例谈建模思想在初中数学的应用

例谈建模思想在初中数学的应用摘要：随着新课程改革的深入发展，建模思想在初中数学教学中的应用得到越来越多的重视。本文结合具体案例，从方程（组）模型、几何模型、辅助圆模型以及函数模型四方面，探讨了建模思想在初中数学中的应用途径；其次说明了应用建模思想时应把握的原则，认为应把握思想内核，重视课堂互动，并开展变式练习。关键词：初中数学核心素养；数学建模；数学教学；数学模型；应用《义务教育数学课程标准》中指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”建模思想是数学学科核心素养的重要组成部分，其重点在于以数学的语言表达现实世界，并要求学生综合运用数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养。学生拥有了建模思想，才能够实现知识迁移，发展应用意识与创新能力。初中阶段的数学课程具有较强的抽象性和逻辑性，建模思想的应用情况也更为复杂。一、建模思想在初中数学中的应用建立方程（组）模型，解决应用问题方程及方程组模型，是初中数学中最常用到的一种模型。建立方程（组）模型，关键在于正确理解数量关系，以变量构造等式。[1]在常见问题情境下，学生大多都能够应用方程（组）建模，但是当问题情境较为少见时，学生不易发现其中的数量关系，很难联想到此种建模方法。【例1】陈老师带着篮子购买大米，篮子重0.3千克。店主卖给她10千克大米，但是陈老师正准备将大米放进篮子时，却感觉比以前买的同样10千克的份量要轻。她将大米放进篮子一起称，称得大米连篮子共重10.33千克。陈老师立刻提出重量不对，要求店主退回1千克大米的钱。请你想一想，陈老师是怎么发现少称了约1千克大米的？写出你的思维过程。本例题的情境中存在一个不易发现的数量关系。可将大米的实际重量与称重分别视作x和y。店主想要作弊，就要设法使y大于x。店主可以调整他的称重秤，使得下面的等式成立：y=kx。情境中称过两次重量，因此y值已知。可构建二元一次方程组如下:10=kx10.33=kx+0.3k解方程组可知，k=1.1。陈老师经估算，发现x值仅略微超过9千克，因此提出退钱要求。解答此题要求学生能够将两次商品购买行为抽象为两个数学等式，这是运用方程（组）建模的思维素质前提。（二）建立几何模型，显示问题情境初中数学中的一些应用型问题，从表面上看是代数问题，其实包含了几何的问题情境。如果以几何作图的方式抽象出情境中的空间场景，能够简化问题，针对数量关系求解。【例2】某河段上圆拱桥的圆拱跨度为35米，拱高为6米。某运输木材的货船宽10米，想要从桥下通过，请问最多只能装多高的货物才能不被卡住？（计算近似值取二位小数）本问题情境中暗藏着圆弧和圆的几何概念，我们可以作图如下显示这个情境：根据已知条件中的描述，教师可引导学生画出桥面圆弧的圆心O，做辅助线OG、EG、OE、OB、OC。根据垂径定理，可知DC=12AC=17.5米。可根据勾股定理列出等式，半径r2=17.52+(r-6)2，解得r=28.52米。已知OG=10米，再次使用勾股定理列算式：EG2=OE2-OG2=解答本题的思维决窍在于做辅助线补充圆的半径，从圆心到圆上的线段始终相等，这一定理为本题提供了足够的等量关系，使得列等式和算式求解成为可能。在教学中，教师要多启发学生思维，让学生注意寻找一切与等量关系有关的隐藏条件。（三）构造辅助圆，转变原有模型在几何问题中，当发现有多条边相等的情况时，可构造辅助圆，转变原有模型。辅助圆可为原来的几何模型提供新的等量关系，降低问题解决的难度。[2]【例3】己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝x，BC＝y，且2x＞y，求BD的长。根据已知条件中的AB=AC=AD的条件，我们可推知B、C、D三点实质上处于一个以点A为圆心的圆上，适用于四点共圆模型，可作辅助圆如下。作辅助圆及线段AE和DE后，根据圆的性质、平行线内错角相等定理，经多次演绎推理，不难推理出AD=AC,∠DAE=∠CAB,AE=AB,可知△CAB≌△DAE，ED＝BC＝y.BE是直径，因为圆直径所对的角为直角，故∠EDB＝90°。BD=BE2-ED2=本例中，通过做辅助圆，生成了一对全等三角形和一个直角三角形，成为一系列逻辑推理的基础。在教学中，有学生提问：“老师，您是怎么想到的？”笔者回答：“当看到已知条件中三边相等时，便应当想到作辅助圆获取更多等量关系。题目中给出2x＞y的条件，也很可能是了为使根式成立，可联想到直角三角形的勾股定理。做出圆半径便能够构造直角三角形。”笔者又继续启发学生：“数学非常考验我们的思维发散能力和思维创新能力，面对一个问题，当我们发现现有的已知条件不够用时，要多思考如何建模创建新的已知条件。”（四）建立函数模型，直观表示数据函数模型以函数图像表示应用问题中的数量关系，可直观地表示数据，以图形说明已知条件，能够理清思维，化繁为简。【例4】在某市一场校际篮球比赛中，队员甲投出了一个篮球。已知篮圈距地面高度为3米，球体投出位置与篮圈中心的水平距离为7米。球出手时距离地面高度为209米。当球出手后水平距离为4米时篮球在空中达到最大高度4求解：（1）这名队员能否成功投篮？（2）一名对方队员乙在甲前1米处位置跳起，试图拦截此球，该队员最大摸高可达到2.98米，试问这名队员能否成功拦截此球？本例中的抛物线图示实则是一个二次函数的图像，可分别将球出手点、运行最高点和篮圈中心的坐标记为A0,209，B4,4，C7,3。设二次函数解析式为y=a(x解答本题，重点在于抽象出几个有助于确认函数解析式的关键点。相对而言，第二小题难度更高。虽然两题解题思路近似，但是学生可能对数字2.98的意义理解不当，错误地将其代入解析式中计算。教师在教学中要让学生深入理解函数的性质及关键概念，便可以不变应万变地解决多种数学问题。[2]二、初中数学应用建模思想教学时应把握的原则与建模有关的问题大多具有一定的难度，对学生的理解能力要求较高。教师在教学中要把握好以下三个原则。把握思想内核建模思想是最为核心的数学思想之一，教师在教学中一定要把握住思想的内核，让学生既知其然，又知其所以然，切忌机械记忆题型。建模问题中涉及到的题型虽然具有相似性，但是只有在学生真正理解模型意义的情况下，教学才有成效。教师要多培养学生读题的能力。[3]要引导学生主动地以建模思想去解读题意，使建模思想成为学生的思维习惯。重视课堂互动教学效果是教与学双向作用的结果，为使建模思想成为学生的内化知识，仅凭教师一言堂式的单向讲授是不行的。教师在课中可多使用启发式、探究式教学法，以提问、讨论等方式创设师生互动、生生互动的机会，让学生在课堂中开展思想的碰撞与交流，说出疑问，表达见解，力争让学生的每一个思维盲点得到排解，开展变式练习变式练习是数学教学中常运用到的方法，目的在于让学生举一反三、融会贯通，有利于培养学生的创新能力。[4]在应用建模思想开展教学时，可运用变式练习，构造“同模异境”，让学习揣摩如何在不同的情境下使用同一模型解决问题。如例3中的四点同圆模型中，原图完全被辅助圆包围，教师可自创习题，引导学生做出原图仅部分与辅助圆交叉的图形，让学生认识辅助圆模型应用的广泛性。三、结语初中数学课程中的许多问题都可用建模的方式解决。应用建模思想对教师的知识水平与实践能力均有较高要求，教师要针对学生实际学情探索可行的教学应用路径，使之成为提升数学核心素养的可靠支点。参考文献[1]魏亚楠.初中数学建模常见的几种类型[J].初中数学教与学,2014(22):35-3