高中数学第二章点直线平面之间的位置关系专题强化练2异面直线所成角的求法含解析新人教A版必修

PAGEPAGE4专题强化练2异面直线所成角的求法一、选择题1.(2021江西宜春高二月考,)已知一个正方体的展开图如图所示,其中A,B为所在棱的中点,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中,AB与CD所成角的大小是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°2.()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是()A.0°<θ<60° B.0°≤θ<60°C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60°二、填空题3.(2021河南洛阳高一上期末,)四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,各棱长均为2,则异面直线VC与AB所成角的大小为.

4.(2021河南安阳滑县一中高一上期末,)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,设过P,Q,R的截面与平面AD1,平面AB1的交线分别为l,m,则l,m所成角的大小为.

三、解答题5.()在空间四边形ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为30°,E,F分别是边BC和AD的中点,求异面直线EF和AB所成的角.6.()在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q.(1)求证:M,N,P,Q四点共面;(2)若AC⊥DE,且AC=3BC,求异面直线DE与PN所成角的大小.7.(2021江苏扬州中学高三模拟,)如图,四棱锥P-ABCD的四条侧棱长相等,底面ABCD为正方形,M为PB的中点.若PA=AB,求异面直线PD与CM所成角的正弦值.专题强化练2异面直线所成角的求法一、选择题1.C将展开图还原为正方体(如图),其中EF,FG,EG分别为所在面的对角线.因为A,B分别为EC,CF的中点,所以AB∥EF,易知CD∥EG,所以∠FEG(或其补角)为AB与CD所成的角.又△EFG为等边三角形,所以∠FEG=60°,即AB与CD所成角的大小为60°.故选C.2.D如图,连接CD1,AC,易知CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,与CP与BA1为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.故选D.二、填空题3.答案60°解析因为底面ABCD是正方形,所以AB∥CD,所以∠VCD(或其补角)即为异面直线VC与AB所成的角.又因为各棱长均为2,所以三角形VCD为正三角形,所以∠VCD=60°.所以异面直线VC与AB所成角的大小为60°.4.答案60°解析如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长,与CB的延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE,延长PQ,交CD的延长线于N,连接NG交DD1于F,连接QF,则l,m所成的角即EM,EP所成的角,设为θ,易知EM=2,EP=2,PM=2,所以θ=60°.三、解答题5.解析如图,设G是AC的中点,连接EG,GF.∵E,F分别是BC,AD的中点,∴EG∥AB,FG∥CD,∴∠EGF(或其补角)是AB与CD所成的角,∠GEF(或其补角)是EF和AB所成的角.∵AB=CD,∴EG=GF.当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.∴异面直线EF和AB所成的角为15°或75°.6.解析(1)证明:因为CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,所以PQ为△ADE的中位线,MN为梯形BCDE的中位线,所以PQ∥DE,MN∥DE,所以PQ∥MN,所以M,N,P,Q四点共面.(2)因为PN为△ABE的中位线,所以PN∥AB.又BC∥DE,所以∠ABC(或其补角)即为异面直线DE与PN所成的角.又AC⊥DE,所以AC⊥BC.在Rt△ABC中,tan∠ABC=ACBC=3BCBC=3,所以∠所以异面直线DE与PN所成的角为60°.7.解析连接AC,BD,交于O,连接OM,∵底面ABCD为正方形,∴O为BD的中点,又M为PB的中点,∴PD∥OM,故∠OMC(或其补角)是异面直线PD与CM所