故CF+DE有最大值，此时，m＝，则点C、F、D、E的坐标分别为（，）、（，﹣）、（，）、（，﹣），则CF＝DE＝，CF∥ED，故四边形CDEF为平行四边形；②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，∴AC＝DG，作点A关于直线OB的对称点A'（0，4），连接A'D，则A'D＝AD，∴当A'、D、G三点共线时，A'D+DG＝A'G最短，此时AC+AD最短，∵A（4，0），AG＝CD＝2，则点G（6，2），则AC+AD最小值＝A'G＝＝2；【小结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

专题03二次函数中的宽高模型解决面积问题面积中的宽高模型如图，试探究△ABC面积【解法】一：如图1，过点C（定点）作CD⊥x轴交AB于点D，则S△ABC=S△ACD+S△BCD图1图2如图2，过点B作BF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AG⊥x轴于点G，则S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水平宽，CD可称为△ABC的铅垂高，即S△ABC=×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式”【解法】二：如图3，过点 A作AD⊥x轴交BC的延长线于点D，则S△ABC=S△ABD-S△ACD图3图4如图4，过点B作BH⊥AD交于点H，则S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC说明：OC是△ABC的水平宽，AD是△ABC的铅垂高.【解法】三：如图5，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，则S△ABC=S△ABD+S△BCD图5图6如图6，过点C作CH⊥BD于点H，过点A作AG⊥x轴于点G，交BD的延长线于点E，则S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG说明：BD是△ABC的水平宽，AG是△ABC的铅垂高.【解法】四：如图7，过点 A作AE⊥y轴于点E，延长AE交BC反向延长线于点D，则S△ABC=S△ACD-S△ABD图7图8如图8，过点C作CF⊥AD交于点F，则S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB说明：AD是△ABC的水平宽，OB是△ABC的铅垂高.【总结】无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美。1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；

【解析】（1）y=-x2-2x+3；如图，过点P作PQ//y轴，交AC于点Q，∵A（-3,0），B（0,3）∴直线AC：y=x+3设P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3）∴PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x∴S△PAC=PQ·OA∴（-x2-3x）·3=3解得：x1=-1,x2=-2∴P（-1,4）或（-2,3）

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：

“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．

例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．

（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．

①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；

②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．

（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．

①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；

②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．【解析】（1）①由题意：a=4．

当t＞2时，h=t-1，

则4（t-1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；

当t＜1时，h=2-t，

则4（2-t）=12，可得t=-1，故点P

的坐标为（0，-1）；

②∵根据题意得：h的最小值为：1，

∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；

故答案为：4；

（2）∵E，F，M三点的“矩面积”为8，

∴a=4，h=2，∴0≤m≤．

∵m＞0，

∴0＜m≤．

3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．

①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；

②若tan∠AED=，求此时点D坐标；

（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于（直接写出答案）【解析】（1）将A（-4，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+6（a≠0），可得：a=，b=，∴y=x2x+6（2）①如图所示，由“宽高模型”易证得S△ADE=DF·OE由A（-4,0）E（0，-2）可得：直线AE解析式为：y=x-2设D（x，x2x+6）则F点的纵坐标为x2x+6∵点F在直线AE上，∴F的横坐标为x2x-16∴DF=x2x+16，又OE=2，∴S△ADE=DF·OE=x2x+16=（x+）2+∵<0，∴抛物线开口向下∴当x=-时，S△ADE取最大值，此时点D（-，）②如图，过点A作AH⊥DE交DE于点H，∵tan∠AED=，∴∵OA=4，OE=2，∴AE=，∴AH=，HE=3，易证△AHG∽△EOG，∴=设OG=m，则HG=m，∴GE=HE-HG=3-m∴在Rt△OGE中，由勾股定理可得：m=2，∴OG=2，∴G（-2,0），∴直线GE解析式为：y=-x-2∴联立抛物线和直线GE函数解析式，可得：D（）（3）如图所示，∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，∴Q点的运动轨迹是线段，

当P点在A点时，Q（-4，-4），当P点在C点时，Q（-6，6），∴Q点的轨迹长为2.

4、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．【解析】（1）令，得解得令，得∴ABC（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=，∵AP∥CB，∴PAB=过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE=∴P∵点P在抛物线上∴解得，（不合题意，舍去），∴PE=∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=(3)．假设存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵MG轴于点G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=设M点的横坐标为，则M①点M在轴左侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时，有=∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M②点M在轴右侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时有=∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，，

5、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5）∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)，∴，解得：b=-2c=-3（2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）B(4,5)∴直线AB的解析式为：y=x+1∵二次函数∴设点E(t，t+1),则F（t，）∴EF==∴当时，EF的最大值=∴点E的坐标为（，）（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）S=S+S==②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)则有：解得:,∴,ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）则有：解得：，（与点F重合，舍去）∴综上所述：所有点P的坐标：，（.能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

专题04二次函数中的平行模型解决面积问题【模型展示】初中数学中考压轴题有一种常考的类型，二次函数最大面积问题。常用的方法有平行法、铅垂高法、矩形覆盖法等。本文主要说明一下平行法，一般都是平移定底找最大高，形成与二次函数图像只有一个交点。然后利用一次函数与二次函数图像只有一个交点，联立出一元二次方程解根的判别式等于零，进而求出一次函数解析式，交点坐标可求。最大高一般都是空中有高平移至与坐标轴交点处，构成直角三角形，与已知一次函数与坐标轴所夹直角三角形相似。1、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．图1图2图3【解析】（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4,0)、B(2,0)．对称轴是直线x＝－1．（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB面积时，点B、D到直线AC距离相等．过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，点D的坐标为．因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．联结GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．所以点M1的坐标为(－4,6)，过M1、E的直线l为．根据对称性，直线l还可以是．2、如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1【分析】1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到．3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．【解析】（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，得A(－m,0)，B(3m,0)，F(m,－4)，对称轴为直线x＝m．所以点D的坐标为(2m,－3)．设点E的坐标为(x,a(x＋m)(x－3m))．如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．所以am(x－3m)＝1．结合，于是得到x＝4m．当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(4m,5)．所以．图2图3（3）如图3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么．因此．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m,0)．

3、如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．图1【分析】（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以点P的坐标为()．图2图3（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当，即时，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合题意的点Q为()．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)．图4图54、如图1，已知抛物线的方程C1：(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1【分析】1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．【解析】（1）将M(2,2)代入，得．解得m＝4．（2）当m＝4时，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．设对称轴与x轴的交点为P，那么．因此．解得．所以点H的坐标为．（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．设点F坐标为，由，得．得x＝m＋2．F′(m＋2,0)由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．综合①、②，符合题意的m为．5、如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1图2图3【分析】1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．【解析】（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以点B的坐标为．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B，．解得．所以抛物线的解析式为．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．6、如图，矩形O1A1BC1，由矩形OABC旋转得到，点A在y轴上，点C，O1在x轴上，O1A1与BC交于点D，B的坐标为（﹣1，3）．（1）求线段O1A1所在直线的函数表达式；（2